テニスラケットの主要な軸。 テニスラケットを3つの軸を中心に回転させた合成動画。 中間軸では、明るい端から暗い端へと反転する。 『Théorie Nouvelle de la Rotation des Corps』のタイトルページ、1852 年印刷 テニスラケット定理 、または中間軸定理は 、 3つの異なる主慣性モーメントを持つ 剛体 の動きを記述する古典力学 の運動現象です。これは、1985年に宇宙でこの定理の論理的帰結の1つに気づいた ソ連の 宇宙飛行士 ウラジーミル・ジャニベコフ にちなんで、ジャニベコフ効果とも呼ばれています。 [ 1 ] ルイ・ポワンソによって記述され [ 2 ] [ 3 ] 、20世紀を通じてハーバート・ゴールドスタイン の古典力学
この定理は、次のような効果を説明する。物体をその第一主軸と第三主軸を 中心に回転させると安定するが、第二主軸（または中間軸）を中心に回転させると安定しない。
これは次の実験で実証できます。テニスラケットをグリップ部分を持ち、ラケット面を水平にして、グリップに垂直な水平軸（図のê 2 ）を中心に1回転するように空中に投げ上げ、グリップ部分をキャッチします。ほとんどの場合、その回転中にラケット面も半回転し、反対側の面が上を向いています。これに対し、グリップ軸（ê 1 ）を中心に回転するだけで、他の軸を中心とした半回転を伴わないラケットを投げることは容易です。また、グリップに垂直な垂直軸（ê 3 ）を中心に回転するだけで、半回転を伴わないラケットを投げることも可能です。
この実験は、例えば（長方形の）本、リモコン、スマートフォンなど、3つの異なる慣性モーメントを持つ物体であれば何でも行うことができます。[ 4 ] [ 5 ] 回転軸が 物体の2番目の主軸からわずかでも異なる場合に発生します。空気抵抗や重力は必要ありません。[ 6 ] [ 7 ]
理論 微小重力下 でのジャニベコフ効果の実証、NASA 。テニスラケットの定理は、オイラー方程式 を用いて定性的に分析することができる。トルク のない条件下では、オイラー方程式は次の形式をとる。
私 1 ω ˙ 1 = − （ 私 3 − 私 2 ） ω 3 ω 2 （１） 私 2 ω ˙ 2 = − （ 私 1 − 私 3 ） ω 1 ω 3 （２） 私 3 ω ˙ 3 = − （ 私 2 − 私 1 ） ω 2 ω 1 （３） {\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=-(I_{3}-I_{2})\omega _{3}\omega _{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=-(I_{1}-I_{3})\omega _{1}\omega _{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)}}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=-(I_{2}-I_{1})\omega _{2}\omega _{1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)}}\end{aligned}}}
ここ私 1 、 私 2 、 私 3 {\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}} 私 1 < 私 2 < 私 3 {\displaystyle I_{1}<I_{2}<I_{3}} ω 1 、 ω 2 、 ω 3 {\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}} ω ˙ 1 、 ω ˙ 2 、 ω ˙ 3 {\displaystyle {\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega }}_{2},{\dot {\omega }}_{3}}
第1主軸および第3主軸を中心とした安定回転 物体が慣性モーメントを持つ軸を中心に回転している状況を考えてみましょう。私 1 {\displaystyle I_{1}} ω ˙ 1 {\displaystyle ~{\dot {\omega }}_{1}} ω 1 {\displaystyle ~\omega _{1}}
ここで、式(2)を微分し、代入するとω ˙ 3 {\displaystyle {\dot {\omega }}_{3}}
