ストークス波

流体力学において、ストークス波は、平均深さが一定の非粘性流体層上の非線形かつ周期的な 表面波です。このタイプのモデリングは、ジョージ・ストークス卿が摂動級数アプローチ（現在はストークス展開として知られています）を使用して非線形波動の近似解を得た 19 世紀半ばに遡ります。

ストークスの波動理論は、中水域および深水域の波に直接実用的に使用できます。これは、波の運動学（自由表面の高さと流速）を決定するために、沿岸および沖合構造物の設計に使用されます。波の運動学は、構造物への波荷重を決定する設計プロセスで必要になります。 ^{[2]長波（深さと比較して）の場合、およびストークス展開のいくつかの項のみを使用する場合、その適用範囲は小}振幅の波に限定されます。このような浅瀬では、クノイダル波理論の方が周期波の近似値として適していることがよくあります。

厳密に言えば、ストークス波は永続的な形態の進行性周期波を指しますが、この用語は定在波^[3]やランダム波[4]に関連して使用されることもあります。^[ 5 ^]

以下の例は、純粋な波動の場合、つまり周囲の平均流がない場合の、 重力の作用（表面張力の影響なし）によるストークス波について説明しています。

ストークスの3次理論によれば、深海（流体層は無限の深さ）上の進行性表面重力波 の場合 、自由表面の標高η、速度ポテンシャルΦ、位相速度（または加速度）c、波の位相 θは次のように表される。 ^[6] $${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (x,t)=&a\left\{\left[1-{\tfrac {1}{16}}(ka)^{2}\right]\cos \シータ +{\tfrac {1}{2}}(カ)\,\cos 2\シータ +{\tfrac {3}{8}}(カ)^{2}\,\cos 3\シータ\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\\Phi (x,z,t)=&a{\sqrt {\frac {g}{k }}}\,{\text{e}}^{kz}\,\sin \theta +{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\c=&{ \frac {\オメガ}{k}}=\left(1+{\tfrac {1}{2}}(ka)^{2}\right)\,{\sqrt {\frac {g}{k}}}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4 }\right),{\text{ および}}\\\theta (x,t)=&kx-\omega t,\end{aligned}}}$$

• x は水平座標です。
• z は垂直座標であり、正のz方向は上向き（地球の重力の方向と反対）であり、z = 0 は平均地表標高 に対応します。
• tは時間です。
• aは一次波の振幅である。
• kは角波数、k = 2 π / λ、 λは波長です。
• ωは角周波数、ω = 2 π / τ、τは周期、そして
• g は地球の重力の強さであり、この近似では定数です。

膨張パラメータkaは波の急峻さとして知られています。位相速度は波の非線形性kaの増加とともに増加します。波高 Hは波頭と波谷の表面標高ηの差であり、次の式で表されます。^[7] $${\displaystyle H=2a\,\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,k^{2}a^{2}\right).}$$

速度ポテンシャルΦの2次項と3次項はゼロであることに注意する。4次項でのみ、1次理論、すなわちエアリー波理論から逸脱する寄与が現れる。^[6] 3次項まで、軌道速度場 u  =  ∇ Φは、各位置（ x、z ）での速度ベクトルの円運動で構成される。その結果、深海波の表面高度は、ストークス（1847）がすでに指摘したように、ほぼトロコイド状になる。 ^[8]

ストークスはさらに、（このオイラーの記述では）三次軌道速度場は各点で円運動から構成されるが、流体塊のラグランジュ経路は閉じた円ではないことに気づいた。これは、表面下の深さが増すにつれて速度振幅が減少するためである。流体塊のこのラグランジュドリフトはストークスドリフトとして知られている。^[8]

