放射線ストレス

流体力学において、放射応力は、平均流に作用する表面重力波の存在によって生じる、深さ方向に積分され、その後位相平均された過剰運動量フラックスです。放射応力は、2 次テンソルとして動作します。

放射応力テンソルは、波の存在による追加の力を表し、流体層内の平均深度積分水平運動量を変化させます。その結果、放射応力の変化により、平均表面標高 (波のセットアップ) と平均流量 (波誘導流) が変化します。

流体運動の振動部分における平均エネルギー密度については、不均一な平均​​流れ場の場合、放射応力テンソルがそのダイナミクスにとって重要です。

放射応力テンソル、およびそれが表面重力波と平均流の物理学に及ぼすいくつかの影響は、 1960 年から 1964 年にかけてロンゲ＝ヒギンズとスチュワートによって発表された一連の論文で定式化されました。

放射線ストレスは、電磁放射線に対する放射線圧の類似効果からその名前が付けられています。

放射応力（波の存在による平均過剰運動量フラックス）は、さまざまな沿岸プロセスの説明とモデル化において重要な役割を果たしている：^{[1] [2] [3]}

• 波のセットアップとセットダウン– 放射応力は、平均流の自由表面標高に作用する放射圧の一部です。波の砕波によって波高が減少する砕波帯のように、放射応力が空間的に変化すると、平均表面標高の変化が生じ、これを波のセットアップ（水位が上昇した場合）とセットダウン（水位が下降した場合）と呼びます。
• 波動流、特に砕波帯の沿岸流- 海岸への波の斜入射の場合、砕波帯内部の波高の減少（砕波による）により、砕波帯の幅にわたる放射応力のせん断応力成分S _xyに変化が生じます。これにより、波動流が強制的に発生し、堆積物の輸送（沿岸漂流）とその結果生じる海岸地形に重要な意味を持ちます。
• 束縛長波または強制長波は、低重力波の一部です。波群の場合、放射応力は群に沿って変化します。その結果、非線形長波は、群内の変調された短波の群速度で、群とともに伝播します。一方、分散関係によれば、この長さの長波は、それ自身の（より高い）位相速度で伝播するはずです。この束縛長波の振幅は、波高の2乗で変化し、浅瀬でのみ顕著になります。
• 波と流れの相互作用- 変化する平均流 場において、波と平均流の間のエネルギー交換、および平均流の強制は、放射応力によってモデル化できます。

一方向の波動伝播（例えばx座標方向）の場合、放射応力テンソルの動的重要性の成分はSxxである_。これは次のように定義される。^[4]

${\displaystyle S_{xx}={\overline {\int _{-h}^{\eta }\left(p+\rho {\tilde {u}}^{2}\right)\;{\text{d}}z}}-{\frac {1}{2}}\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right)^{2},}$

ここで、p ( x , z , t ) は流体圧力、は流速ベクトルの振動部分の水平x成分、zは垂直座標、tは時間、z  = − h ( x ) は流体層の床標高、z  =  η ( x , t ) は表面標高です。さらに、ρは流体の密度、g は重力加速度であり、上線は位相平均化を表します。右辺の最後の項、⁠${\displaystyle {\tilde {u}}(x,z,t)}$ 1/2⁠ ρg ( h + η ) ^{2 は}静水深にわたる 静水圧の積分です。

最低（2番目）のオーダーでは、周期波の放射応力Sxx_はエアリー波理論による表面重力波の特性から決定できる：^{[5] [6]}

${\displaystyle S_{xx}=\left(2{\frac {c_{g}}{c_{p}}}-{\frac {1}{2}}\right)E,}$

ここで、c _pは波の位相速度、c _{g は}波の群速度である。さらに、 E は単位水平面積あたりの平均深度積分波エネルギー密度（運動エネルギーと位置エネルギーの合計）である。エアリー波動理論の結果から、2次の平均エネルギー密度E は次の式に等しい: ^[7]

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}\rho ga^{2}={\frac {1}{8}}\rho gH^{2},}$

ここで、 aは波の振幅、H  = 2 a は波の高さです。この式は周期波用であることに注意してください。ランダム波では、二乗平均平方根波高H _rmsを使用する必要があります。H _rms  =  H _m0  /  √ 2 （ H _m0は有意波高）です。この場合、E  =  1 ⁄ 16 ρgH _m0 ²となります。

2次元の水平方向の波動伝播の場合、放射応力は2次テンソル^{[8] [9]}であり、その成分は次のようになる。 ${\displaystyle \mathbf {S} }$

${\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}S_{xx}&S_{xy}\\S_{yx}&S_{yy}\end{pmatrix}}.}$

