代数群

数学において、代数群とは、代数多様体としての構造と両立する群構造を備えた代数多様体である。したがって、代数群の研究は代数幾何学と群論の両方に属する。

幾何学的変換の多くの群は代数群です。たとえば、直交群、一般線型群、射影群、ユークリッド群などです。多くの行列群も代数群です。楕円曲線やヤコビ多様体など、他の代数群は代数幾何学で自然に現れます。

代数群の重要なクラスは、その基礎となる代数多様体がアフィン多様体であるアフィン代数群によって与えられ 、それらはまさに一般線型群の代数部分群であり、したがって線型代数群とも呼ばれる。^[1]もう1つのクラスは、その基礎となる多様体が射影多様体である代数群であるアーベル多様体によって形成される。シュヴァレーの構造定理は、あらゆる代数群はこれら2つの族の群から構成できることを述べている。

正式には、体上の代数群は、上の代数多様体であり、特別な元（中立元）と、群の公理を満たす正則写像（乗算演算）と（反転演算）を伴います。^[2]${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathrm {G} }$${\displaystyle k}$${\displaystyle e\in \mathrm {G} (k)}$ ${\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \to \mathrm {G} }$${\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {G} }$

• 加法群:群演算として加法と反対の作用素を持つアフィン直線は 代数群です。これは加法群と呼ばれ (その-点が群として の加法群と同型であるため)、通常は と表記されます。${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathrm {G} _{a}}$
• 乗法群:をアフィン平面 上の方程式によって定義されるアフィン多様体とします。関数 およびは上で正則であり、群の公理を満たします (中立元 を持つ)。代数群は、その-点が体の乗法群に同型であるため、乗法群と呼ばれます(同型は によって与えられます 。可逆元の部分集合は の代数部分多様体を定義しないことに注意します)。${\displaystyle \mathrm {G} _{m}}$${\displaystyle xy=1}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$${\displaystyle ((x,y),(x',y'))\mapsto (xx',yy')}$${\displaystyle (x,y)\mapsto (x^{-1},y^{-1})}$${\displaystyle \mathrm {G} _{m}}$${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle \mathrm {G} _{m}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x\mapsto (x,x^{-1})}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$
• 特殊線型群は 代数群です。これは、アフィン空間（ - 行- 列の行列の空間と同一視される）内の代数方程式によって与えられ、行列の乗算は正則であり、随伴行列に関する逆行列の公式は、行列式が 1 である行列上でも逆行列が正則であることを示しています。${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}}$${\displaystyle \det(g)=1}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$
• 体上の可逆行列の一般線型群は 代数群である。これは、前の例の乗法群とほぼ同じように、 の部分多様体として実現できる。 ^[3]${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}+1}}$
• 指定された点を持つ射影平面上の非特異3 次曲線には、幾何学的に定義された群法則が与えられ、代数群になることができます (楕円曲線を参照)。${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

代数群の代数部分群は、 の部分多様体であり、の部分群でもあります(つまり、群構造を定義する写像と は、それぞれ と を に写像します)。 ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {H} }$${\displaystyle \mathrm {G} }$${\displaystyle \mathrm {G} }$${\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \to \mathrm {G} }$${\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {G} }$${\displaystyle \mathrm {H} \times \mathrm {H} }$${\displaystyle \mathrm {H} }$${\displaystyle \mathrm {H} }$

2つの代数群の間の射は、群準同型でもある正則写像である。その核は の代数的部分群であり、その像は の代数的部分群である。^[4]${\displaystyle \mathrm {G} ,\mathrm {G} '}$${\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {G} '}$${\displaystyle \mathrm {G} }$${\displaystyle \mathrm {G} '}$

代数群のカテゴリの商は、扱いがより繊細です。代数部分群は、すべての内部自己同型（正則写像）の下で安定している場合、正規であると言われています。がの正規代数部分群である場合、代数群と、がの核となるような全射射が存在します。^[5]体が代数的に閉じていない場合、群の射は全射でない可能性があることに注意してください（全射性のデフォルトはガロアコホモロジーによって測定されます）。 ${\displaystyle \mathrm {H} }$${\displaystyle \mathrm {G} }$${\displaystyle \mathrm {G} /\mathrm {H} }$${\displaystyle \pi :\mathrm {G} \to \mathrm {G} /\mathrm {H} }$${\displaystyle \mathrm {H} }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathrm {G} (k)\to \mathrm {G} (k)/\mathrm {H} (k)}$

リー群とリー代数の対応と同様に、体上の代数群には上のリー代数が関連付けられます。ベクトル空間として、リー代数は単位元で接空間と同型です。リー括弧は微分空間としての解釈から構成できます。^[6]${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

体上の代数群のより洗練された定義は、それが上の群スキームの定義であるということである(群スキームはより一般的には可換環上で定義できる)。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

この概念のさらに別の定義は、 上の代数群は上の代数多様体のカテゴリ内の群オブジェクトであると言うことです。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

代数群は、その基礎となる代数多様体がアフィン多様体である場合にアフィンであると言われます。上記の例のうち、加法群、乗法群、一般線型群、特殊線型群はアフィンです。アフィン代数群の座標環への作用を使用すると、すべてのアフィン代数群が線型 (または行列群) であることが示されます。つまり、一般線型群の代数部分群と同型です。

例えば、加法群は射によってに埋め込むことができます。 ${\displaystyle \mathrm {GL} _{2}}$${\displaystyle x\mapsto \left({\begin{smallmatrix}1&x\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$

これまでに示した例以外にも、このようなグループの例は数多くあります。

• 直交群とシンプレクティック群はアフィン代数群です。
• 単能群。
• 代数トーラス。
• 特定の半直積^[7]、例えばジェット群や可逆三角行列のようないくつかの可解群など。