表面標高ηと速度ポテンシャルΦは、平均深さhの流体層上の表面重力波に関するストークスの2次理論によれば、次の通りである。^{[6] [9]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (x,t)=&a\left\{\cos \,\theta +ka\,{\frac {3-\sigma ^{2}}{4\,\ sigma ^{3}}}\,\cos \,2\theta \right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{3}\right),\\\Phi (x,z,t)=&a\,{\frac {\omega }{k}}\,{\frac {1}{\sinh \,kh}}\\&\times \left\{\cosh \ ,k(z+h)\sin \,\theta +ka\,{\frac {3\cosh \,2k(z+h)}{8\,\sinh ^{3}\,kh}}\, \罪\,2\シータ\right\}\\&-(ka)^{2}\,{\frac {1}{2\,\sinh \,2kh}}\,{\frac {g\,t}{k}}+ {\mathcal {O}}\left((ka)^{3}\right),\\c=&{\frac {\omega }{k}}={\sqrt {{\frac {g}{k }}\,\sigma }}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{2}\right),\\\sigma =&\tanh \,kh\quad {\text{および}} \quad \theta (x,t)=kx-\omega t.\end{aligned}}}$$

有限の深さでは、速度ポテンシャル Φ は位置 ( xとz ) とは無関係に、時間に対して線形ドリフトを含むことに注意してください。この時間ドリフトと Φ の 2 倍周波数項 (sin 2θ を含む) は、深海波では消えます。

ストークスの2次理論によれば、2次と1次の自由表面振幅の比S^{は次のように表される。 [6]} $${\displaystyle {\mathcal {S}}=ka\,{\frac {3-\tanh ^{2}\,kh}{4\,\tanh ^{3}\,kh}}.}$$

深海では、khが大きい場合、比Sは漸近線を持つ。 $${\displaystyle \lim _{kh\to \infty }{\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\,ka.}$$

長い波、すなわちkh が小さい波の場合、比S は次のように振舞います 。 または 、波高H = 2 aおよび波長λ = 2 π / kに関して、 $${\displaystyle \lim _{kh\downarrow 0}{\mathcal {S}}={\frac {3}{4}}\,{\frac {ka}{(kh)^{3}}},}$$$${\displaystyle \lim _{kh\downarrow 0}{\mathcal {S}}={\frac {3}{32\,\pi ^{2}}}\,{\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}={\frac {3}{32\,\pi ^{2}}}\,{\mathcal {U}},}$$$${\displaystyle {\mathcal {U}}\equiv {\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}.}$$

ここでU はウルセルパラメータ（またはストークスパラメータ）である。波高Hが小さい長波（ λ ≫ h ） 、すなわちU ≪ 32π ² /3 ≈ 100の場合、2次のストークス理論が適用できる。そうでない場合、かなり長い波（λ > 7 h ）で波高Hがかなり大きい場合、クノイダル波の記述がより適切である。^[6]ヘッジスによれば、5次のストークス理論はU < 40に適用可能であり、それ以外の場合は5次のクノイダル波理論が望ましい。^{[10] [11]}

重力の作用下にあるストークス波の場合、ストークスの速度の第一定義によれば、三次の分散関係は次のようになる。 ^[9]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega ^{2}&=\left(gk\,\tanh \,kh\right)\;\left\{1+{\frac {9-10\,\sigma ^{2}+9\,\sigma ^{4}}{8\,\sigma ^{4}}}\,(ka)^{2}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\&\qquad {\text{with}}\\\sigma &=\tanh \,kh.\end{aligned}}}$$

この3次分散関係は、2次ストークス解を（周期波問題の摂動級数の）3次方程式に挿入するときに 永年項を回避したことによる直接的な結果です。

深海（深さに比べて波長が短い）の場合： 浅海（深さに比べて波長が長い）の場合： $${\displaystyle \lim _{kh\to \infty }\omega ^{2}=gk\,\left\{1+\left(ka\right)^{2}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),}$$$${\displaystyle \lim _{kh\downarrow 0}\omega ^{2}=k^{2}\,gh\,\left\{1+{\frac {9}{8}}\,{\frac {\left(ka\right)^{2}}{\left(kh\right)^{4}}}\right\}}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right).}$$