直交座標系（x , y , z）では、次のようになります。 ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xx}&={\overline {\int _{-h}^{\eta }\left(p+\rho {\tilde {u}}^{2}\right)\;{\text{d}}z}}-{\frac {1}{2}}\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right)^{2},\\S_{xy}&={\overline {\int _{-h}^{\eta }\left(\rho {\tilde {u}}{\tilde {v}}\right)\;{\text{d}}z}}=S_{yx},\\S_{yy}&={\overline {\int _{-h}^{\eta }\left(p+\rho {\tilde {v}}^{2}\right)\;{\text{d}}z}}-{\frac {1}{2}}\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right)^{2},\end{aligned}}}$

ここで、およびは、流速ベクトルの 振動部分の水平方向のx成分とy成分です。${\displaystyle {\tilde {u}}}$${\displaystyle {\tilde {v}}}$${\displaystyle {\tilde {u}}(x,y,z,t)}$

2次の波の振幅aにおける進行周期波の放射応力テンソルの成分は次のようになる。^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xx}&=\left[{\frac {k_{x}^{2}}{k^{2}}}{\frac {c_{g}}{c_{p}}}+\left({\frac {c_{g}}{c_{p}}}-{\frac {1}{2}}\right)\right]E,\\S_{xy}&=\left({\frac {k_{x}k_{y}}{k^{2}}}{\frac {c_{g}}{c_{p}}}\right)E=S_{yx},\quad {\text{and}}\\S_{yy}&=\left[{\frac {k_{y}^{2}}{k^{2}}}{\frac {c_{g}}{c_{p}}}+\left({\frac {c_{g}}{c_{p}}}-{\frac {1}{2}}\right)\right]E,\end{aligned}}}$

ここで、k _xとk _{y は}波数ベクトルkのx成分とy成分で、長さはk  = | k | =  √ k _x ² + k _y ²で、ベクトルk は波の山に垂直です。位相速度c _pと群速度c _{g は}それぞれ位相速度ベクトルと群速度ベクトルの長さです。c _p  = | c _p | および c _g  = | c g _|。

放射応力テンソルは、波と平均流の位相平均動的相互作用を記述する上で重要な量である。ここでは、深さ方向に積分された動的保存方程式が与えられているが、表面波によって強制されるか表面波と相互作用する3次元平均流をモデル化するために、流体層上の放射応力の3次元記述が必要である。^[10]

伝播する波は、波の伝播方向に比較的小さな平均質量輸送を引き起こし、これは波（疑似）運動量とも呼ばれる。^[11]最低次では、波の運動量Mw_は、水平面積の単位あたりで次のようになる。^[12]

${\displaystyle {\boldsymbol {M}}_{w}={\frac {\boldsymbol {k}}{k}}{\frac {E}{c_{p}}},}$

これは、非回転流における永久形状の進行波に対して正確です。上記のc _{p は}平均流に対する位相速度です。

${\displaystyle c_{p}={\frac {\sigma }{k}}\qquad {\text{with}}\qquad \sigma =\omega -{\boldsymbol {k}}\cdot {\overline {\boldsymbol {v}}},}$

ここでσは平均水平流速vで動く観測者から見た固有角周波数であり、ωは静止した観測者（地球に対して）の見かけの角周波数である。その差k ⋅ vがドップラーシフトである。^[13]

平均水平運動量M（水平面積単位あたり）は、運動量を深さ方向に積分した平均値です。

${\displaystyle {\boldsymbol {M}}={\overline {\int _{-h}^{\eta }\rho \,{\boldsymbol {v}}\;{\text{d}}z}}=\rho \,\left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {\boldsymbol {v}}}+{\boldsymbol {M}}_{w},}$

ここで、v ( x , y , z , t ) は自由表面z  =  η ( x , y , t ) の下の任意の点における全流速です。平均水平運動量M は、深さ方向に積分された水平質量フラックスの平均でもあり、2 つの寄与から構成されます。1 つは平均流によるもので、もう 1 つ ( M _w ) は波によるものです。

質量輸送速度uは次のように定義される: ^{[14] [15]}

${\displaystyle {\overline {\boldsymbol {u}}}={\frac {\boldsymbol {M}}{\rho \,\left(h+{\overline {\eta }}\right)}}={\overline {\boldsymbol {v}}}+{\frac {{\boldsymbol {M}}_{w}}{\rho \,\left(h+{\overline {\eta }}\right)}}.}$

平均水深（ h + η ）で割る前に、まず水深積分水平運動量を平均化することに注目してください。

平均質量保存則はベクトル表記で次のように表される：^[14]

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right)\right]+\nabla \cdot \left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {\boldsymbol {u}}}\right]=0,}$

uには波の運動量M _wの寄与が含まれます。

水平平均運動量保存則は次の通りである: ^[14]

