位相速度

波の位相速度は、波が任意の媒体を伝播する速度です。これは、波の任意の周波数成分の位相が移動する速度です。このような成分の場合、波の任意の位相（たとえば、波の頂点）は位相速度で移動するように見えます。位相速度は、波長λ（ラムダ）と時間周期Tで次 のように表されます。

${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\lambda }{T}}.}$

同様に、単位時間あたりの角度変化を表す波の角周波数 ωと、単位空間あたりの角度変化を表す波数（または角波数）kの観点からは、

${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}.}$

この方程式の基本的な直感を得るために、伝播する（余弦）波A cos( kx − ωt )を考えます。波の特定の位相がどれだけ速く伝わるかを見たいと思います。たとえば、最初の波頭の位相であるkx - ωt = 0を選択できます。これはkx = ω tを意味し、したがってv = x / t = ω / kとなります。

正式には、位相φ = kx - ωtとすると、 ω = -dφ / d tおよびk = dφ / d xであることがすぐにわかります。したがって、

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial t}}=-{\frac {\partial \phi }{\partial t}}{\frac {\partial x}{\partial \phi }}={\frac {\omega }{k}}.}$

その結果、角周波数と波数ベクトルの間には逆相関関係が見られます。波の振動数が高い場合、位相速度を一定に保つには波長を短くする必要があります。 ^{[2]さらに、}電磁放射の位相速度は、特定の状況下（異常分散など）では真空中の光速を超えることがありますが、これは超光速の情報やエネルギーの伝達を示すものではありません。 ^{[要出典]これは、}アーノルド・ゾンマーフェルトやレオン・ブリルアンなどの物理学者によって理論的に説明されました。

位相速度のこれまでの定義は、孤立した波に対して実証されています。しかし、このような定義は、波のビート、または複数の波で構成される信号にまで拡張できます。このためには、ビートまたは信号を、キャリアを乗算する低周波エンベロープとして数学的に記述する必要があります。したがって、キャリアの位相速度は、波セットの位相速度を決定します。^[3]

波の集合の群速度は次のように定義さ れる。

${\displaystyle v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}.}$

複数の正弦波が一緒に伝播する場合、波の重ね合わせによって「エンベロープ」波と、エンベロープの内側にある「キャリア」波が生成されます。これは、データ送信に変調(振幅や位相の変化) が使用される無線通信でよく見られます。この定義を直感的に理解するために、(コサイン) 波f(x, t)とそれぞれの角周波数および波ベクトル の重ね合わせを考えます。

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,t)&=\cos(k_{1}x-\omega _{1}t)+\cos(k_{2}x-\omega _{2}t)\\&=2\cos \left({\frac {(k_{2}-k_{1})x-(\omega _{2}-\omega _{1})t}{2}}\right)\cos \left({\frac {(k_{2}+k_{1})x-(\omega _{2}+\omega _{1})t}{2}}\right)\\&=2f_{1}(x,t)f_{2}(x,t).\end{aligned}}}$

つまり、2つの波の積、すなわちf _{1によって形成されるエンベロープ波と}f ₂によって形成される搬送波が得られます。エンベロープ波の速度を群速度と呼びます。f ₁の位相速度は

${\displaystyle {\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{k_{2}-k_{1}}}.}$

連続微分の場合、これが群速度の定義になります。

電磁気学と光学の分野では、周波数は波数の関数ω ( k )であるため、一般に位相速度と群速度は特定の媒体と周波数に依存します。光速cと位相速度v _pの比は屈折率と呼ばれ、n = c / v _p = ck / ωです。

このようにして、電磁気学における群速度の別の形を得ることができます。n = n (ω) と書くと、この形を導く簡単な方法は、

${\displaystyle k={\frac {1}{c}}\omega n(\omega )\implies dk={\frac {1}{c}}\left(n(\omega )+\omega {\frac {\partial }{\partial \omega }}n(\omega )\right)d\omega .}$

上記の式を整理すると、

${\displaystyle v_{g}={\frac {\partial w}{\partial k}}={\frac {c}{n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}}}.}$

この式から、屈折率が周波数に依存しない場合にのみ、群速度が位相速度に等しいことがわかります。この場合、媒体は分散型ではなく非分散型と呼ばれます。分散型では、媒体のさまざまな特性が周波数ωに依存します。この関係は、媒体の 分散関係として知られています。${\textstyle \partial n/\partial \omega =0}$${\displaystyle \omega (k)}$