平均ラグランジアン

連続体力学では、ホイサムの平均ラグランジアン法、または略してホイサム法を使用して、不均質（移動）媒体内のゆっくり変化する波列のラグランジアン力学を研究します。この方法は、線形システムと非線形システムの両方に適用できます。この方法で使用される平均化の直接的な結果として、波動は波動運動の保存された特性です。対照的に、波エネルギーは平均運動とのエネルギー交換のため、必ずしも保存されません。ただし、全エネルギー、つまり波動運動と平均運動のエネルギーの合計は、時間不変ラグランジアンに対して保存されます。さらに、平均ラグランジアンは、システムの 分散関係と強い関係があります。

この方法は1960年代にジェラルド・ウィサムによって開発された。この方法は、例えば流体界面上の表面重力波のモデリング^{[1] [2]}やプラズマ物理学^{[3] [4]}で使用されている。

連続体力学システムのラグランジアン定式化が利用可能な場合、平均ラグランジアン法を使用して、搬送波のエンベロープダイナミクスがゆっくり変化すると仮定して、波動の平均ダイナミクス（および（最終的には）波動と平均運動の相互作用）の近似値を求めることができます。ラグランジアンの位相平均化により、平均ラグランジアンが生成されます。これは、波の位相自体には常に依存しません（ただし、波の振幅、周波数、波数などのゆっくり変化する波の量に依存します）。ノイマンの定理により、不変の波の位相に関する平均ラグランジアンの変化は、保存則を生じます：^[5]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \theta ({\boldsymbol {x}},t)}$

この式は波動の保存を規定するものであり、断熱不変量の概念を連続体力学に一般化したものであり、^[6]

$${\displaystyle {\mathcal {A}}\equiv -{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\theta )}}=+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \omega }}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {B}}}\equiv -{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial ({\boldsymbol {\nabla }}\theta )}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {k}}}}}$$

はそれぞれ波動作用と波動作用フラックスである。さらに、と はそれぞれ空間と時間を表し、 は勾配演算子である。角周波数と波数は次のように定義される^[7]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {B}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$ ${\displaystyle \omega ({\boldsymbol {x}},t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}},t)}$

どちらもゆっくり変化するものと仮定します。この定義により、およびは一貫性関係を満たす必要があります。 ${\displaystyle \omega ({\boldsymbol {x}},t)}$${\displaystyle {\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}},t)}$

最初の一貫性方程式は波頭保存則として知られており、2 番目の方程式は波数場が非回転的である(つまり回転がゼロである) ことを述べています。 ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}},t)}$

平均ラグランジアン アプローチは、ラグランジアン定式化で記述できる波動 (平均運動に重ね合わされている可能性あり) に適用されます。運動の波の部分の形状に関する仮定を使用して、ラグランジアンは位相 平均化されます。ラグランジアンは運動の運動エネルギーと位置エネルギーに関連付けられているため、波の振動変位の平均値はゼロ (または非常に小さい) ですが、振動はラグランジアンに寄与します。

結果として得られる平均ラグランジアンには、波数、角周波数、振幅（または同等の波のエネルギー密度または波動作用）などの波の特性が含まれます。ただし、位相平均化により、波の位相自体は存在しません。その結果、ノイマンの定理を通じて、波動作用の保存と呼ばれる 保存則が存在します。

平均ラグランジアン法はもともと、ゆっくり変化する分散波列のためにウィサムによって開発された。^{[8]相互作用する波の成分、 [9] [10]} ハミルトン力学、^{[8] [11]}高次変調効果、^[12] 散逸効果など、いくつかの拡張がなされてきた。^[13]

平均ラグランジアン法では、波動を記述するラグランジアンの存在が必要である。例えば、ラグランジアン密度で記述される場の場合、 定常作用の原理は次のようになる。^[14]${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}},t)}$ ${\displaystyle L\left(\partial _{t}\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\varphi \right),}$

$${\displaystyle \delta \left(\iiiint \,L\left(\partial _{t}\varphi ({\boldsymbol {x}},t),{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ({\boldsymbol {x}},t),\varphi ({\boldsymbol {x}},t)\right)\,{\text{d}}{\boldsymbol {x}}\,{\text{d}}t\right)=0,}$$

