緩やかな傾斜の方程式

緩やかな傾斜の方程式で が使用される場合、係数 を除けば、結果は次のようになります。 ${\displaystyle \eta =a\,\exp(i\theta )}$${\displaystyle \exp(i\theta )}$

$${\displaystyle c_{p}\,c_{g}\,\left(\Delta a\,+\,2i\,\nabla a\cdot \nabla \theta \,-\,a\,\nabla \theta \cdot \nabla \theta \,+\,i\,a\,\Delta \theta \right)\,+\,\nabla \left(c_{p}\,c_{g}\right)\cdot \left(\nabla a\,+\,i\,a\,\nabla \theta \right)\,+\,k^{2}\,c_{p}\,c_{g}\,a\,=\,0.}$$

この方程式の実数部と虚数部は両方ともゼロに等しくなければなりません。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&c_{p}\,c_{g}\,\Delta a\,-\,c_{p}\,c_{g}\,a\,\nabla \theta \cdot \nabla \theta \,+\,\nabla \left(c_{p}\,c_{g}\right)\cdot \nabla a\,+\,k^{2}\,c_{p}\,c_{g}\,a\,=\,0\quad {\text{and}}\\&2\,c_{p}\,c_{g}\,\nabla a\cdot \nabla \theta \,+\,c_{p}\,c_{g}\,a\,\Delta \theta \,+\,\nabla \left(c_{p}\,c_{g}\right)\cdot \left(a\,\nabla \theta \right)\,=\,0.\end{aligned}}}$$

有効波数ベクトルは波の位相の勾配として 定義され、そのベクトル長は${\displaystyle {\boldsymbol {\kappa }}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\kappa }}=\nabla \theta }$$$${\displaystyle \kappa =|{\boldsymbol {\kappa }}|.}$$

勾配の回転がゼロなので、は非回転場であることに注意してください。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\kappa }}}$$${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {\kappa }}=0.}$$

変換された緩やかな傾斜の方程式の実数部と虚数部は、まず虚数部に を掛けると次のようになります。 ${\displaystyle a}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&\kappa ^{2}\,=\,k^{2}\,+\,{\frac {\nabla (c_{p}\,c_{g})}{c_{p}\,c_{g}}}\cdot {\frac {\nabla a}{a}}\,+\,{\frac {\Delta a}{a}}\quad {\text{and}}\\&c_{p}\,c_{g}\,\nabla \left(a^{2}\right)\cdot {\boldsymbol {\kappa }}\,+\,c_{p}\,c_{g}\,\nabla \cdot {\boldsymbol {\kappa }}\,+\,a^{2}\,{\boldsymbol {\kappa }}\cdot \nabla \left(c_{p}\,c_{g}\right)\,=\,0.\end{aligned}}}$$

最初の方程式は、 に対する上記のアイコナール方程式を直接導きますが、2 番目の方程式は次のようになります。 ${\displaystyle \kappa \,}$$${\displaystyle \nabla \cdot \left({\boldsymbol {\kappa }}\,c_{p}\,c_{g}\,a^{2}\right)\,=\,0,}$$

角周波数が時間調和運動に対して一定であることに注目すると、波動エネルギー保存方程式が導かれます。 ${\displaystyle c_{p}=\omega /k}$${\displaystyle \omega }$

ルークのラグランジアン定式化は、非線形表面重力波の変分定式化を与える。 ^[9]一定の密度 、 の自由流体表面、 の固定海底 を持つ 水平方向に境界のない領域の場合、ルークの変分原理ではラグランジアンが使用され 、 は水平方向のラグランジアン密度で、次のように与えられる。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle z=\zeta (x,y,t)}$${\displaystyle z=-h(x,y),}$${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=0}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint L\,{\text{d}}x\,{\text{d}}y\,{\text{d}}t,}$$${\displaystyle L}$$${\displaystyle L=-\rho \,\left\{\int _{-h(x,y)}^{\zeta (x,y,t)}\left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+\,{\frac {1}{2}}\left(\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}\right)\right]\;{\text{d}}z\;+\,{\frac {1}{2}}\,g\,(\zeta ^{2}\,-\,h^{2})\right\},}$$

ここで、は速度ポテンシャルであり、流速成分はそれぞれ、、方向である。ルークのラグランジアン定式化は、自由表面での表面標高と速度ポテンシャルに関するハミルトン定式化に書き直すこともできる。 ^[10]をポテンシャルと表面標高に関して 変化させると、流体内部におけるのラプラス方程式、および自由表面と床面の両方におけるすべての境界条件が得られる。${\displaystyle \Phi (x,y,z,t)}$${\displaystyle \partial \Phi /\partial {x},}$ ${\displaystyle \partial \Phi /\partial {y}}$${\displaystyle \partial \Phi /\partial {z}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\Phi ,\zeta )}$${\displaystyle \Phi (x,y,z,t)}$${\displaystyle \zeta (x,y,t)}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle z=\zeta (x,y,t)}$${\displaystyle z=-h(x,y).}$