上に示したように、分散関係の長波ストークス展開は、Ursellパラメータの値が十分に小さい場合にのみ有効です: U ≪ 100。

表面重力波の解を求める際の基本的な問題は、境界条件を自由表面の位置に適用する必要があることです。自由表面の位置は事前にはわかっておらず、したがって、見つけるべき解の一部となります。 ジョージ・ストークス卿は、1847年に、関連するポテンシャルフロー量を平均（または静止）表面標高の周りのテイラー級数に展開することで、この非線形波動問題を解決しました。 ^[12]その結果、境界条件は平均（または静止）表面標高（固定されており既知）における量で表現できるようになりました。

次に、非線形波動問題（平均または静止表面標高の周りのテイラー級数展開を含む）の解は、ストークス展開と呼ばれる摂動級数によって、小さなパラメータ（ほとんどの場合、波の傾き）に関して求められます。展開内の未知の項は、順番に解くことができます。^{[6] [8]}多くの場合、エンジニアリングの目的に十分な精度の解を提供するために必要な項の数はわずかです。^{[11]典型的な用途は、}沿岸および沖合の構造物や船舶の設計です。

非線形波のもう一つの特性は、非線形波の位相速度が波の高さに依存することである。摂動級数アプローチでは、これは波の周期的挙動と矛盾する、解の誤った永年変化を容易に引き起こす。ストークスは、分散関係を摂動級数に拡張することでこの問題を解決した。この方法は、現在リンステット・ポアンカレ法として知られている。^[6]

ストークスの波動理論は、摂動展開の低次の場合（例えば、2次、3次、または5次まで）、中深海、すなわち平均深度（ h ）と比較して大きくない波長（λ ）の非線形波に有効である。浅い水では、低次のストークス展開は（深さと比較して）かなりの波の振幅に対して破綻する（非現実的な結果をもたらす）。その場合、ブシネスク近似がより適切である。ブシネスク型（多方向）波動方程式のさらなる近似は、一方向の波の伝播に対して、コルテウェグ・ド・フリース方程式またはベンジャミン・ボナ・マホニー方程式につながる。（ほぼ）正確なストークス波解と同様に、^[14]これら2つの方程式には、クノイダル波として知られる周期波解の他に、孤立波（ソリトン）解がある。^[11]

ウィルトンは1914年にすでに深海表面重力波のストークス展開を10次まで拡張していたが、8次で誤差が生じていた。^[15]有限深度に対する5次理論は1955年にデによって導かれた。^[16]工学的使用には、フェントンの5次定式化が便利で、ストークスの位相速度（速度）の第一および第二定義の両方に適用できる。^[17] 5次ストークス理論が5次クノイダル波理論よりも優れているかどうかの境界は、アーセルパラメータが約40以下の場合である。 ^{[10] [11]}

非線形波動問題に対するストークス的なアプローチでは、参照フレームと展開パラメータのさまざまな選択が可能です。1880年にストークス自身が、速度ポテンシャルと流れ関数を独立変数とし、座標（x、z）を従属変数として、それぞれxとzを水平座標と垂直座標とすることで、従属変数と独立変数を逆転させました。^[18]これには、波が安定している（つまり位相速度とともに移動する）参照フレーム内の自由表面が、流れ関数が一定である線と一致するという利点があります。すると、自由表面の位置は事前にわかっており、解の未知の部分ではありません。欠点は、言い換えられた級数展開の収束半径が減少することです。 ^[19]

もう一つのアプローチは、流体区画を追うラグランジュ座標系を使用することです。ラグランジュの定式化は、オイラー座標系や、ポテンシャルと流れ関数を独立変数とする座標系での定式化と比較して、収束性が高まります。^{[20] [21]}

