スクリュー理論

スクリュー理論は、剛体の運動学および動力学で生じる、角速度と線速度、力とモーメントなどのベクトルのペア（双対ベクトルとも呼ばれる） ^{[ 1 ]}の代数的計算である。^{[ 2 ] [ 3 ]}

スクリュー理論は、剛体動力学の中心となる線分の幾何学を数学的に定式化するものであり、線分は空間運動のスクリュー軸と力の作用線を形成します。線分のプリュッカー座標を形成するベクトルのペアは単位スクリューを定義し、一般のスクリューは実数のペアを乗算し、ベクトルを加算することによって得られます。^{[ 4 ]}

ねじ理論の重要な定理には、次のようなものがあります。伝達原理は、ベクトルを使用して点の幾何学的計算を行うと、ベクトルをねじに置き換えることによって得られる直線の幾何学的計算と平行であることを証明します。^{[ 1 ]}シャーレスの定理は、2 つの剛体の姿勢間の任意の変更を 1 つのねじで実行できることを証明します。中間軸の定理は、剛体の長軸と短軸を中心とした回転は安定しているが、中間軸を中心とした回転は安定していないことを証明します。

スクリュー理論は、ロボット力学^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}、機械設計、計算幾何学、多体動力学において重要なツールである。これは、スクリューと剛体運動の補間に用いられる双対四元数との関係によるものである。^{[ 9 ]}スクリュー理論に基づき、並列機構（並列マニピュレータまたは並列ロボット）のタイプ合成のための効率的なアプローチも開発されている。^{[ 10 ]}

剛体の空間変位は、直線周りの回転と同一直線に沿った並進によって定義され、ねじ運動。これはシャールの定理。ねじ運動を定義する6つのパラメータは、ねじ軸を定義するプリュッカーベクトルの4つの独立成分と、この軸を中心とした回転角および直線スライドであり、ねじ。比較のために、空間変位を定義する6つのパラメータは、回転を定義する3つのオイラー角、並進ベクトルの3つの成分によっても表すことができます。

ねじを順序対とする

${\displaystyle {\mathsf {S}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} ),}$

ここで、SとVは3次元の実ベクトルです。これらの順序対の和と差は、成分ごとに計算されます。スクリューはしばしば双対ベクトルと呼ばれます。

ここで、実数の順序対â = ( a , b )を導入します。これを双対スカラーと呼びます。これらの数の加算と減算を成分ごとに行い、乗算を次のように定義します。 $${\displaystyle {\hat {\mathsf {a}}}{\hat {\mathsf {c}}}=(a,b)(c,d)=(ac,ad+bc).}$$ スクリューS = ( S , V )と双対スカラーâ = ( a , b )の乗算は、成分ごとに次のように計算されます。 $${\displaystyle {\hat {\mathsf {a}}}{\mathsf {S}}=(a,b)(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )=(a\mathbf {S} ,a\mathbf {V} +b\mathbf {S} )。$$

最後に、ねじのドット積とクロス積を以下の式で示します。 $${\displaystyle {\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\cdot (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=(\mathbf {S} \cdot \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \cdot \mathbf {W} +\mathbf {V} \cdot \mathbf {T} ),}$$ これは双対スカラーであり、 $${\displaystyle {\mathsf {S}}\times {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\times (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=(\mathbf {S} \times \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \times \mathbf {W} +\mathbf {V} \times \mathbf {T} ),}$$ これはスクリューです。スクリューのドット積とクロス積はベクトル代数の恒等式を満たし、ベクトル代数における計算と直接的に並行する計算を可能にします。

双対スカラーẑ = ( φ , d )が双対角を定義すると、正弦と余弦の無限級数定義から次の関係が得られる。 $${\displaystyle \sin {\hat {\mathsf {z}}}=(\sin \varphi ,d\cos \varphi ),\,\,\,\cos {\hat {\mathsf {z}}}=(\cos \varphi ,-d\sin \varphi ),}$$ これらは双対スカラーでもあります。一般に、双対変数の関数はf (ẑ) = ( f ( φ ), df ′( φ ))と定義されます。ここで、f ′( φ ) はf ( φ )の導関数です。 