勾配演算子と時間微分演算子を用いると、この作用原理はオイラー・ラグランジュ方程式となる：^[14]${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$${\displaystyle \partial _{t}}$

$${\displaystyle \partial _{t}\left({\frac {\partial L}{\partial \left(\partial _{t}\varphi \right)}}\right)+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \left({\boldsymbol {\nabla }}\varphi \right)}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }}=0,}$$

これは2階偏微分方程式であり、高階偏微分方程式ではラグランジアンに1階以上の導関数を含める必要がある。[ ^14]${\displaystyle \varphi .}$

例えば、1次元空間における無次元かつ非線形の クライン・ゴルドン方程式を考える：^[15]${\displaystyle x}$

このオイラー・ラグランジュ方程式はラグランジュ密度から導かれる：^[15]

サイン・ゴードン方程式の小振幅近似は^[16]の値に対応し、システムは線形であり、古典的な1次元クライン・ゴードン方程式が得られる。 ${\textstyle \sigma =-{\tfrac {1}{24}}.}$${\displaystyle \sigma =0}$

ウィサムは平均ラグランジアン法を得るためのいくつかのアプローチを開発した。^{[14] [17]}最も単純なものはゆっくり変化する 線形 波列に対するものであり、ここではその方法を適用する。^[14]

線形分散システムにおける平均運動のないゆっくり変化する波列は次のように記述される: ^[18]

$${\displaystyle \varphi \sim \Re \left\{A({\boldsymbol {x}},t)\,e^{i\theta ({\boldsymbol {x}},t)}\right\}=a({\boldsymbol {x}},t)\,\cos \left(\theta ({\boldsymbol {x}},t)+\alpha \right),}$$と​$${\displaystyle a=\left|A\right|}$$$${\displaystyle \alpha =\arg \left\{A\right\},}$$

ここで、は実数値の波の位相、は複素数値の振幅の絶対値を表します。一方、はその引数、 はその実数部を表します。実数値の振幅と位相シフトはそれぞれ とで表されます。 ${\displaystyle \theta ({\boldsymbol {x}},t)}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle A({\boldsymbol {x}},t),}$${\displaystyle \arg\{A\}}$${\displaystyle \Re \{A\}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \alpha }$

さて、定義により、角周波数 と波数ベクトルは、波の位相の時間微分と勾配として次のように表されます。^[7]${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$${\displaystyle \theta ({\boldsymbol {x}},t)}$

$${\displaystyle \omega \equiv -\partial _{t}\theta }$$そして$${\displaystyle {\boldsymbol {k}}\equiv +{\boldsymbol {\nabla }}\theta .}$$

結果として、およびは一貫性関係を満たす必要があります。 ${\displaystyle \omega ({\boldsymbol {x}},t)}$${\displaystyle {\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}},t)}$

$${\displaystyle \partial _{t}{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {\nabla }}\omega ={\boldsymbol {0}}}$$そして$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {k}}={\boldsymbol {0}}.}$$

これら 2 つの無矛盾関係は、「波頭の保存」と波数場の 非回転性を意味します。

波列の緩やかな変化、および不均質な媒体と平均運動の可能性という仮定により、量と はすべて空間と時間で緩やかに変化するが、波の位相自体は緩やかに変化しない。したがって、平均ラグランジアンで使用するの導関数の決定ではとの導関数は無視される。 ^[14]${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}},t)}$

$${\displaystyle \partial _{t}\varphi \approx +\omega \,a\,\sin(\theta +\alpha )}$$そして$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\varphi \approx -{\boldsymbol {k}}\,a\,\sin(\theta +\alpha ).}$$

次に、その導関数に関するこれらの仮定をラグランジアン密度に適用する。${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}},t)}$${\displaystyle L\left(\partial _{t}\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\varphi \right).}$

ゆっくり変化する非線形波列に対するアプローチはいくつか考えられます。その1つはストークス展開を使うことです。 ^[19]ウィサムはゆっくり変化するストークス波を解析するためにストークス展開を使いました。^[20]場のストークス展開は次のように表すことができます。^[19]${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}},t)}$

$${\displaystyle \varphi =a\,\cos \left(\theta +\alpha \right)+a_{2}\,\cos \left(2\theta +\alpha _{2}\right)+a_{3}\,\cos \left(3\theta +\alpha _{3}\right)+\cdots ,}$$