1957年にクラッパーは、永久形状の純粋非線形表面張力波と無限の流体深度に対する正確な解を得た。これらの表面張力波は、重力の影響が無視できる場合、表面張力によって強制される短波であるため、鋭い谷と平坦な山を持つ。これは、鋭い山と平坦な谷を持つ非線形表面重力波とは対照的である。^[22]

コンピュータ モデルの使用により、表面重力波のストークス展開は、Schwartz (1974) によって高次 (117 次) まで継続されました。Schwartz は、1 次基本波の振幅a (またはa ₁ ) が最大波高Hに達する前に最大になることを発見しました。その結果、波の振幅に関する波の傾きka は最高波まで単調関数ではなく、Schwartz は代わりにkH を展開パラメーターとして使用しています。深海での最高波を推定するために、Schwartz はパデ近似値とDomb–Sykes プロットを使用して、ストークス展開の収束を改善しました。異なる方法で計算された (ただし、他の方法による結果に従った) さまざまな深さでのストークス波の拡張表は、Williams (1981、1985) で提供されています。

ロンゲ＝ヒギンズ（1975）が発見したように、運動エネルギーと位置エネルギー、水平波の運動量、放射応力などの積分特性の間には、いくつかの厳密な関係が存在する。彼は、深海の波について、これらの積分特性の多くが最大波高に達する前に最大値をとることを示している（シュワルツの発見を裏付けている）。コケレット（1978）は、シュワルツの方法に似た方法を使用して、有限の水深の広い範囲（すべて最高波高以下で最大値をとる）について積分特性を計算し、表にまとめた。さらに、これらの積分特性は、ノイマンの定理を通じて、水波の保存則において重要な役割を果たしている。^[25]harvtxt エラー: ターゲットがありません: CITEREFCokelet1978 (ヘルプ)

2005年、ハマック、ヘンダーソン、セガーは、深海における永久形状の3次元進行波、すなわち永久形状の二重周期および2次元進行波パターンの存在について、最初の実験的証拠を提供した。^[26]これらの3次元の安定した深海波の存在は、2002年にクレイグとニコルズによる数値的方法を用いた2次元ストークス波の分岐研究から明らかにされた。^[27]

ストークス展開の収束は、レヴィ＝チヴィタ（1925）によって、無限深度の流体の自由表面上の小振幅波の場合に初めて証明された。これはその後すぐに、有限深度と小振幅波の場合にストルイク（1926）によって拡張された。^[28]

20 世紀末に、有限振幅波の場合、ストークス展開の収束は周期波問題の定式化に大きく依存することが示されました。たとえば、ストークスが使用した周期波問題の逆定式化 (速度ポテンシャルと流れ関数の関数としての空間座標) は、高振幅波では収束しません。一方、他の定式化は、たとえばオイラー座標系(速度ポテンシャルまたは流れ関数を空間座標の関数とする)では、はるかに速く収束します。 ^[19]

周期波と伝播する深海波の最大波高はH / λ = 0.1410633 ± 4 · 10 ^{−7 [29]}なので、波高は約7分の1（⁠1/7⁠）の波長λである。^[24]そして、この最大高さの表面重力波は、1880年にストークスによって示されたように、有限の深さに対しても、120°（流体領域で）の角度を持つ鋭い波頭を持つ。 ^[18]

深海における最高波の傾きの正確な推定値 ( H / λ ≈ 0.142 ) は、1893 年にジョン・ヘンリー・ミッチェルによって数値的手法を用いてすでになされていました。^[30]鋭角の波頭付近における最高波の挙動に関するより詳細な研究は、1973 年にマルコム・A・グラントによって発表されました。^[31] 120° の鋭角の波頭を持つ深海における最高波の存在は、1978 年にジョン・トーランドによって証明されました。 ^[32] 120° の鋭角の波頭を持つ連続する最大値間の η(x) の凸性は、1982 年に CJ アミックらとパベル・I・プロトニコフによって独立に証明されました。^{[33] [34]}

