波動作用（連続体力学）

連続体力学では、波動作用は運動の波動部分の保存可能な尺度を指す。^[2]振幅が小さくゆっくり変化する波の場合、波動作用密度は次のようになる。^[3]

${\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {E}{\omega _{i}}},}$

ここで、は波の固有エネルギーであり、はゆっくり変調された波の固有周波数である。ここでの固有とは、運動の平均速度で動く基準フレームで観測されることを意味する。 ^[4]${\displaystyle E}$${\displaystyle \omega_{i}}$

波動の作用は、プラズマ中の波の（擬似）エネルギーと運動量の研究においてスターロック（1962）によって導入された。ウィサム（1965）は、不均質媒体中のゆっくり変化する非線形波列の平均ラグランジアン記述から、断熱不変量として識別される波動作用の保存を導出した。

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\mathcal {A}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\mathcal {B}}}=0,}$

ここで は波動作用の密度フラックス、は の発散です。不均質で移動する媒体における波の記述は、小振幅波の場合について Bretherton & Garrett (1968) によってさらに詳しく述べられました。彼らはまた、量を波動作用と呼びました(その後、この名前で呼ばれるようになりました)。小振幅波の場合、波動作用の保存は次のようになります: ^{[3] [4]}${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {B}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\mathcal {B}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {B}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {E}{\omega _{i}}}\right)+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left[\left({\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {c}}_{g}\right)\,{\frac {E}{\omega _{i}}}\right]=0,}$  使用して  ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {E}{\omega _{i}}}}$    ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {B}}}=\left({\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {c}}_{g}\right){\mathcal {A}},}$

ここで、 は不均質な運動媒体の群速度と平均速度です。非散逸システムでは全エネルギー(平均運動のエネルギーと波動運動のエネルギーの合計) は保存されますが、波動運動のエネルギーは保存されません。これは、一般に平均運動とのエネルギー交換があるためです。ただし、波動作用は運動の波動部分に対して保存される量です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {c}}_{g}}$${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$

波動作用の保存に関する方程式は、例えば、船員、海洋産業、沿岸防衛の必要に応じて海の状態を予測するための風波モデルで広く使用されています。また、プラズマ物理学や音響学でも波動作用の概念が使用されています。

より一般的な波動運動（ゆっくり変調された波、小振幅の波、または（非散逸的な）保存系に限定されない）に対する正確な波動作用方程式の導出は、波動運動と平均運動を分離するための一般化ラグランジュ平均の枠組みを使用して、アンドリュースとマッキンタイア（1978）によって提供され、分析されました。 ^[4]