WKB近似

y ( x )の漸近級数は通常発散級数であり、その一般項は${\displaystyle \delta ^{n}S_{n}(x)}$ある値を超えると増加し始める${\displaystyle n=n_{\textrm {max}}}$したがって、WKB法で達成できる最小誤差は、せいぜい最後に含まれる項のオーダーである。

方程式の場合$${\displaystyle \varepsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,}$$ と${\displaystyle Q(x)<0}$解析関数、値${\displaystyle n_{\max }}$そして最後の項の大きさは次のように推定できます。^{[ 17 ]}$${\displaystyle n_{\max }\approx {\frac {2}{\varepsilon }}\left|\int _{x_{0}}^{x_{\ast }}{\sqrt {-Q(z)}}\,dz\right|,}$$$${\displaystyle \delta ^{n_{\max }}S_{n_{\max }}(x_{0})\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{n_{\max }}}}e^{-n_{\max }},}$$どこ${\displaystyle x_{0}}$は、${\displaystyle y(x_{0})}$評価する必要があり、${\displaystyle x_{\ast }}$は（複雑な）転換点であり、${\displaystyle Q(x_{\ast })=0}$最も近い${\displaystyle x=x_{0}}$。

番号${\displaystyle n_{\max }}$は、${\displaystyle x_{0}}$そして最も近い転換点。

もし${\displaystyle \varepsilon ^{-1}Q(x)}$ゆっくりと変化する関数であり、 $${\displaystyle \varepsilon \left|{\frac {dQ}{dx}}\right|\ll Q^{2},^{{\text{[might be }}Q^{3/2}{\text{?]}}}}$$ 番号${\displaystyle n_{\max }}$は大きくなり、漸近級数の最小誤差は指数関数的に小さくなる。

条件から：$${\displaystyle \left(S_{0}'(x)\right)^{2}-\left(p(x)\right)^{2}+\hbar \left(2S_{0}'(x)S_{1}'(x)-iS_{0}''(x)\right)=0}$$

したがって、次のことが言える。${\textstyle \hbar \left|2S_{0}'(x)S_{1}'(x)\right|+\hbar \left|iS_{0}''(x)\right|\ll \left|(S_{0}'(x))^{2}\right|+\left|(p(x))^{2}\right|}$

WKB近似で使用されるように、両辺の項が等価であるため、以下の2つの不等式は等価である。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\hbar \left|S_{0}''(x)\right|&\ll \left|(S_{0}'(x))^{2}\right|\\2\hbar \left|S_{0}'S_{1}'\right|&\ll \left|(p'(x))^{2}\right|\end{aligned}}}$$

最初の不等式は、以下のことを示すために使用できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\hbar \left|S_{0}''(x)\right|&\ll \left|p(x)\right|^{2}\\[6pt]{\frac {1}{2}}{\frac {\hbar }{|p(x)|}}\left|{\frac {dp^{2}}{dx}}\right|&\ll \left|p(x)\right|^{2}\\[6pt]\lambda \left|{\frac {dV}{dx}}\right|&\ll {\frac {\left|p\right|^{2}}{m}}\\\end{aligned}}}$$

どこ${\textstyle |S_{0}'(x)|=|p(x)|}$使用され、${\textstyle \lambda (x)}$は波動関数の局所ド・ブロイ波長である。この不等式は、ポテンシャルの変化がゆっくりと変化していると仮定されていることを意味する。 ^{[ 19 ] [ 20 ]}この条件は、の分数変化として言い換えることもできる。${\textstyle E-V(x)}$あるいは運動量の${\textstyle p(x)}$波長にわたって${\textstyle \lambda }$よりずっと小さい${\textstyle 1}$[ ^{21 ]​}

同様に、${\textstyle \lambda (x)}$また、WKB近似の前提条件に基づく制約も存在する。$${\displaystyle \left|{\frac {d\lambda }{dx}}\right|\ll 1}$$これは、粒子のド・ブロイ波長がゆっくりと変化していることを意味する。 ^{[ 20 ]}

