シュヴァレーの構造定理

代数幾何学において、シュヴァレーの構造定理は、完全体上の滑らかに連結した代数群には、商がアーベル多様体となるような唯一の正規滑らかに連結したアフィン代数部分群が存在することを述べている。これは、シュヴァレー (1960) (彼は1953年にすでにこの結果を発表していた)、バルソッティ (1955a、1955b)、およびローゼンリヒト (1956) によって証明された。

シュヴァレーのオリジナルの証明、およびバルソッティとローゼンリヒトによる他の初期の証明では、代数群をそのアルバネーゼ多様体に写像するというアイデアが使用されていました。オリジナルの証明はヴェイユの著書『代数幾何学の基礎』に基づいており、ヴェイユの基礎に精通していない人にとっては理解しにくいものでしたが、コンラッド (2002) は後にスキーム理論の用語でシュヴァレーの証明の説明を行いました。

非完全体上では、商がアーベル多様体となるような最小の正規連結線型部分群が依然として存在しますが、線型部分群は滑らかである必要はありません。

シュヴァレーの定理の帰結として、体上の任意の代数群は準射影的である。

アフィンでも完全でもない連結代数群を与える自然な構成がいくつかあります。

• C が有効因子m を持つ曲線である場合、それに関連付けられた一般化ヤコビアン J _{m を}持ちます。これは、アフィン核を持つCのヤコビ多様体J ₀に写像する可換代数群です。したがって、J はアフィン代数群によるアーベル多様体の拡張です。一般に、この拡張は分割されません。
• 完全体上の適切なスキームの相対ピカールスキームの簡約連結成分は代数群であり、一般にはアフィンでも適切でもありません。
• 離散評価環上のネロンモデルの閉じたファイバーの連結成分は代数群であり、一般にアフィンでも固有でもない。
• 解析群の場合、シュヴァレーの定理の明らかな類似のいくつかは成り立ちません。たとえば、加法群Cと任意の楕円曲線の積には、 Cに同型の閉じた（解析的だが代数的ではない）部分群の稠密な集合があるため、一意の「最大アフィン部分群」は存在しません。一方、乗法群 C* の 2 つのコピーの積は、 Cによる任意の楕円曲線の非分割拡張に同型です（解析的だが代数的ではない）。

シュヴァレーの構造定理は、ネロン・オッグ・シャファレヴィッチ基準の証明に使用されます。

• Barsotti、Iacopo (1955a)、「群変種の構造定理」、Annali di Matematica Pura ed Applicata、シリーズ 4、38 : 77–119、doi : 10.1007/bf02413515、ISSN  0003-4622、MR  0071849
• Barsotti、Iacopo (1955b)、「Un teorema di struttura per le varietà gruppali」、アッティ デッラ ナツィオナーレ デイ リンセイ。レンディコンティ。 Classe di Scienze Fisiche、Matematiche e Naturali、18 : 43–50、MR  0076427
• Chevalley, C. (1960)、「Une démonstration d'un théorème sur les groupes algébriques」、Journal de Mathématiques Pures et Appliquées、Neuvième Série、39 : 307–317、ISSN  0021-7824、MR  0126447
• コンラッド、ブライアン (2002)、「代数群に関するシュヴァレーの定理の現代的証明」(PDF)、ラマヌジャン数学協会誌、17 (1): 1–18、ISSN  0970-1249、MR  1906417
• ローゼンリヒト、マクスウェル (1956)、「代数群に関するいくつかの基本定理」、 アメリカ数学誌、78 :401–443、doi :10.2307/2372523、ISSN0002-9327  、JSTOR2372523  、MR0082183