これらの定義により、以下の結果が得られます。

• 単位ねじは直線のプリュッカー座標であり、次の関係を満たす。$${\displaystyle |{\mathsf {S}}|={\sqrt {{\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {S}}}}=1;}$$
• ẑ = ( φ , d )を双対角とする。ここで、φはS と T の軸が共通法線を中心とする角度であり、d はこれらの軸が共通法線に沿って移動する距離である。$${\displaystyle {\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {T}}=\left|{\mathsf {S}}\right|\left|{\mathsf {T}}\right|\cos {\hat {\mathsf {z}}};}$$
• N を S と T の軸に共通する法線を定義する単位ねじとし、ẑ = ( φ , d )をこれらの軸間の双対角とすると、$${\displaystyle {\mathsf {S}}\times {\mathsf {T}}=\left|{\mathsf {S}}\right|\left|{\mathsf {T}}\right|\sin {\hat {\mathsf {z}}}{\mathsf {N}}.}$$

ねじの一般的な例として、剛体に作用する力に関連付けられたレンチがあります。力Fの作用点をPとし、固定座標系におけるこの点の位置を示すベクトルをPとします。レンチW = ( F , P × F )はねじです。剛体に作用するすべての力F _i、i = 1, ..., nから得られる合力とモーメントは、個々のレンチ W _iの和、つまり次のようになります。

${\displaystyle {\mathsf {R}}=\sum _{i=1}^{n}{\mathsf {W}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i},\mathbf {P} _{i}\times \mathbf {F} _{i}).}$

点Aと点Bにそれぞれ作用する、等しいが反対方向の 2 つの力Fと − Fの場合、結果として次のようになります。

${\displaystyle {\mathsf {R}}=(\mathbf {F} -\mathbf {F} ,\mathbf {A} \times \mathbf {F} -\mathbf {B} \times \mathbf {F} )=(0,(\mathbf {A} -\mathbf {B} )\times \mathbf {F} ).}$

これは、

${\displaystyle {\mathsf {M}}=(0,\mathbf {M} ),}$

純粋な瞬間と解釈できる。

剛体のねじれを定義するには、空間変位のパラメータ化された集合D( t ) = ([A( t )], d ( t ))で定義されるその動きを考慮する必要があります。ここで、[A] は回転行列、dは並進ベクトルです。これにより、移動体の座標系で固定された点pは、固定フレーム内で曲線P (t) を描きます。

${\displaystyle \mathbf {P} (t)=[A(t)]\mathbf {p} +\mathbf {d} (t).}$

Pの速度は

${\displaystyle \mathbf {V} _{P}(t)=\left[{\frac {dA(t)}{dt}}\right]\mathbf {p} +\mathbf {v} (t),}$

ここで、vは移動座標系の原点の速度、つまり d d /dt です。次に、p  =  [ A ^T ]( P  − d ) をこの式に代入して、次の式を得ます。 

${\displaystyle \mathbf {V} _{P}(t)=[\Omega ]\mathbf {P} +\mathbf {v} -[\Omega ]\mathbf {d} \quad {\text{or}}\quad \mathbf {V} _{P}(t)=\mathbf {\omega } \times \mathbf {P} +\mathbf {v} +\mathbf {d} \times \mathbf {\omega } ,}$

ここで、[Ω]  =  [d A /d t ][ A ^T ] は角速度行列であり、ω は角速度ベクトルです。

ネジ

${\displaystyle {\mathsf {T}}=({\vec {\omega }},\mathbf {v} +\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}),\!}$

は運動する物体のねじれです。ベクトルV  = v + d × ω は、固定座標系の原点に対応する物体内の点の速度です。     

重要な特殊なケースが 2 つあります。(i) dが定数、つまりv  =  0 の場合、ねじれは直線の周りの純粋な回転であり、ねじれは

${\displaystyle {\mathsf {T}}=(\omega ,\mathbf {d} \times \omega ),}$

（ii）[Ω]  =  0、つまり物体が回転せず、v の方向にのみ滑る場合、ねじれは純粋な滑りとなり、次式が成り立つ。

${\displaystyle {\mathsf {T}}=(0,\mathbf {v} ).}$

ねじの座標変換は、線上の点の座標変換から得られる線上のプリュッカーベクトルの座標変換から始めることで容易に理解できます。

物体の変位をD  =  ([ A ], d ) で定義する。ここで [ A ] は回転行列、dは並進ベクトルである。物体内の 2 つの点pとqで定義される線分を考える。この線分のプリュッカー座標は、 