線型代数群はある程度分類できる。レヴィの定理によれば、そのような群はすべて（本質的に）単元群（その単元根）と簡約群の半直積である。同様に、簡約群は（やはり本質的に）その中心（代数的トーラス）と半単純群の積として分解される。後者は、リー代数を介して代数的に閉じた体上で分類される。^[8]任意の体上の分類はより複雑だが、それでも十分に理解されている。^{[9]は、たとえば実体または}p進体上で非常に明示的にすることができ、それによって局所-大域原理を介して数体上で明示的にすることができる。

アーベル多様体は、連結された射影代数群、たとえば楕円曲線です。アーベル多様体は常に可換です。アーベル多様体は、たとえば曲線の ヤコビ多様体として、代数幾何学や数論のさまざまな状況で自然に現れます。

すべての代数群が線型群やアーベル多様体であるとは限らない。例えば、数論幾何学で自然に現れるいくつかの群スキームは、どちらでもない。^[10] シュヴァレーの構造定理は、すべての連結代数群は、線型代数群によるアーベル多様体の拡大であると主張している。より正確には、Kが完全体で、G がK上の連結代数群である場合、 Gには一意の正規閉部分群H が存在し、H は連結線型代数群で、G / H はアーベル多様体である。

代数多様体はザリスキ位相を持ちます。これは一般に群位相ではありません。つまり、群演算はこの位相に対して連続ではない可能性があります（積上のザリスキ位相は因数上のザリスキ位相の積ではないため^[11]）。 ${\displaystyle \mathrm {G} }$

代数群は、その基となる代数多様体がザリスキ位相に対して連結である場合に連結であると言われる。代数群の場合、これは2つの適切な代数的部分集合の和集合ではないことを意味する。^[12]

連結されていない群の例としては、乗法群の 1 の累乗根の代数部分群が挙げられます(各点はザリスキ閉部分集合であるため、 に対して連結ではありません)。この群は一般に と表記されます。連結されていない別の群は、偶数次元の直交群です (行列式により に全射写像が与えられます)。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathrm {G} _{m}}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle \mu _{n}}$${\displaystyle \mu _{2}}$

より一般的には、すべての有限群は代数群です（ケイリーの定理により、有限、つまりザリスキ閉群として実現できます）。さらに、有限群はアフィンかつ射影的です。したがって、特に分類の目的では、連結な代数群にステートメントを制限するのが自然です。 ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$

体が局所体（例えば、実数または複素数、あるいは p 進体）であり、 - 群である場合、その群は、擬似射影多様体としての射影空間への任意の埋め込みから生じる解析的位相を付与されます。これは群位相であり、位相群になります。このような群は、位相群の一般理論における重要な例です。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathrm {G} }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathrm {G} (k)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(k)}$${\displaystyle \mathrm {G} (k)}$

またはのとき、これはリー群になる。SL ₂ ( R )の普遍被覆や、ハイゼンベルク群を無限正規離散部分群で割った商など、すべてのリー群がこの手順で得られるわけではない。 ^[13]実数または複素数上の代数群は、（解析的位相において）どの代数部分群とも恒等式の連結成分が同じではない閉部分群を持つことがある。 ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathrm {G} (k)}$

代数群とコクセター群の間には類似の結果が数多くあります。たとえば、対称群の元の数は であり、有限体上の一般線型群の元の数は (ある因数を除いて) q階乗です。したがって、対称群は「1 つの元を持つ体」上の線型群であるかのように動作します。これは、1 つの元を持つ体によって形式化され、コクセター群を 1 つの元を持つ体上の単純代数群と見なします。 ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle [n]_{q}!}$

• キャラクターの多様性
• ボレルサブグループ
• 飼いならされたグループ
• モーリーランク
• チャーリン・ジルバー予想
• アデル代数群
• 擬似還元群

• シュヴァレー、クロード編(1958)、セミナー C. シュヴァレー、1956 ～ 1958 年。嘘のグループ分類、全 2 巻、パリ: Secrétariat Mathématique、MR  0106966、シュヴァレーの著作集の第 3 巻として再版。オリジナルから 2014 年 11 月 4 日にアーカイブされ、2012 年 6 月 25 日に取得。
• Borel, Armand (1991)。線形代数群。第2版拡大。Graduate Texts in Mathematics。Springer-Verlag。pp. x+288。Zbl 0726.20030  。
• ハンフリーズ、ジェームズ E. (1972)、「線形代数群」、大学院数学テキスト、第 21 巻、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-90108-4、MR  0396773
• ラング、セルジュ（1983）、アーベル多様体、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90875-5
• ミルン、JS (2017)、代数群：体上の有限型の群スキームの理論、ケンブリッジ大学出版局、doi :10.1017/9781316711736、ISBN 978-1107167483、MR  3729270
• ミルン、JS、アフィン群スキーム、リー代数、リー群、簡約群、算術部分群
• マンフォード、デイヴィッド（1970）、アーベル多様体、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-560528-0、OCLC  138290
• Springer, Tonny A. (1998)、線形代数群、Progress in Mathematics、第9巻（第2版）、ボストン、マサチューセッツ州：Birkhäuser Boston、ISBN 978-0-8176-4021-7、MR  1642713
• ウォーターハウス、ウィリアム C. (1979)、「アフィン群スキーム入門」、Graduate Texts in Mathematics、第 66 巻、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-90421-4
• アンドレ・ヴェイユ(1971)、Courbes algébriques et variétés abéliennes、パリ: Hermann、OCLC  322901

• ダニエル・ミラーによる代数群とそのリー代数