次に、転換点付近での波動関数の挙動を考察します。そのためには、別の方法が必要です。最初の転換点付近では、${\displaystyle x_{1}}$、 用語${\textstyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$べき級数に展開することができ、$${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}\cdot (x-x_{1})+U_{2}\cdot (x-x_{1})^{2}+\cdots \;.}$$第一近似では、$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}\cdot (x-x_{1})\cdot \Psi (x).}$$この微分方程式はエアリー方程式として知られており、解はエアリー関数を用いて表すことができる。^{[ 22 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (x)&=C_{A}\operatorname {Ai} \left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)+C_{B}\operatorname {Bi} \left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)\\[6pt]&=C_{A}\operatorname {Ai} \left(u\right)+C_{B}\operatorname {Bi} \left(u\right).\end{aligned}}}$$ただし、任意の固定値に対して${\displaystyle \hbar }$波動関数は転換点付近で制限され、上の画像に見られるように、そこでピークに達します。${\displaystyle \hbar }$が小さくなると、転換点における波動関数の高さが大きくなる。また、この近似から次のことが導かれる。$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\hbar }}\int p(x)\,dx&={\sqrt {U_{1}}}\int {\sqrt {x-a}}\,dx\\&={\frac {2}{3}}\left[{\sqrt[{3}]{U_{1}}}\left(x-a\right)\right]^{\frac {3}{2}}={\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}.\end{aligned}}}$$

残る課題は、シュレーディンガー方程式のグローバルな（近似）解を構築することである。波動関数が二乗可積分であるためには、古典的に禁じられている2つの領域では指数関数的に減衰する解のみを採用する必要がある。そして、これらの解は、転換点を介して古典的に許容される領域に適切に「接続」されなければならない。ほとんどのEの値に対して、このマッチング手順は機能しない。解を近似的に接続することによって得られる関数は、${\displaystyle +\infty }$古典的に許容される領域は、解を近くに接続することによって得られる関数とは一致しない${\displaystyle -\infty }$古典的に許容される領域へ。2つの関数が一致するという要件は、エネルギーEに条件を課し、正確な量子エネルギー準位の近似値を与える。

波動関数の係数は、図に示すような単純な問題で計算できます。ポテンシャルが x に対して減少する最初の転換点が、次の位置で発生するとします。${\displaystyle x=x_{1}}$そして、電位がxに対して増加する2番目の転換点は、${\displaystyle x=x_{2}}$波動関数が以下の形式であると予想される場合、エアリー関数とベイリー関数を使用して異なる領域を接続することで、その係数を計算できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{V>E}(x)&\approx u^{-{\frac {1}{4}}}\left[A\exp \left({\tfrac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}\right)+B\exp \left(-{\tfrac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}\right)\right]\\[6pt]\Psi _{E>V}(x)&\approx u^{-{\frac {1}{4}}}\left[C\cos \left({\tfrac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}-\alpha \right)+D\sin \left({\tfrac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}-\alpha \right)\right]\\\end{aligned}}}$$

一般的な振動波動関数

領域に対する2つのソリューションのマッチング${\displaystyle x_{1}<x<x_{2}}$これらの関数の角度の差は${\displaystyle \pi (n+1/2)}$どこで${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$位相差は波動関数のコサインをサインに変えるものであり、${\displaystyle n\pi }$関数の否定は、${\displaystyle N=(-1)^{n}N'}$。 したがって： $${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\pi \hbar ,}$$ ここでnは非負整数である。この条件は次のように書き換えることもできる。