${\displaystyle {\mathsf {q}}=(\mathbf {q} -\mathbf {p} ,\mathbf {p} \times \mathbf {q} ),}$

すると、固定座標系では変換された点座標P  =  [ A ] p  + dとQ = [ A ] q + dが得られ、次のようになります。     

${\displaystyle {\mathsf {Q}}=(\mathbf {Q} -\mathbf {P} ,\mathbf {P} \times \mathbf {Q} )=([A](\mathbf {q} -\mathbf {p} ),[A](\mathbf {p} \times \mathbf {q} )+\mathbf {d} \times [A](\mathbf {q} -\mathbf {p} ))}$

したがって、空間変位は、次の式で与えられる直線のプリュッカー座標の変換を定義する。

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}\mathbf {Q} -\mathbf {P} \\\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\DA&A\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\mathbf {q} -\mathbf {p} \\\mathbf {p} \times \mathbf {q} \end{Bmatrix}}.}$

行列 [ D ] は、外積演算を実行する歪対称行列です。つまり、[ D ] y  = d × yです。   

空間変位D = ([ A ], d ) から得られる6 × 6 行列は、双対行列に組み立てることができる。   

${\displaystyle [{\hat {\mathsf {A}}}]=([A],[DA]),}$

これは、ねじs  =  ( s . v )に作用して、以下を得る。

${\displaystyle {\mathsf {S}}=[{\hat {\mathsf {A}}}]{\mathsf {s}},\quad (\mathbf {S} ,\mathbf {V} )=([A],[DA])(\mathbf {s} ,\mathbf {v} )=([A]\mathbf {s} ,[A]\mathbf {v} +[DA]\mathbf {s} ).}$

双対行列 [Â]  =  ([ A ],  [ DA ]) は行列式が 1 であり、双対直交行列と呼ばれます。

パラメータ化された 4x4 同次変換によって定義される剛体の動きを考えます。

${\displaystyle {\textbf {P}}(t)=[T(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {P}}\\1\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)&{\textbf {d}}(t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.}$

この表記法では、 P = ( X , Y , Z , 1) とP = ( X , Y , Z )を区別していませんが、文脈から明らかになるはずです。

この運動の速度は、物体内の点の軌跡の速度を計算することによって定義されます。

${\displaystyle {\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {V}}_{P}\\0\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\textbf {d}}}(t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.}$

ドットは時間に関する微分を表し、pは定数であるため、その微分はゼロになります。

pの逆変換を速度方程式に代入して、軌道P ( t )に作用させることによりPの速度を得る。

${\displaystyle {\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}{\textbf {P}}(t)=[S]{\textbf {P}},}$

どこ

${\displaystyle [S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega {\textbf {d}}+{\dot {\textbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Omega &\mathbf {d} \times \omega +\mathbf {v} \\0&0\end{bmatrix}}.}$

[Ω]は角速度行列であることを思い出してください。行列[ S ]は、同次変換のリー群SE(3)のリー代数se(3)の要素です。[ S ]の成分はツイストスクリューの成分であり、このため[ S ]はツイストとも呼ばれます。

行列[ S ]の定義から、常微分方程式を定式化することができる。

${\displaystyle [{\dot {T}}(t)]=[S][T(t)],}$

そして、一定のねじれ行列[ S ]を持つ動き[ T ( t )]を求めます。解は行列指数関数です。

${\displaystyle [T(t)]=e^{[S]t}.}$

この定式化は、 SE( n ) における初期構成g (0) とse( n ) におけるねじれξが与えられた場合、新しい位置と向きへの同次変換を次の式で計算できるように一般化できます。