重力の作用下にある最も高いストークス波は、自由表面の標高η（x、t）の次の単純かつ正確な表現 で 近似できる。 ^[35] $${\displaystyle {\frac {\eta }{\lambda }}=A\,\left[\cosh \,\left({\frac {x-ct}{\lambda }}\right)-1\right],}$$$${\displaystyle A={\frac {1}{{\sqrt {3}}\,\sinh \left({\frac {1}{2}}\right)}}\approx 1.108,}$$$${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\,\lambda \leq (x-ct)\leq {\tfrac {1}{2}}\,\lambda ,}$$

そして、通常の波列の他の波を表すために、水平方向に整数倍の波長でシフトされます。この近似は、最も高い波の「正確な」解と比較して、どこでも0.7％以内の精度です。^[35]

最も急峻な波の表面における流体の動きを近似的に表すもう一つの方法は、前の方法ほど正確ではないが、おじいさんの時計の振り子の揺れとの類推である。^[36]

無限深度の場合に高精度で計算され、パデ近似として高精度（小数点以下27桁以上）で表現されたストークス波の大規模ライブラリは、StokesWave.org ^[37]で見つけることができます。

より深い水では、ストークス波は不安定である。^[38] これは、1967 年にT. Brooke Benjaminと Jim E. Feir によって示された。 ^{[39] [40]} Benjamin –Feir 不安定性は、サイドバンド不安定性または変調不安定性であり、サイドバンド変調は搬送波と同じ方向に伝播します。波は、相対深度kh > 1.363 ( kは波数、hは平均水深)を超える深い水域では不安定になります。 ^[41] Benjamin–Feir 不安定性は、サイドバンドを持つストークス波を挿入することにより、非線形シュレーディンガー方程式で記述できます。 ^[38]その後、より洗練された分析により、理論的および実験的に、ストークス波とそのサイドバンドがフェルミ–パスタ–ウラム–ツィンゴウ回帰、つまり変調と復調の周期的な交代を示すことが示されました。^[42]

1978 年、ロンゲ-ヒギンズは、完全に非線形な波と変調 (搬送波方向に伝播) の数値モデル化によって、深海の不安定領域の詳細な解析を発表しました。解析は、超調和波 (波長 より小さい空間スケールでの摂動) ^[43]と分数調和波 (波長 より大きい空間スケールでの摂動) ^[44]の両方について行われました。 ストークス波の振幅が増加すると、超調和不安定性の新しいモードが出現します。波のエネルギーが極値を通過すると、新しい不安定性の分岐が出現します。新しい不安定性の分岐の出現メカニズムの詳細な解析により、それらの動作は単純な法則に厳密に従うことが示され、これにより、すべての既知および予測される分岐の不安定性の成長率を高い精度で見つけることができます。^[45] ロンゲ・ヒギンズによる2次元波動の研究、およびそれに続くマクリーンらによる3次元変調の研究では、5つ（またはそれ以上）の波動成分間の共鳴波相互作用に関連する新しいタイプの不安定性が発見された。 ^{[46] [47] [48]}${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

多くの場合、表面波の流体内部の振動流は、自由表面と底面近くの境界層（粘性効果のために渦度が重要になる、ストークス境界層を参照）を除いて、ポテンシャル流理論を使用して正確に記述できます。 ^[49]次に、流速uは速度ポテンシャルの勾配として記述できます。 ${\displaystyle \Phi }$

その結果、非圧縮流を仮定すると、速度場uは発散がなく、速度ポテンシャルはラプラス方程式^[49]を満たす。${\displaystyle \Phi }$

流体内部で。

流体領域は、3 次元の直交座標( x、y、z ) を使用して記述されます。xとy は水平座標、z は垂直座標で、 zの正方向は重力加速度の方向と反対になります。時間はtで示されます。自由表面はz = η ( x、y、t )にあり、流体領域の底部はz = − h ( x、y )にあります。