ここで、振幅などはゆっくりと変化し、位相なども同じように変化します。線形波の場合、最低次（変調効果に関する限り）では、高速位相の導関数とを除いて、振幅と位相の導関数は無視されます。 ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle a_{2},}$${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \alpha _{2},}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle \partial _{t}\varphi \approx +\omega a\,\sin \left(\theta +\alpha \right)+2\omega a_{2}\,\sin \left(2\theta +\alpha _{2}\right)+3\omega a_{3}\,\sin \left(3\theta +\alpha _{3}\right)+\cdots ,}$$そして $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\varphi \approx -{\boldsymbol {k}}a\,\sin \left(\theta +\alpha \right)-2{\boldsymbol {k}}a_{2}\,\sin \left(2\theta +\alpha _{2}\right)-3{\boldsymbol {k}}a_{3}\,\sin \left(3\theta +\alpha _{3}\right)+\cdots .}$$

これらの近似はラグランジアン密度とその位相平均に適用され、${\displaystyle L}$${\displaystyle {\bar {L}}.}$

純粋な波動の場合、ラグランジアンはその場とその導関数によって表現される。^{[14] [17]} 平均ラグランジアン法では、場とその導関数に関する上記の仮定がラグランジアンの計算に適用される。その後、ラグランジアンは波の位相にわたって平均化される。^[14]${\displaystyle L\left(\partial _{t}\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\varphi \right)}$${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}},t)}$${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}},t)}$${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\bar {L}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }L\left(\partial _{t}\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\varphi \right){\text{d}}\theta .}$$

最後のステップとして、この平均化結果は平均ラグランジアン密度として表現することができます。これはゆっくり変化するパラメータの関数であり、波の位相自体とは無関係です。^[14]${\displaystyle {\bar {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\omega ,{\boldsymbol {k}},a)}$${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \theta }$

平均ラグランジアン密度は、平均変分原理に従うものとしてウィサムによって提案されている：^[14]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

の変化から、ゆっくり変化する波の特性に関する力学方程式が導かれます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

非線形クライン・ゴルドン方程式の例を続けると、式4と式5を参照し、ラグランジアン密度においておよび（この1Dの例では）上記の近似を適用すると、平均化後の結果は次のようになります。 ${\displaystyle \varphi ,}$ ${\displaystyle \partial _{t}\varphi }$${\displaystyle \partial _{x}\varphi }$${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\bar {L}}={\tfrac {1}{4}}\left(\omega ^{2}-k^{2}-1\right)a^{2}-{\tfrac {3}{32}}\sigma a^{4}+\left(\omega ^{2}-k^{2}-{\tfrac {1}{4}}\right)a_{2}^{2}+{\mathcal {O}}{\left(a^{6}\right)},}$$ここで、ビッグオー記法では、、およびで あると仮定されています。を について変化させると、次の式が得られます。したがって、平均ラグランジアンは次のようになります。 ${\displaystyle a_{2}={\mathcal {O}}(a^{2})}$${\displaystyle a_{3}={\mathcal {O}}(a^{3})}$${\displaystyle {\bar {L}}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle a_{2}=0.}$

線形波動の場合、平均ラグランジアンは をゼロに設定することによって得られます。 ${\displaystyle \sigma }$

平均ラグランジアン原理を適用すると、波の位相に関する変化は波の作用の保存につながります。 ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle \partial _{t}\left(+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \omega }}\right)+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {k}}}}\right)=0,}$$

であり、波の位相は位相平均化により平均ラグランジアン密度には現れません。波動作用を と定義し、波動作用フラックスをと定義すると、結果は次のようになります。 ${\displaystyle \omega =-\partial _{t}\theta }$${\displaystyle {\boldsymbol {k}}={\boldsymbol {\nabla }}\theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\equiv +\partial {\mathcal {L}}/\partial \omega }$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {B}}}\equiv -\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {k}}}$

$${\displaystyle \partial _{t}{\mathcal {A}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\mathcal {B}}}=0.}$$

波動作用方程式には、 およびの一貫性方程式が伴います。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$

$${\displaystyle \partial _{t}{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {\nabla }}\omega ={\boldsymbol {0}}}$$そして$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {k}}={\boldsymbol {0}}.}$$

振幅に関する変化は分散関係につながる${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \partial {\mathcal {L}}/\partial a=0.}$

