ツイスト（微分幾何学）

微分幾何学では、リボンのねじれは軸の回転速度です。リボンが空間曲線（は の弧の長さ、は の各点で に垂直な単位法線ベクトル）で構成されるものとします。リボンにはエッジとがあるため、ねじれ（または総ねじれ数）は、エッジ曲線が軸曲線 の周りおよび軸曲線 に沿って平均的に巻き付けられていることを示します。Love (1944) によると、ねじれは次のように定義されます。 ${\displaystyle (X,U)}$${\displaystyle X=X(s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U=U(s)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,U)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X'=X+\varepsilon U}$${\displaystyle Tw}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle Tw={\dfrac {1}{2\pi}}\int \left(U\times {\dfrac {dU}{ds}}\right)\cdot {\dfrac {dX}{ds}}ds\;,}$

ここで はへの単位接線ベクトルである。全ねじれ数は、正規化された全ねじれと固有ねじれに分解することができる（Moffatt & Ricca 1992）。 ${\displaystyle dX/ds}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Tw}$ ${\displaystyle T\in [0,1)}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle Tw={\dfrac {1}{2\pi}}\int \tau \;ds+{\dfrac {\left[\Theta \right]_{X}}{2\pi}}=T+N\;,}$

ここで、は空間曲線 のねじれ、 はに沿ったの全回転角度を表します。 も もリボン場 とは独立ではありません。 代わりに、正規化されたねじれだけが曲線の不変量です(Banchoff & White 1975)。 ${\displaystyle \tau =\tau (s)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left[\Theta \right]_{X}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle Tw}$${\displaystyle U}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$

リボンが変形して変曲点を通過すると（つまり、変曲点を 持つ）、ねじれは特異になります。総ねじれはだけジャンプし、総角度は同時に だけ等しく反対方向にジャンプし（Moffatt & Ricca 1992）、連続したままになります。この動作は、多くの科学分野におけるエネルギーの考察に多くの重要な影響を及ぼします（Ricca 1997、2005、Goriely 2006）。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mp 1}$${\displaystyle Tw}$

のねじれ とともに、ねじれは、位相流体力学（ベクトル場の運動学的および磁気的螺旋性と密接な関係があるため）、物理的結び目理論、および構造的複雑性解析におけるカルガレアヌ・ホワイト・フラー公式の応用において重要な役割を果たす幾何学的量です。 ${\displaystyle Wr}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Lk=Wr+Tw}$

• Banchoff, TF & White, JH (1975) 反転下における閉空間曲線の全ねじれと自己連結数の挙動。Math . