速度

速度
レーシングカーがカーブしたコースを曲がるときに方向転換が起こるため、速度は一定であっても速度は一定ではありません。
一般的な記号	v、 v、 v →、 v
その他のユニット	時速、フィート/秒
SI基本単位では	MS​​
寸法	LT −1​

速度は、物体の運動の方向と組み合わせた速さです。速度は、物体の運動を記述する 古典力学の分野である運動学の基本的な概念です。

速度は物理的なベクトル 量です。速度を定義するには大きさと方向の両方が必要です。速度の絶対 値（スカラー値）は速度と呼ばれ、 SI（メートル法）でメートル毎秒（m/s または m⋅s ⁻¹ ）として測定される一貫した派生単位です。たとえば、「5メートル毎秒」はスカラーですが、「東へ5メートル毎秒」はベクトルです。速度、方向、またはその両方に変化がある場合、物体は加速していると言われます。

ある時間における物体の平均速度は、その位置の変化をその時間の長さ で割ったもので、数学的には次のように表される^[1]。${\displaystyle \Delta s}$${\displaystyle \Delta t}$$${\displaystyle {\bar {v}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}.}$$

物体の瞬間 速度は、時間間隔がゼロに近づくにつれて極限の平均速度となる。任意の特定の時間tにおいて、それは時間に対する位置の微分として計算できる。 ^[2] $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta {\boldsymbol {s}}}{\Delta t}}={\frac {d{\boldsymbol {s}}}{dt}}.}$$

この微分方程式から、1 次元の場合、速度と時間 ( vとt のグラフ) の下の領域が変位sであることがわかります。微積分用語では、速度関数v ( t )の積分は変位関数s ( t )です。図では、これは曲線の下の黄色の領域に対応します。 s = ∫ v d t 。 {\displaystyle {\boldsymbol {s}}=\int {\boldsymbol {v}}\ dt.}

瞬間速度の概念は、最初は直感に反するように思えるかもしれませんが、それは、物体がその瞬間に加速を停止した場合に、物体が移動し続ける速度と考えることができます。

スピードとベロシティという用語は、物体がどれだけ速く動いているかを表すために口語的に互換的に使用されることが多いが、科学的には異なる。スピードは速度ベクトルのスカラー量であり、物体がどれだけ速く動いているかのみを示すが、ベロシティは物体の速度と方向の両方を示す。^{[3] [4] [5]}

一定の速度を持つためには、物体は一定の方向に一定の速度を持たなければなりません。一定の方向は物体を直線上の動きに制限するため、一定の速度とは一定の速度で直線上を動くことを意味します。

たとえば、円軌道上を時速 20 キロメートルで一定の速度で移動する車は、速度は一定ですが、方向が変わるため速度は一定ではありません。したがって、車は加速していると考えられます。

位置を時間で微分すると、位置の変化 (メートル単位) を時間の変化 (秒単位) で割った値が得られるため、速度はメートル毎秒(m/s) で測定されます。

速度は時間に対する位置の変化率として定義され、平均速度との区別を強調するために瞬間速度と呼ばれることもあります。一部のアプリケーションでは、物体の平均速度、つまり、ある時間間隔 Δ tにわたって同じ時間間隔v ( t )で可変速度と同じ結果変位を提供する一定速度が必要になる場合があります。平均速度は次のように計算できます。^{[6] [7]}

v ¯ = Δ x Δ t = ∫ t 0 t 1 v ( t ) d t t 1 − t 0 . {\displaystyle \mathbf {\bar {v}} ={\frac {\Delta \mathbf {x} }{\Delta t}}={\frac {\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {v} (t)dt}{t_{1}-t_{0}}}.}

平均速度は常に物体の平均速度以下です。これは、距離は常に厳密に増加しますが、変位は大きさが増減したり方向が変わったりする可能性があることに気づけばわかります。

変位-時間 ( x対t ) グラフでは、瞬間速度 (または単に速度) は任意の点における曲線の接線の傾きとして考えることができ、平均速度は平均速度の時間間隔の境界に等しいt座標を持つ 2 点間の割線の傾きとして考えることができます。

• 粒子がそれぞれ異なる時間間隔t ₁、t ₂、t ₃ 、... 、t _nで異なる等速速度v ₁、v ₂、v ₃、...、v _nで移動するとき、移動時間全体にわたる平均速度は次のように表されます。$${\displaystyle {\bar {v}}={v_{1}t_{1}+v_{2}t_{2}+v_{3}t_{3}+\dots +v_{n}t_{n} \over t_{1}+t_{2}+t_{3}+\dots +t_{n}}}$$

t ₁ = t ₂ = t ₃ = ... = tの場合、平均速度は速度の算術平均で与えられる。$${\displaystyle {\bar {v}}={v_{1}+v_{2}+v_{3}+\dots +v_{n} \over n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{v_{i}}}$$