表面重力波の自由表面境界条件は、ポテンシャル流れ記述を用いて、運動学的境界条件と動的境界条件から構成される。 ^[50] 運動学的境界条件は、自由表面における流体の流速の法線成分（行列表記）が自由表面運動の法線速度成分z = η ( x , y , t )に等しくなることを保証する。 ${\displaystyle \mathbf {u} =[\partial \Phi /\partial x~~~\partial \Phi /\partial y~~~\partial \Phi /\partial z]^{\mathrm {T} }}$

動的境界条件は、表面張力の影響がない場合、自由表面のすぐ上の大気圧が表面のすぐ下の流体圧力に等しいことを規定します。不安定なポテンシャルフローの場合、これはベルヌーイ方程式が自由表面に適用されることを意味します。大気圧が一定の場合、動的境界条件は次のようになります。

ここで、一般性を失うことなく、一定の大気圧はゼロに等しいとされています。

どちらの境界条件も、表面標高ηだけでなく電位も含んでいる。電位のみで表した（動的）境界条件は、動的境界条件の物質微分をとり、運動学的境界条件を使用することで構築できる：^{[49] [50] [51]}${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle {\color {Gray}{{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}{\Bigr )}\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,|\mathbf {u} |^{2}+g\,\eta \right)=0}}}$$ $${\displaystyle {\color {Gray}{\Rightarrow \quad {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}+\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)=0}}}$$

流体層の底部では、不浸透性は流速の法線成分が消失することを必要とする： ^[49]

ここで、h ( x , y )は基準点 z =0の下の河床の深さであり、nは河床に垂直な方向の座標成分である。

水平な床の上の永久波の場合、平均深さhは定数であり、床における境界条件は次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial z}}=0\qquad {\text{ at }}z=-h.}$$

自由表面境界条件(D)および(E)は、まだ不明な自由表面標高z = η ( x , y , t )で適用されます。これらは、その標高の周りの流れ場のテイラー級数展開を使用することで、固定標高z = 定数での境界条件に変換できます。 ^[49] 一般性を失うことなく、テイラー級数が展開される平均表面標高はz = 0で取ることができます。これにより、展開が実際の自由表面標高に近い標高の周りで行われることが保証されます。小振幅の定常波動に対するテイラー級数の収束は、Levi-Civita (1925) によって証明されました。

以下の表記法が用いられる：z = 0の周りの、そしてz = η ( x , y , t )で評価された、ある体f ( x , y , z , t )のテイラー級数は：^[52] 下付き文字ゼロはz = 0での評価を意味し、例えば：[ f ] ₀ = f ( x , y ,0, t )。 $${\displaystyle f(x,y,\eta ,t)=\left[f\right]_{0}+\eta \,\left[{\frac {\partial f}{\partial z}}\right]_{0}+{\frac {1}{2}}\,\eta ^{2}\,\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\right]_{0}+\cdots }$$

テイラー展開を自由表面境界条件式(E)に適用すると、ポテンシャルΦは次のようになる。^{[49] [52]}

3次O (( ka ) ³ )までのストークス展開の構築に必要な、η、Φ、uの三重積までの項を示しています。ここで、 ka は波の急峻さで、kは研究対象の問題の特性波数、aは特性波振幅です。フィールドη、Φ、uはO ( ka )であると仮定します。

動的自由表面境界条件式（D）は、z = 0における量で次のように評価できる：^{[49] [52]}

これらのテイラー級数展開の利点は、弱非線形波（ka ≪ 1）に対して、摂動級数アプローチと組み合わせることで完全に現れます。

摂動級数は小さな秩序パラメータε ≪ 1で表され、これは後に波の傾きkaに比例する（そしてその順序である）ことがわかります。このセクションの級数解を参照してください。^[53]したがって、ε = kaとすると： $${\displaystyle {\begin{aligned}\eta &=\varepsilon \,\eta _{1}+\varepsilon ^{2}\,\eta _{2}+\varepsilon ^{3}\,\eta _{3}+\cdots ,\\\Phi &=\varepsilon \,\Phi _{1}+\varepsilon ^{2}\,\Phi _{2}+\varepsilon ^{3}\,\Phi _{3}+\cdots \quad {\text{and}}\\\mathbf {u} &=\varepsilon \,\mathbf {u} _{1}+\varepsilon ^{2}\,\mathbf {u} _{2}+\varepsilon ^{3}\,\mathbf {u} _{3}+\cdots .\end{aligned}}}$$