私 2 ω ¨ 2 = − （ 私 1 − 私 3 ） ω 1 ω ˙ 3 私 3 私 2 ω ¨ 2 = （ 私 1 − 私 3 ） （ 私 2 − 私 1 ） （ ω 1 ） 2 ω 2 つまり ω ¨ 2 = （負の値） ⋅ ω 2 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{2}{\ddot {\omega }}_{2}&=-(I_{1}-I_{3})\omega _{1}{\dot {\omega }}_{3}\\I_{3}I_{2}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{1}-I_{3})(I_{2}-I_{1})(\omega _{1})^{2}\omega _{2}\\{\text{つまり}}~~~~{\ddot {\omega }}_{2}&={\text{(負の値)}}\cdot \omega _{2}\end{aligned}}}
なぜなら私 2 − 私 1 > 0 {\displaystyle I_{2}-I_{1}>0} 私 1 − 私 3 < 0 {\displaystyle I_{1}-I_{3}<0}
ご了承くださいω 2 \displaystyle \omega _{2}}
同様の推論により、慣性モーメントを持つ軸を中心とした回転が私 3 {\displaystyle I_{3}}
幾何学的解析 中間軸の不安定性を視覚化した図。回転する物体の角運動量と運動エネルギーはともに保存される。その結果、角速度ベクトルは2つの楕円体の交点上に留まる。ここで、黄色の楕円体は角運動量楕円体、膨張する青色の楕円体はエネルギー楕円体である。 運動中、エネルギーと角運動量の二乗はともに保存されるため、保存される量は2つある。{ 2 E = ∑ 私 私 私 ω 私 2 L 2 = ∑ 私 私 私 2 ω 私 2 {\displaystyle {\begin{cases}2E=\sum _{i}I_{i}\omega _{i}^{2}\\L^{2}=\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}^{2}\end{cases}}} ω （ 0 ） {\displaystyle \omega (0)} ω （ t ） {\displaystyle \omega (t)} { ∑ 私 私 私 ω 私 2 = ∑ 私 私 私 ω 私 （ 0 ） 2 ∑ 私 私 私 2 ω 私 2 = ∑ 私 私 私 2 ω 私 （ 0 ） 2 {\displaystyle {\begin{cases}\sum _{i}I_{i}\omega _{i}^{2}=\sum _{i}I_{i}\omega _{i}(0)^{2}\\\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}^{2}=\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}(0)^{2}\end{cases}}}
オイラー方程式を調べると、次のことがわかる。ω ˙ （ t ） = 0 {\displaystyle {\dot {\omega }}(t)=0} ω （ t ） {\displaystyle \omega (t)} ω （ t ） {\displaystyle \omega (t)}
オイラー方程式によれば、ω （ t ） {\displaystyle \omega (t)} c ω （ c t ） {\displaystyle c\omega (ct)} c > 0 {\displaystyle c>0} c ω （ c t ） d t {\displaystyle c\omega (ct)dt} 全く同じだ が、 の比率でより速く完了する。c {\displaystyle c}
したがって、固定値で運動の幾何学を分析することができます。L 2 {\displaystyle L^{2}} ω （ 0 ） {\displaystyle \omega (0)} ω （ 0 ） {\displaystyle \omega (0)} 2 E {\displaystyle 2E}
具体的には、私 1 = 1 、 私 2 = 2 、 私 3 = 3 {\displaystyle I_{1}=1,I_{2}=2,I_{3}=3} 1 : 1 / 2 : 1 / 3 {\displaystyle 1:1/2:1/3} 1 : 1 / 2 : 1 / 3 {\displaystyle 1:1/{\sqrt {2}}:1/{\sqrt {3}}}
次に、固定された楕円体に内接します。L 2 {\displaystyle L^{2}} 2 E {\displaystyle 2E} 2 E {\displaystyle 2E}