古典的なエネルギー曲線で囲まれた領域は${\displaystyle 2\pi \hbar (n+1/2)}$。

いずれにせよ、エネルギーに関する条件は、1/2 に等しい「マスロフ補正」を伴うボーア・ゾンマーフェルト量子化条件の一種である。 ^{[ 24 ]}

さまざまな領域での近似を組み合わせると、実際の固有関数の良い近似が得られることを示すことができます。特に、マスロフ補正されたボーア・ゾンマーフェルトエネルギーは、シュレーディンガー演算子の実際の固有値の良い近似です。^{[ 25 ]}具体的には、エネルギーの誤差は、量子エネルギー準位の典型的な間隔に比べて小さいです。したがって、ボーアとゾンマーフェルトの「古い量子論」は最終的にシュレーディンガー方程式に置き換えられましたが、その理論の痕跡は、適切なシュレーディンガー演算子の固有値の近似として残っています。

すると、近似波動関数に関連付けられた確率密度を計算できます。量子粒子が古典的に禁止されている領域で見つかる確率は小さいです。一方、古典的に許容されている領域では、量子粒子が特定の区間で見つかる確率は、古典粒子が運動の1周期にわたってその区間で過ごす時間の割合にほぼ等しくなります。^{[ 26 ]}古典粒子の速度は転換点でゼロになるため、他の古典的に許容されている領域よりも転換点の近くで過ごす時間が長くなります。この観察により、波動関数（およびその確率密度）が転換点の近くでピークを示すことが説明できます。

ミュラー＝キルステンの著書では、WKB法を様々なポテンシャルを持つシュレディンガー方程式に適用し、摂動法や経路積分法と比較する方法が扱われている。

このようなシステムの可能性は、次のように表すことができます。

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V(x)&{\text{if }}x\geq x_{1}\\\infty &{\text{if }}x<x_{1}\\\end{cases}}}$$

どこ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$。

束縛領域、すなわち古典的な転換点内の波動関数を見つける${\textstyle x_{1}}$そして${\textstyle x_{2}}$近似値から遠く離れたものを考慮することによって${\textstyle x_{1}}$そして${\textstyle x_{2}}$それぞれ、2つの解決策があります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{\text{WKB}}(x)&={\frac {A}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx+\alpha \right)}\\\Psi _{\text{WKB}}(x)&={\frac {B}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx+\beta \right)}\end{aligned}}}$$

波動関数は近くでゼロになる必要がある${\textstyle x_{1}}$結論として${\textstyle \alpha =0}$風通しの良い機能のために${\textstyle x_{2}}$我々は必要とする${\textstyle \beta =-{\frac {\pi }{4}}}$これらの関数内の角度には位相差があることが必要です。${\displaystyle \pi (n+1/2)}$どこで${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$位相差は正弦波を余弦波に変える要因であり、${\displaystyle n\pi }$許可する${\displaystyle B=(-1)^{n}A}$。

$${\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x)|dx=\pi \left(n+{\frac {3}{4}}\right)}$$ここでnは非負整数である。^{[ 19 ]}なお、この式の右辺は代わりに次のようになる。${\displaystyle \pi (n-1/4)}$nがゼロ以外の自然数のみに限定される場合。

したがって、我々は、${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\pi \hbar }$$ 球対称の3次元では、この問題との類似性から、位置xを半径距離rに置き換えた同じ条件が成り立つ。^{[ 27 ]}

このようなシステムの可能性は、次のように表すことができます。

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}\infty &{\text{if }}x>x_{2}\\V(x)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\\infty &{\text{if }}x<x_{1}\\\end{cases}}}$$

どこ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$。

のために${\textstyle E\geq V(x)}$間${\textstyle x_{1}}$そして${\textstyle x_{2}}$したがって、これらは古典的な転換点であり、${\textstyle x_{1}}$そして${\textstyle x_{2}}$それぞれ、2つの解決策があります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{\text{WKB}}(x)&={\frac {A}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin \left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx\right)\\\Psi _{\text{WKB}}(x)&={\frac {B}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin \left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx\right)\end{aligned}}}$$