流れ方程式に適用する場合、それらはεの特定の値に依存せずに有効でなければならない。 εのべき乗で等しくすると、 εの特定のべき乗に比例する各項はゼロに等しくなければならない。摂動級数アプローチがどのように機能するかの例として、非線形境界条件(G)を考えてみましょう。これは次のようになります: ^[6] $${\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon \,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right\}\\&+\varepsilon ^{2}\,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}+\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)\right\}\\&+\varepsilon ^{3}\,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{3}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{3}}{\partial z}}+\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}\right)\right.\\&\qquad \quad \left.+\eta _{2}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+2\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {u} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}\right)\right.\\&\qquad \quad \left.+{\tfrac {1}{2}}\,\eta _{1}^{2}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial z}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} _{1}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)\right\}\\&+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{4}\right)=0,\qquad {\text{at }}z=0.\end{aligned}}}$$

最初の 3 つの次数に対する z = 0での境界条件は次のようになります。

最初の注文:

2番目の注文:

第三の注文:

同様に、動的境界条件(H)から、 z = 0における1、2、3 次の 条件は次のようになります。

最初の注文:

2番目の注文:

第三の注文:

線形方程式(A)、 (B)、(F)の場合、摂動法によって他の次数の摂動解とは独立した一連の方程式が得られる。

上記の摂動方程式は、1 次から始めて、2 次、3 次と続けて順番に解くことができます。

永久波は一定の位相速度（または速度）で伝播し、これをcと表記する。定常波動が水平方向のx方向である場合、流量ηとuはxと時間tに別々に依存するのではなく、 x − ctの関数となる。^[55] $${\displaystyle \eta (x,t)=\eta (x-ct)\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} (x,z,t)=\mathbf {u} (x-ct,z).}$$

さらに、波は周期的であり、また恒久的な形態であるため、水平空間xと時間tの両方において、それぞれ波長 λと周期 τである。Φ ( x , z , t ) 自体は、 xおよび/またはtにおける一定 (線形) ドリフトの可能性があるため、必ずしも周期的ではないことに留意されたい: ^[56] φ ( x , z , t ) だけでなく、導関数 ∂ Φ /∂ tおよび ∂ Φ /∂ xも周期的である。ここで、βは谷底レベルより下の平均流速であり、γ は、波の位相速度cとともに移動する基準フレームで観測される水頭に関連している(したがって、この基準フレームでは 流れが安定する)。$${\displaystyle \Phi (x,z,t)=\beta x-\gamma t+\varphi (x-ct,z),}$$

ストークス展開を進行周期波に適用するには、波の位相θ ( x , t )の関数としてフーリエ級数で記述するのが有利である。^{[48] [56]} $${\displaystyle \theta =kx-\omega t=k\left(x-ct\right),}$$

波がx方向に伝播すると仮定します。ここでk = 2 π / λは波数、ω = 2 π / τは角周波数、c = ω / k (= λ / τ )は位相速度です。

さて、周期波の自由表面高度η（x、t ）はフーリエ級数として記述できる：^{[11] [56]} $${\displaystyle \eta =\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\,\cos \,(n\theta ).}$$

同様に、速度ポテンシャルΦ ( x , z , t )の対応する式は次のようになる: ^[56] $${\displaystyle \Phi =\beta x-\gamma t+\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}\,{\biggl [}\cosh \,\left(nk\,(z+h)\right){\biggr ]}\,\sin \,(n\theta ),}$$