非線形クライン・ゴードン方程式を続けて、式6の平均変分原理を用いると、波動作用方程式は波の位相に関する変化によってとなり 、非線形分散関係は振幅に関する変化から導かれる。${\displaystyle \theta :}$ $${\displaystyle \partial _{t}\left({\tfrac {1}{2}}\omega a^{2}\right)+\partial _{x}\left({\tfrac {1}{2}}ka^{2}\right)=0,}$$${\displaystyle a:}$ $${\displaystyle \omega ^{2}=k^{2}+1+{\tfrac {3}{4}}\sigma a^{2}.}$$

波動作用は波動作用フラックス群速度は${\textstyle {\mathcal {A}}={\tfrac {1}{2}}\omega a^{2}}$${\textstyle {\mathcal {B}}={\tfrac {1}{2}}ka^{2}.}$ ${\displaystyle v_{g}}$${\displaystyle v_{g}\equiv {\mathcal {B}}/{\mathcal {A}}=k/\omega .}$

平均ラグランジアンは、ラグランジアンを波の位相にわたって積分することで得られます。その結果、平均ラグランジアンには波の位相の微分（定義により、これらの微分は角周波数と波数）のみが含まれ、波の位相自体には依存しません。したがって、解は波の位相のゼロレベルの選択とは無関係になります。その結果、ノイマンの定理により、波の位相に関する平均ラグランジアンの変化は保存則をもたらします。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\bar {\mathcal {L}}}}$

どこ

• $${\displaystyle {\mathcal {A}}\equiv {\frac {\delta {\bar {\mathcal {L}}}}{\delta \omega }}=-{\frac {\delta {\bar {\mathcal {L}}}}{\delta \left(\partial _{t}\theta \right)}},}$$
• $${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {B}}}\equiv -{\frac {\delta {\bar {\mathcal {L}}}}{\delta {\boldsymbol {k}}}}=-{\frac {\delta {\bar {\mathcal {L}}}}{\delta \left({\boldsymbol {\nabla }}\theta \right)}},}$$

は波動作用、波動作用フラックスで表されます。さらに、は時間に関する偏微分を表し、は勾配演算子です。定義により、群速度は次のように表されます。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {B}}}}$${\displaystyle \partial _{t}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{g}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {B}}}\equiv {\boldsymbol {v}}_{g}{\mathcal {A}}.}$$

一般に、平均流とのエネルギー交換があるため、波動のエネルギーは保存される必要がないことに注意してください。全エネルギー、つまり波動のエネルギーと平均流のエネルギーの合計は保存されます (外部力による作業がなく、エネルギーの散逸がない場合)。

波動作用の保存は、変分法の代わりにニュートン力学を用いて、波と平均運動の複合流れの方程式に一般化ラグランジュ平均（GLM）法を適用することによっても見出されます。 ^[21]

線形モデルによる純粋な波動運動は、常に次の形式の平均ラグランジアン密度をもたらす：^[14] $${\displaystyle {\mathcal {L}}=G(\omega ,{\boldsymbol {k}})a^{2}.}$$

その結果、振幅に関する変化は次のようになる 。${\displaystyle \partial {\mathcal {L}}/\partial a=0}$$${\displaystyle G(\omega ,{\boldsymbol {k}})=0.}$$

したがって、これは線形波の分散関係となり、線形波の平均ラグランジアン値は常に分散関数と振幅の二乗の積になります。 ${\displaystyle G(\omega ,{\boldsymbol {k}})}$

より一般的には、1次元空間を伝播し、高次の分散効果を含む弱非線形かつゆっくりと変調された波動の場合（微分を取る際に時間および空間の微分と振幅の微分を無視しない、ここでは小さな変調パラメータ）、平均ラグランジアン密度は次の形式になる：^[22] ここで、遅い変数と${\displaystyle \partial _{t}a}$${\displaystyle \partial _{x}a}$${\displaystyle a(\mu x,\mu t)}$${\displaystyle \mu \ll 1}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}=G(\omega ,k)a^{2}+G_{2}(\omega ,k)a^{4}+{\tfrac {1}{2}}\mu ^{2}\left(G_{\omega \omega }(\partial _{T}a)^{2}+2G_{\omega k}(\partial _{T}a)(\partial _{X}a)+G_{kk}(\partial _{X}a)^{2}\right),}$$ ${\displaystyle X=\mu x}$${\displaystyle T=\mu t.}$