波動関数は、${\textstyle x_{1}}$そして${\textstyle x_{2}}$ここでは、位相差は以下のみを考慮すればよい。${\displaystyle n\pi }$これにより${\displaystyle B=(-1)^{n}A}$したがって、条件は次のようになる。

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=n\pi \hbar }$$ どこ${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$しかし、波動関数がどこでもゼロになるため、ゼロには等しくない。^{[ 19 ]}

跳ねるボールが受ける可能性のある以下の点について考えてみましょう。

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}mgx&{\text{if }}x\geq 0\\\infty &{\text{if }}x<0\end{cases}}}$$

上記の波動関数解は、代替ポテンシャルの奇パリティ解のみを考慮することで、WKB法を用いて解くことができる。${\displaystyle V(x)=mg|x|}$古典的な転換点が特定される${\textstyle x_{1}=-{E \over mg}}$そして${\textstyle x_{2}={E \over mg}}$したがって、WKBで得られた量子化条件を適用すると次のようになる。

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=(n_{\text{odd}}+1/2)\pi \hbar }$$

賃貸${\textstyle n_{\text{odd}}=2n-1}$どこ${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$解く${\textstyle E}$与えられた${\displaystyle V(x)=mg|x|}$すると、跳ねるボールの量子力学的エネルギーが得られます。 ^{[ 28 ]}

$${\displaystyle E={\left(3\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\pi \right)^{\frac {2}{3}} \over 2}(mg^{2}\hbar ^{2})^{\frac {1}{3}}.}$$

この結果は、代替ポテンシャルを考慮する必要なく、1つの剛体壁の束縛状態からの式を使用することとも一致する。

このようなシステムの可能性は、次のように表すことができます。

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<x_{1}\\V(x)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\0&{\text{if }}x>x_{2}\\\end{cases}}}$$

どこ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$。

入射波に対する解は次のように与えられる。

$${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}Ae^{ik_{0}x}+Be^{-ik_{0}x}&{\text{if }}x<x_{1}\\[1ex]{\frac {C}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp \left(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x}|p(x)|dx\right)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\[1ex]De^{ik_{0}x}&{\text{if }}x>x_{2}\end{cases}}}$$

と${\displaystyle k_{0}=p_{0}/\hbar }$ここで、古典的に禁制な領域における波動関数はWKB近似であるが、指数関数的な増加は無視している。これは、波動関数が大きな値まで増加しないと予想される広いポテンシャル障壁に対しては妥当な仮定である。

波動関数とその導関数の連続性の条件により、次の関係が示される。$${\displaystyle {\frac {|D|^{2}}{|A|^{2}}}={\frac {4}{(1+{a_{1}^{2}}/{p_{0}^{2}})}}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'\right)}$$

どこ${\displaystyle a_{1}=|p(x_{1})|}$そして${\displaystyle a_{2}=|p(x_{2})|}$。

使用${\textstyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)}$符号なしの値は次のように表されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\text{inc.}}&={\tfrac {\hbar }{2m}}\left({\tfrac {2p_{0}}{\hbar }}|A|^{2}\right)\\J_{\text{ref.}}&={\tfrac {\hbar }{2m}}\left({\tfrac {2p_{0}}{\hbar }}|B|^{2}\right)\\J_{\text{trans.}}&={\tfrac {\hbar }{2m}}\left({\tfrac {2p_{0}}{\hbar }}|D|^{2}\right)\end{aligned}}}$$

したがって、透過係数は次のようになる。

$${\displaystyle T={\frac {|D|^{2}}{|A|^{2}}}={\frac {4}{\left(1+{a_{1}^{2}}/{p_{0}^{2}}\right)}}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'\right)}$$

どこ${\textstyle p(x)={\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}}$、${\displaystyle a_{1}=|p(x_{1})|}$そして${\displaystyle a_{2}=|p(x_{2})|}$結果は次のように表すことができます。${\textstyle T\sim ~e^{-2\gamma }}$どこ${\textstyle \gamma =\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'}$[ ^{19 ]​}

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