角運動量楕円体とエネルギー楕円体（図示せず）のすべての交線。 エネルギーが小さい場合、角運動量楕円体上に留まるために必要な最小限のエネルギーが存在するため、交点は存在しない。 エネルギー楕円体が運動量楕円体と最初に交差するのは、2 E = L 2 / 私 3 {\displaystyle 2E=L^{2}/I_{3}} （ 0 、 0 、 ± L / 私 3 ） {\displaystyle (0,0,\pm L/I_{3})} それらは、2つのサイクルで交差します。（ 0 、 0 、 ± L / 私 3 ） {\displaystyle (0,0,\pm L/I_{3})} ω ˙ = 0 {\displaystyle {\dot {\omega }}=0} ω （ t ） {\displaystyle \omega (t)} それらは、2 つの「対角線」曲線で交差し、その曲線は（ 0 、 ± L / 私 2 、 0 ） {\displaystyle (0,\pm L/I_{2},0)} 2 E = L 2 / 私 2 {\displaystyle 2E=L^{2}/I_{2}} ω （ t ） {\displaystyle \omega (t)} ヘテロクリニック軌道が存在します。 それらは、2つのサイクルで交差します。（ ± L / 私 1 、 0 、 0 ） {\displaystyle (\pm L/I_{1},0,0)} ω ˙ = 0 {\displaystyle {\dot {\omega }}=0} ω （ t ） {\displaystyle \omega (t)} エネルギー楕円体が運動量楕円体と最後に交差するのは、2 E = L 2 / 私 1 {\displaystyle 2E=L^{2}/I_{1}} （ ± L / 私 1 、 0 、 0 ） {\displaystyle (\pm L/I_{1},0,0)} テニスラケット効果は、ω （ 0 ） {\displaystyle \omega (0)} ω （ T / 2 ） {\displaystyle \omega (T/2)} T {\displaystyle T}
上記の分析はすべて、物体と共に回転する観測者の視点で行われています。自由空間で物体の運動を観測する観測者は、その角運動量ベクトルを観測することになります。L → = 私 ω → {\displaystyle {\vec {L}}=I{\vec {\omega }}} ω → （ t ） {\displaystyle {\vec {\omega }}(t)} 私 （ t ） {\displaystyle I(t)} ω → （ 0 ） 、 L → {\displaystyle {\vec {\omega }}(0),{\vec {L}}} 私 （ 0 ） {\displaystyle I(0)} 私 （ T / 2 ） 、 ω → （ T / 2 ） {\displaystyle I(T/2),{\vec {\omega }}(T/2)} L → 、 ω → （ T / 2 ） {\displaystyle {\vec {L}},{\vec {\omega }}(T/2)} 私 （ T / 2 ） {\displaystyle I(T/2)}
したがって、可能性は2つあります。剛体の第2主軸が同じ方向であるか、逆方向であるかのどちらかです。もし同じ方向であれば、ω → （ 0 ） 、 ω → （ T / 2 ） {\displaystyle {\vec {\omega }}(0),{\vec {\omega }}(T/2)} ω （ 0 ） {\displaystyle \omega (0)} ω （ T / 2 ） {\displaystyle \omega (T/2)} （ 0 、 ± L / 私 2 、 0 ） {\displaystyle (0,\pm L/I_{2},0)}
定性的に言えば、自由空間で観測する観察者は次のようなことを観察するだろう。
物体はしばらくの間、第二主軸を中心に回転する。 物体は急速に複雑な動きをし、最終的に第二の主要軸の方向が反転する。 物体は再び第二主軸を中心にしばらく回転する。これを繰り返す。 これは、微小重力下でのビデオデモンストレーションを見れば容易に理解できる。
放蕩と共に 物体が完全に剛体ではなく、屈曲したり曲がったり、液体が揺れ動いたりする場合、内部の自由度を通じてエネルギーを散逸させることができます。この場合、物体は一定の角運動量を持ちますが、エネルギーは最小値に達するまで減少します。上記のように幾何学的に分析すると、これは物体の角速度が最大慣性モーメントの軸と完全に一致するときに起こります。