${\displaystyle g(\theta )=\exp(\xi \theta )g(0),}$

ここで、θは変換のパラメータを表す。

変換幾何学において、変換の基本概念は反射（数学）である。平面変換では、平行線に関する反射によって平行移動が得られ、交差する2本の線に関する反射によって回転が得られる。同様の概念からねじ変換を生成するには、空間内の平面を使用する必要がある。平行な平面は、ねじの回転を生成する交差する平面の交線であるねじ軸に垂直でなければならない。したがって、平面に関する4回の反射によってねじ変換が実現される。反転幾何学の伝統は、射影幾何学のいくつかの考え方を取り入れ、解析幾何学に依存しない変換の言語を提供する。

スクリュー変位によって生じる並進と回転の組み合わせは、指数写像によって説明できます。

双対数に対してε ² = 0 であるため、exp( a ε ) = 1 + a εとなり、指数級数の他の項はすべて消滅します。

F = {1 + ε r  : r ∈ H }、ε ² = 0とする。任意のベクトル四元数rおよびsに対して、 Fは回転q → p ⁻¹ qpおよび並進(1 + ε r )(1 + ε s ) = 1 + ε ( r + s )の下で安定であることに注意する。F は、双対四元数の 8 次元空間における3-フラットである。この 3-フラットFは空間を表し、Fに制限された構築されたホモグラフィは、空間のねじれ変位である。 

a を軸r周りの目的の回転角度の半分、br をねじ軸上の変位の半分とする。すると、 z = exp(( a + b ε ) r )およびz * = exp(( a − b ε ) r )となる。ホモグラフィは次のようになる。

${\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}z&0\\0&z^{*}\end{pmatrix}}=[qz:z^{*}]\thicksim [(z^{*})^{-1}qz:1].}$

z *の逆数は

${\displaystyle {\frac {1}{\exp(ar-b\varepsilon r)}}=(e^{ar}e^{-br\varepsilon })^{-1}=e^{br\varepsilon }e^{-ar},}$

つまり、ホモグラフィはqを

${\displaystyle (e^{b\varepsilon }e^{-ar})q(e^{ar}e^{b\varepsilon r})=e^{b\varepsilon r}(e^{-ar}qe^{ar})e^{b\varepsilon r}=e^{2b\varepsilon r}(e^{-ar}qe^{ar}).}$

ここで、任意の四元数ベクトルpに対して、p * = − p、q = 1 + p ε ∈ Fとすると、必要な回転と並進が実行されます。

双対四元数の環の単位群は明らかにリー群である。部分群は、パラメータarとbsによって生成されるリー代数を持つ。ここで、 a、b ∈ R、r、s ∈ Hである。これらの 6 つのパラメータは、単位球面と呼ばれる単位の部分群を生成する。もちろん、これにはFと3 次元のバーソル球面が含まれる。

剛体内の点X ₁ , X ₂ ... X _nに作用する力F ₁ , F ₂ ... F _nの集合を考える 。 X _i , i = 1,..., nの軌跡は、剛体の回転 [ A ( t )] と剛体内の基準点の並進d ( t ) による剛体の動きによって定義され、それは次のように与えられる。  

${\displaystyle \mathbf {X} _{i}(t)=[A(t)]\mathbf {x} _{i}+\mathbf {d} (t)\quad i=1,\ldots ,n,}$

ここで、xi_は運動する物体内の座標である。

各点X _iの速度は

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}={\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+\mathbf {v} ,}$

ここで、ωは角速度ベクトルであり、vはd ( t )の導関数である。

各点の変位δ r _i = v _i δtに対する力の仕事は次のように与えられる。

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \mathbf {V} _{1}\delta t+\mathbf {F} _{2}\cdot \mathbf {V} _{2}\delta t+\cdots +\mathbf {F} _{n}\cdot \mathbf {V} _{n}\delta t.}$

移動する物体のねじれに関して各点の速度を定義すると、

${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot ({\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+\mathbf {v} )\delta t.}$

この方程式を展開し、ωとvの係数をまとめると、

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta W&=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot \mathbf {d} \times {\vec {\omega }}\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot \mathbf {v} \delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega }}\delta t\\[4pt]&=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {d} \times {\vec {\omega }})\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega }}\delta t.\end{aligned}}}$

運動する物体のねじれと、それに作用するレンチを導入します。

${\displaystyle {\mathsf {T}}=({\vec {\omega }},\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}+\mathbf {v} )=(\mathbf {T} ,\mathbf {T} ^{\circ }),\quad {\mathsf {W}}=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i},\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)=(\mathbf {W} ,\mathbf {W} ^{\circ }),}$