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {\boldsymbol {u}}}\right]+\nabla \cdot \left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {\boldsymbol {u}}}\otimes {\overline {\boldsymbol {u}}}+\mathbf {S} +{\frac {1}{2}}\rho g(h+{\overline {\eta }})^{2}\,\mathbf {I} \right]=\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right)\nabla h+{\boldsymbol {\tau }}_{w}-{\boldsymbol {\tau }}_{b},}$

ここで、u  ⊗  u はuとそれ自身のテンソル積を表し、τ _wは自由表面での平均風せん断応力、 τ _{b は}河床せん断応力です。さらに、I は恒等テンソルであり、その成分はクロネッカーのデルタδ _ijで与えられます。運動量方程式の右辺は、河床勾配 ∇ h、^[16]の非保存的寄与と、風による力、河床摩擦を 与えることに注意してください。

水平運動量Mに関して、上記の式は次のようになる。^[14]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right)\right]+\nabla \cdot {\boldsymbol {M}}=0,\\&{\frac {\partial {\boldsymbol {M}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[{\overline {\boldsymbol {u}}}\otimes {\boldsymbol {M}}+\mathbf {S} +{\frac {1}{2}}\rho g(h+{\overline {\eta }})^{2}\,\mathbf {I} \right]=\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right)\nabla h+{\boldsymbol {\tau }}_{w}-{\boldsymbol {\tau }}_{b}.\end{aligned}}}$

デカルト座標系では、質量保存方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{x}\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{y}\right]=0,}$

ここで、u _xとu _yはそれぞれ質量移動速度uのx成分とy成分です。

水平運動量方程式は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{x}\right]&+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{x}{\overline {u}}_{x}+S_{xx}+{\frac {1}{2}}\rho g(h+{\overline {\eta }})^{2}\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{x}{\overline {u}}_{y}+S_{xy}\right]\\&=\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right){\frac {\partial }{\partial x}}h+\tau _{w,x}-\tau _{b,x},\\{\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{y}\right]&+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{y}{\overline {u}}_{x}+S_{yx}\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{y}{\overline {u}}_{y}+S_{yy}+{\frac {1}{2}}\rho g(h+{\overline {\eta }})^{2}\right]\\&=\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right){\frac {\partial }{\partial y}}h+\tau _{w,y}-\tau _{b,y}.\end{aligned}}}$

非粘性流の場合、全流れの平均機械エネルギー、つまり平均流と変動運動のエネルギーの合計は保存されます。^[17]しかし、変動運動自体の平均エネルギーは保存されず、平均流のエネルギーも保存されません。変動運動の平均エネルギーE （運動エネルギーと位置エネルギーの合計）は次式を満たします。^[18]

${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[\left({\overline {\boldsymbol {u}}}+{\boldsymbol {c}}_{g}\right)E\right]+\mathbf {S} :\left(\nabla \otimes {\overline {\boldsymbol {u}}}\right)={\boldsymbol {\tau }}_{w}\cdot {\overline {\boldsymbol {u}}}-{\boldsymbol {\tau }}_{b}\cdot {\overline {\boldsymbol {u}}}-\varepsilon ,}$

ここで、「:」は二重ドット積を表し、εは平均機械的エネルギーの散逸（例えば波の砕波による）を表します。項は、波と流れの相互作用による平均運動とのエネルギー交換です。平均水平波エネルギー輸送（u  +  c _g）  E は、2 つの寄与から構成されます。 ${\displaystyle \mathbf {S} :\left(\nabla \otimes {\overline {\boldsymbol {u}}}\right)}$

• u  E : 平均流による波エネルギーの輸送、および
• c _g  E  : 波自体による平均エネルギー輸送。群速度 c _gは波エネルギー輸送速度です。

デカルト座標系では、流れの変動の 平均エネルギーEに関する上記の式は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial E}{\partial t}}&+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\left({\overline {u}}_{x}+c_{g,x}\right)E\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\left({\overline {u}}_{y}+c_{g,y}\right)E\right]\\&+S_{xx}{\frac {\partial {\overline {u}}_{x}}{\partial x}}+S_{xy}\left({\frac {\partial {\overline {u}}_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial {\overline {u}}_{x}}{\partial y}}\right)+S_{yy}{\frac {\partial {\overline {u}}_{y}}{\partial y}}\\&=\left(\tau _{w,x}-\tau _{b,x}\right){\overline {u}}_{x}+\left(\tau _{w,y}-\tau _{b,y}\right){\overline {u}}_{y}-\varepsilon .\end{aligned}}}$

_{したがって、}放射応力は、_空間的に不均一な電流場（ux、uy ）の場合にのみ波動エネルギーEを変化させます。