流体内部のラプラス方程式 ∇ ² Φ = 0と、ベッドz = − hでの境界条件∂ Φ /∂ z = 0の両方を満たします。

波数kの与えられた値に対して、パラメータA _n、B _n ( n = 1、2、3、... )、c、β、γ はまだ決定されていません。これらはすべてεの摂動級数として展開できます。Fenton (1990) は、5次のストークスの波動理論に対してこれらの値を提供しています。

進行周期波の場合、 θ ( x , t )の関数f ( θ , z )のxとtに関する微分は、θに関する微分として表すことができます。 $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=+k\,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {\partial f}{\partial t}}=-\omega \,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}.}$$

非線形波動にとって重要な点は、線形エアリー波動理論とは対照的に、位相速度cが波長λ = 2π / kと平均深度hへの依存性に加えて、波の振幅 aにも依存することです。cの波の振幅への依存性を無視すると、摂動級数解への高次寄与に永年項,が出現します。ストークス (1847) は、永年挙動を防ぐために、位相速度cに必要な非線形補正をすでに適用しています。これを行う一般的なアプローチは、現在ではリンステッド-ポアンカレ法として知られています。波数kは与えられて固定されているため、角周波数ωも摂動級数に展開することで、位相速度c = ω / kの非線形挙動を考慮に入れます。 ^[9] $${\displaystyle \omega =\omega _{0}+\varepsilon \,\omega _{1}+\varepsilon ^{2}\,\omega _{2}+\cdots .}$$

ここで、ω _{0 は}線形分散関係を通じて波数kと関係していることがわかります。しかし、∂ f /∂ t = − ω ∂ f /∂ θを介した時間微分は、摂動級数の高次の支配方程式にω ₁、ω _{2などを含む寄与も与えるようになりました。ω 1}、ω ₂などを調整することで、永年挙動を防ぐことができます。表面重力波の場合、ω ₁ = 0であり、分散関係への最初のゼロ以外の寄与はω ₂から来ていることがわかります（たとえば、上記のサブセクション「3次分散関係」を参照）。^[9]

非線形表面波の場合、一般に、全体の動きを波の部分と平均の部分に分割することは曖昧です。その結果、波の位相速度（速度）を選択する際にある程度の自由があります。ストークス（1847）は、位相速度の2つの論理的な定義を特定しました。これは、ストークスの波の速度の第一定義と第二定義として知られています。^{[6] [11] [57]}

1. ストークスの波の速度に関する最初の定義では、純粋な波動の場合、谷底より下のどの位置でも水平オイラー流速Ū _Eの平均値はゼロになります。潜在的流れの非回転性と水平海底および平均水平速度の周期性により、平均水平速度は海底と谷底の間で一定になります。したがって、ストークスの最初の定義では、波は平均水平速度Ū _{Eで移動する}参照フレームから考えられます。これは、平均オイラー流速Ū _{E が}測定などからわかっている場合に有利なアプローチです。
2. ストークスの波の速度の 2 番目の定義は、波の動きの平均水平質量輸送がゼロに等しい基準フレームに対するものです。これは、波の伝播方向における飛沫帯、すなわち谷と山の高さの間の質量輸送のため、最初の定義とは異なります。この波による質量輸送は、表面標高と水平速度の正の相関関係によって引き起こされます。ストークスの 2 番目の定義の基準フレームでは、波による質量輸送は、反対の引き波によって相殺されます(したがって、 正のx方向に伝播する波ではŪ _{E < 0)。これは、実験室の}造波水槽で生成される波、または海岸に向かって垂直に移動する波の論理的な定義です。

マイケル・E・マッキンタイアが指摘したように、静水に接近する波群の平均水平質量輸送は（ほぼ）ゼロになり、深水でも波によって引き起こされる質量輸送は戻り流（引き波）による反対の質量輸送とバランスが取れます。 ^[58]これは、そうでなければ波群が伝播する水体を加速するために大きな平均力が必要になるという事実によるものです。