• 粒子が異なる距離s ₁、s ₂、s ₃、...、s _nをそれぞれ速度 v ₁、v ₂、v ₃、...、v _nで移動する場合、粒子の全距離にわたる平均速度は次のように表される^[8]。

$${\displaystyle {\bar {v}}={s_{1}+s_{2}+s_{3}+\dots +s_{n} \over t_{1}+t_{2}+t_{3}+\dots +t_{n}}={{s_{1}+s_{2}+s_{3}+\dots +s_{n}} \over {{s_{1} \over v_{1}}+{s_{2} \over v_{2}}+{s_{3} \over v_{3}}+\dots +{s_{n} \over v_{n}}}}}$$s ₁ = s ₂ = s ₃ = ... = s の場合、平均速度は速度の調和平均で与えられる^[8] $${\displaystyle {\bar {v}}=n\left({1 \over v_{1}}+{1 \over v_{2}}+{1 \over v_{3}}+\dots +{1 \over v_{n}}\right)^{-1}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{v_{i}}}\right)^{-1}.}$$

速度は位置の変化率として定義されますが、物体の加速度を表す式から始めるのが一般的です。図の 3 本の緑の接線が示すように、ある時点での物体の瞬間加速度は、その時点でのv ( t )グラフの曲線に接する線の傾きです。言い換えると、瞬間加速度は速度の時間に対する導関数として定義されます: ^[9] a = d v d t . {\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}.}

そこから、速度はa ( t )加速度対時間グラフの下の面積として表されます。これは、上記と同様に、積分の概念を使用して行われます。

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=\int {\boldsymbol {a}}\ dt.}$$

加速度が一定である特殊なケースでは、速度はsuvat 方程式を使用して調べることができます。a を任意の定数ベクトルと等しいと見なすことで、 時刻tでの速度をv、時刻t = 0での速度をu として、次式が示されます。 この方程式を suvat 方程式x = u t + a t ² /2と組み合わせると、変位と平均速度を次のように関連付けることができます。 また、時間に依存しない速度の式を導くこともできます。これはTorricelli 方程式と呼ばれ、次のようになります。 ここで、v = | v |などです。 $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {a}}t}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\frac {({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})}{2}}t={\boldsymbol {\bar {v}}}t.}$$$${\displaystyle v^{2}={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {v}}=({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {a}}t)\cdot ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {a}}t)=u^{2}+2t({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}})+a^{2}t^{2}}$$ $${\displaystyle (2{\boldsymbol {a}})\cdot {\boldsymbol {x}}=(2{\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {u}}t+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {a}}t^{2})=2t({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}})+a^{2}t^{2}=v^{2}-u^{2}}$$ $${\displaystyle \therefore v^{2}=u^{2}+2({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}})}$$

上記の式は、ニュートン力学と特殊相対性理論の両方に当てはまります。ニュートン力学と特殊相対性理論の違いは、異なる観測者が同じ状況をどのように記述するかという点です。特に、ニュートン力学では、すべての観測者が t の値に同意し、位置の変換規則により、加速していないすべての観測者が物体の加速を同じ値で記述する状況が生まれます。特殊相対性理論ではどちらも当てはまりません。つまり、相対速度しか計算できません。

古典力学では、ニュートンの運動法則は運動量p を物体の質量と速度の積であるベクトルとして定義し、数学的には p = m v {\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}} と表され、 ここでm は物体の質量です。

運動する物体の運動エネルギーはその速度に依存し、次の式で表されます。 ^[10] E k = 1 2 m v 2 {\displaystyle E_{\text{k}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}} ここで、E _kは運動エネルギーです。運動エネルギーは速度の2乗に依存するスカラー量です。

流体力学では、抗力は周囲の流体に対して動く物体の相対運動に反対方向に働く力である。抗力は速度の2乗に依存し、次のように与えられる。 F D = 1 2 ρ v 2 C D A {\displaystyle F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}\,C_{D}\,A} ここで ${\displaystyle F_{D}}$

• ${\displaystyle \rho }$は流体の密度である、 ^[11]
• ${\displaystyle v}$流体に対する物体の速度である。
• ${\displaystyle A}$は断面積であり、
• ${\displaystyle C_{D}}$抗力係数、つまり無次元数です。

脱出速度は、弾道物体が地球のような巨大な物体から脱出するために必要な最小速度です。これは、物体の重力による位置エネルギー(常に負の値) に加えるとゼロになる運動エネルギーを表します。質量Mの惑星の中心からr の距離にある物体の脱出速度の一般的な式は^[12]で、Gは重力定数、g は重力加速度です。地球の表面からの脱出速度は約 11,200 m/s で、物体の方向に関係ありません。このため、「脱出速度」という呼び方はやや不適切です。より正確な用語は「脱出速度」です。大気に関係なく、その大きさの速度に達する物体は、その経路で何かと交差しない限り、基準天体の近くから離れます。 $${\displaystyle v_{\text{e}}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {2gr}},}$$

特殊相対論では、無次元ローレンツ因子が頻繁に登場し、次のように表されます。^[13] γ = 1 1 − v 2 c 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} ここで、γはローレンツ因子、cは光速です。

相対速度は、単一の座標系で測定される 2 つの物体間の速度です。物理学の多くのシステムは 2 つ以上の粒子の相対運動を扱うため、相対速度は古典物理学と現代物理学の両方で基本的なものです。