これは、1958年に米国 が打ち上げた最初の人工衛星 エクスプローラー1号 にも起こった。この宇宙船の細長い機体は、慣性モーメントが最小となる長軸を中心に回転するように設計されていたが 、回転を拒否し、代わりに柔軟な構造要素からのエネルギー散逸 によって歳差運動を始めた。また、1998年に NASAとESAが共同で打ち上げた太陽・太陽圏観測衛星（SOHO）が危うく失われ そうになった際にも、この現象が関係していた。宇宙船と太陽を結ぶ軸を中心とした意図しない回転によって制御法則が不安定になり、宇宙船が回転し続けたが、内部の散逸（液体ヒドラジンタンク内）によって最大モーメント軸を中心に安定し、太陽が太陽電池アレイの平面内に留まることになった。
一般的に、大小を問わず天体は、最大慣性モーメントの軸を中心とした一定の回転に収束する。天体が複雑な回転状態にある場合、それは最近の衝突や潮汐相互作用によるものか、あるいは最近破壊された前駆天体の破片である。[ 8 ]
参考文献 ↑ Эффект Джанибекова (гайка Джанибекова)、2009 年 7 月 23 日(ロシア語) ウェイバック マシン に アーカイブ ↑ ポアンソ (1834) Theorie Nouvelle de la Rotation des Corps 、バシュリエ、パリ ↑ Blinder, SM (2011). "剛体の自由回転: ポアンソ構成" . wolfram.com . Wolfram Demonstrations Project . 2025-12-28 取得.ポアンソは1834年に、剛体の運動を視覚的に優雅に表現する幾何学的構成も提案した。ポアンソ楕円体は、一定の角運動量ベクトルに垂直な不変平面上を転がる。 ↑ Murua, Joseba; Palacios, Rafael; Graham, J. Michael R. (2012). "航空機の空力弾性と飛行力学における非定常渦格子法の応用". Progress in Aerospace Sciences . 55 : 46–72 . doi : 10.1016/j.paerosci.2012.06.001 . ↑ ウィートランド、マイケル・S.マーフィー、タラ。ナウメンコ、ダニエル。シンデル、ダーン・ヴァン。ジョージオ州カツィフィス（2021年4月）。 「自由回転実験室としての携帯電話」。 アメリカ物理学ジャーナル 。 89 ( 4) : 342–348。arXiv : 2011.02024 。 土井 : 10.1119/10.0003380 。 ↑ レヴィ、マーク（2014）。 『変分法 と 最適制御を用いた古典力学：直観的入門 』アメリカ数学会、 151-152 頁。ISBN 9781470414443 。↑ エイブラムス、ジュリア (2020-09-01). 「テニスラケットが倒れるのはなぜ？ジャニベコフ効果の説明…」 . comsol.com . COMSOL AB . 2025-12-28 に閲覧。 ↑ Efroimsky, Michael (2002 年 3 月). "Euler、Jacobi、および彗星と小惑星へのミッション". Advances in Space Research . 29 (5): 725– 734. arXiv : astro-ph/0112054 . Bibcode : 2002AdSpR..29..725E . doi : 10.1016/S0273-1177(02)00017-0 . S2CID 1110286 .
外部リンク Dan Russell (2010年3月5日) 「卓球ラケットを使ったスローモーションのジャニベコフ効果の実演」 。 2017年 2月2日 取得 - YouTube経由。 ザパドロフスキー（2010年6月16日）。「ジャニベコフ効果のデモンストレーション」。2017 年2 月 2 日 に取得 – YouTube 経由。 ミール 国際宇宙ステーション にてヴィアチェスラフ・メゼンツェフ（2011年9月7日）。「Mathcad 14 でモデル化されたジャニベコフ効果」。2017 年2 月 2 日 に取得 – YouTube 経由。 Louis Poinsot 、Théorie nouvelle de larotation des corps、パリ、バシュリエ、1834 年、170 ページ。OCLC 457954839 : 歴史的に、この効果の最初の数学的記述。 「楕円体と回転体の奇妙な挙動」。YouTube 。 -マット・パーカー による直感的なビデオ解説「ジャニベコフ効果」は力学の演習かフィクションか？宇宙ステーションからのビデオを数学的に説明してください。 回転体の奇妙な挙動（デレク・ミュラー、 YouTube、2019年9月） 