線形波動理論の場合、ラグランジアン密度の鉛直積分は、床から平均表面までの部分と、から自由表面までの2つの部分に分割されます。平均自由表面標高の周りの2番目の積分にテイラー級数展開を使用し、およびの2次項のみを保持すると、線形波動の ラグランジアン密度は次のようになります。${\displaystyle L}$${\displaystyle z=-h}$${\displaystyle z=0,}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle z=\zeta }$${\displaystyle z=0,}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \zeta ,}$${\displaystyle L_{0}}$$${\displaystyle L_{0}=-\rho \,\left\{\zeta \,\left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right]_{z=0}\,+\,\int _{-h}^{0}{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}\right]\;{\text{d}}z\;+\,{\frac {1}{2}}\,g\,\zeta ^{2}\,\right\}.}$$

垂直積分の項は、動的に興味がなくなったため削除されます。この項はオイラー・ラグランジュ方程式にゼロの寄与を与え、積分の上限は固定されます。位置エネルギーの に 比例する無視された下側の項についても同様です。${\displaystyle \partial \Phi /\partial {t}}$${\displaystyle h^{2}}$

波は水平面内で伝播するが、電位構造は垂直方向では波状ではない。これは、平均自由表面標高で正規化した電位の形状に関する次の仮定の使用を示唆している。${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \Phi :}$ $${\displaystyle \Phi (x,y,z,t)=f(z;x,y)\,\varphi (x,y,t)}$$$${\displaystyle f(0;x,y)=1}$$${\displaystyle z=0.}$

ここで、平均自由表面レベルでの速度ポテンシャルは、次のようになります。次に、緩やかな傾斜の仮定が立てられ、垂直形状関数は-平面でゆっくりと変化し、流速における の水平微分は無視できます。したがって、次のようになります。 ${\displaystyle \varphi (x,y,t)}$${\displaystyle z=0.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial \Phi }{\partial {x}}}\\[2ex]{\dfrac {\partial \Phi }{\partial {y}}}\\[2ex]{\dfrac {\partial \Phi }{\partial {z}}}\end{pmatrix}}\,\approx \,{\begin{pmatrix}f{\dfrac {\partial \varphi }{\partial {x}}}\\[2ex]f{\dfrac {\partial \varphi }{\partial {y}}}\\[2ex]{\dfrac {\partial {f}}{\partial {z}}}\,\varphi \end{pmatrix}}.}$$

その結果、 $${\displaystyle L_{0}=-\rho \left\{\zeta {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,+{\frac {1}{2}}\,F\left[\left({\frac {\partial \varphi }{\partial {x}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial {y}}}\right)^{2}\right]\,+{\frac {1}{2}}\,G\varphi ^{2}+{\frac {1}{2}}\,g\zeta ^{2}\right\},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}F&=\int _{-h}^{0}f^{2}\,{\text{d}}z\\G&=\int _{-h}^{0}\left({\frac {{\text{d}}f}{{\text{d}}z}}\right)^{2}{\text{d}}z.\end{aligned}}}$$

このラグランジュ密度に対するオイラー・ラグランジュ方程式は、またはのいずれかを表す。${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle \xi (x,y,t)}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \zeta :}$ $${\displaystyle {\frac {\partial {L_{0}}}{\partial \xi }}-{\frac {\partial }{\partial {t}}}\left({\frac {\partial {L_{0}}}{\partial (\partial \xi /\partial {t})}}\right)-{\frac {\partial }{\partial {x}}}\left({\frac {\partial {L_{0}}}{\partial (\partial \xi /\partial {x})}}\right)-{\frac {\partial }{\partial {y}}}\left({\frac {\partial {L_{0}}}{\partial (\partial \xi /\partial {y})}}\right)=0.}$$

まず、が に等しくなり、次に に等しく なる。その結果、波動運動の発展方程式は次のようになる。^[4] ∇ は水平勾配演算子 である。∇ ≡ (∂/∂ x , ∂/∂ y ) ^Tここで上付き文字T は転置を表す。 ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \zeta .}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \zeta }{\partial t}}\,&+\nabla \cdot \left(F\,\nabla \varphi \right)-G\varphi =0\quad {\text{and}}\\{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,&+\,g\zeta =0,\end{aligned}}}$$

次のステップは、形状関数を選択し、決定することです。${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G.}$

目的は緩やかな傾斜の床上の波を記述することなので、形状関数はエアリー波動理論に従って選択される。これは、一定の深さで伝播する波の線形理論である。形状関数の形は次のようになる：^[4]ここ で、一般には定数ではなく、局所的な深さと線形分散関係に応じて変化するように選択される： ^[4]${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle h.}$ $${\displaystyle f={\frac {\cosh \left(k\left(z+h\right)\right)}{\cosh(kh)}},}$$${\displaystyle k(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle h(x,y)}$ $${\displaystyle \omega _{0}^{2}=gk\tanh(kh).}$$

ここで、一定の角周波数は、研究対象の波動場の特性に応じて選択される。したがって、積分とは次のようになる。^[4]${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}F&=\int _{h}^{0}f^{2}\,{\text{d}}z={\frac {1}{g}}c_{p}c_{g}\quad {\text{and}}\\G&=\int _{h}^{0}\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)^{2}{\text{d}}z={\frac {1}{g}}\left(\omega _{0}^{2}-k^{2}c_{p}c_{g}\right).\end{aligned}}}$$