速度ベクトル vで移動する物体 Aと速度ベクトルwで移動する物体 Bを考えます。これらの絶対速度は通常、同じ慣性基準フレームで表現されます。すると、物体 Bに対する物体 A の速度は、2 つの速度ベクトルの差として定義されます。 同様に、速度wで移動する物体 B の、速度vで移動する物体 A に対する 相対速度は、次のようになります。 通常、選択される慣性フレームは、前述の 2 つの物体のうち後者が静止している慣性フレームです。 $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{A{\text{ relative to }}B}={\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {w}}}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{B{\text{ relative to }}A}={\boldsymbol {w}}-{\boldsymbol {v}}}$$

ニュートン力学では、相対速度は選択された慣性基準系に依存しません。しかし、特殊相対論では速度は基準系の選択に依存します。

1次元の場合^[14]、速度はスカラーであり、 2つの物体が反対方向に移動している場合、 方程式は次のようになります 。2つの物体が同じ方向に移動している場合、方程式は次のようになります。 $${\displaystyle v_{\text{rel}}=v-(-w),}$$$${\displaystyle v_{\text{rel}}=v-(+w),}$$

多次元直交座標系では、速度は座標系の各次元軸に対応する成分に分割される。X軸とY軸がある2次元システムでは、対応する速度成分は次のように定義される^[15]。

$${\displaystyle v_{x}=dx/dt,}$$

$${\displaystyle v_{y}=dy/dt.}$$

2次元速度ベクトルは次のように定義されます。このベクトルの大きさは速度を表し、距離の式によって次のように 求められます。${\displaystyle {\textbf {v}}=<v_{x},v_{y}>}$

$${\displaystyle |v|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}.}$$

追加のZ軸がある3次元システムでは、対応する速度成分は次のように定義されます。

$${\displaystyle v_{z}=dz/dt.}$$

3次元の速度ベクトルは次のように定義され、その大きさも速度を表し、次のように決定される。 ${\displaystyle {\textbf {v}}=<v_{x},v_{y},v_{z}>}$

$${\displaystyle |v|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}.}$$

いくつかの教科書では速度の直交座標成分を定義するために下付き文字を使用していますが、他の教科書ではそれぞれ-軸、-軸、 -軸に、、を使用しています。^[16]${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

極座標では、2次元の速度は、原点から離れる方向または原点に向かう方向の速度成分として定義される動径速度と、動径に垂直な横方向の速度によって表されます。 ^{[17] [18]}どちらも、原点の周りの回転速度である角速度から生じます（右手座標系では、正の量は反時計回りの回転を表し、負の量は時計回りの回転を表します）。

速度ベクトルを半径方向と横方向の成分に分解することで、直交座標の速度ベクトルと変位ベクトルから半径方向と横方向の速度を導き出すことができます。横方向の速度は、原点を中心とした円に沿った速度成分です。 ここで $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}_{T}+{\boldsymbol {v}}_{R}}$$

• ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{T}}$横方向の速度は
• ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{R}}$は視線速度です。

半径方向の速度（または半径方向の速度の大きさ）は、速度ベクトルと半径方向の単位ベクトルの 内積です。 ここで、は位置、は半径方向です。 $${\displaystyle v_{R}={\frac {{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {r}}}{\left|{\boldsymbol {r}}\right|}}={\boldsymbol {v}}\cdot {\hat {\boldsymbol {r}}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {r}}}}$

横方向の速度（または横方向の速度の大きさ）は、半径方向の単位ベクトルと速度ベクトルの外積の大きさ です 。また、速度と横方向のドット積、または角速度 と半径（位置の大きさ）の積でもあります。 ${\displaystyle \omega }$$${\displaystyle v_{T}={\frac {|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|}{|{\boldsymbol {r}}|}}={\boldsymbol {v}}\cdot {\hat {\boldsymbol {t}}}=\omega |{\boldsymbol {r}}|}$$$${\displaystyle \omega ={\frac {|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|}{|{\boldsymbol {r}}|^{2}}}.}$$

スカラー形式の角運動量は、質量×原点までの距離×横方向速度、または同等に、質量×距離の2乗×角速度です。角運動量の符号規則は、角速度の符号規則と同じです。 ここで $${\displaystyle L=mrv_{T}=mr^{2}\omega }$$

• ${\displaystyle m}$質量は
• ${\displaystyle r=|{\boldsymbol {r}}|.}$

この式は慣性モーメントとして知られています。重力軌道の場合のように、力が半径方向にのみ反比例する場合、角運動量は一定で、横方向の速度は距離に反比例し、角速度は距離の二乗に反比例し、面積が掃引される速度は一定です。これらの関係は、ケプラーの惑星運動の法則として知られています。 ${\displaystyle mr^{2}}$

• Robert Resnick および Jearl Walker、『Fundamentals of Physics』、Wiley、第 7 版 (2004 年 6 月 16 日) 。ISBN 0-471-23231-9 。

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• 速度と加速度
• メカニズム入門（カーネギーメロン大学）