そして仕事は

${\displaystyle \delta W=(\mathbf {W} \cdot \mathbf {T} ^{\circ }+\mathbf {W} ^{\circ }\cdot \mathbf {T} )\delta t.}$

6×6行列[Π]は、ねじを用いた仕事の計算を簡略化するために使用され、

${\displaystyle \delta W=(\mathbf {W} \cdot \mathbf {T} ^{\circ }+\mathbf {W} ^{\circ }\cdot \mathbf {T} )\delta t={\mathsf {W}}[\Pi ]{\mathsf {T}}\delta t,}$

どこ

${\displaystyle [\Pi ]={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix}},}$

[I]は3×3の単位行列です。

1763年、ジュリオ・ジュゼッペ・モッツィは、すべての剛体の運動は「ねじれ」として表すことができることを示した。この結果はミシェル・シャールとも関連付けられ、シャールの定理として知られるようになった。^{[ 11 ]}ルイ・ポワンソは、1803年の著書『静力学の基礎』で、静力学の多くの現代的な概念を導入した。彼は英語で「レンチ」として知られるものを導入した。^{[ 11 ]} 1846年、ユリウス・プリュッカーは、最初の3つの成分が力を表し、最後の3つの成分が偶力を表す6次元ベクトルであるダイナメの概念を導入した。 ^{[ 11 ]}

1876年にロバート・スタウェル・ボール卿によって、機構の運動学と静力学（剛体力学）への応用を目的とした完全な数学的枠組みが開発されました。^{[ 4 ]}ねじ理論は、ポール・エミール・アペルが著書『Traité de Mécanique Rationnelle 』（1893年）でフランスに導入し、フランスの工学における標準的なトピックとなりました（フランス語：théorie de torseurs）。^{[ 11 ]}

フェリックス・クラインは、スクリュー理論を楕円幾何学と彼のエアランゲン・プログラムの応用と見なした。^{[ 12 ]}彼はまた、ケイリー・クライン計量を用いて楕円幾何学とユークリッド幾何学の新しい見方を研究した。スクリューに適用されたフォン・シュタウト円錐曲線と計量に対する対称行列の使用は、ハーヴェイ・リプキンによって説明されている。^{[ 13 ]}他の著名な貢献者には、アウグスト・フェルディナント・メビウス、エドワード・ラウス、エドゥアルト・スタディ、リチャード・フォン・ミーゼス、WK クリフォード、FM ディメントベルク、ケネス・H・ハント、JR フィリップスなどがいる。^{[ 14 ] [ 11 ]}

変換幾何学におけるホモグラフィの概念は、1世紀以上前にソフス・リーによって提唱された。さらに以前には、ウィリアム・ローワン・ハミルトンが単位四元数のバーソル形式を次のように示した。${\textstyle \exp(ar)=\cos a+r\sin a}$この考え方は、複素平面上の単位円をパラメータ化するオイラーの公式にも見られる。

ウィリアム・キングドン・クリフォードは運動学にデュアル四元数の使用を開始し、アレクサンドル・コテルニコフ、エドゥアルト・スタディ（『動力学の幾何学』）、ヴィルヘルム・ブラシュケがそれに続いた。しかし、ソフス・リーの見解が再び取り上げられた。^{[ 15 ]} 1940年、ジュリアン・クーリッジは『幾何学的方法の歴史』の261ページで、ねじ変位にデュアル四元数を使用することについて説明した。彼は1885年のアーサー・ブッフハイムの貢献に言及している。^{[ 16 ]}クーリッジは、ハミルトンが実四元数に使用したツールに基づいて、単純にその説明を行った。

• ねじ軸
• ニュートン・オイラー方程式は、ねじを用いて剛体の運動と荷重を記述する。
• ねじれ（微分幾何学）
• ツイスト（有理三角法）

• ジョー・ルーニー、ウィリアム・キングドン・クリフォード、ロンドン・オープン大学デザイン・イノベーション学部。
• Ravi Banavar によるロボット工学、幾何学、制御に関するメモ (2017 年 8 月 29 日アーカイブ、Wayback Machineに保管)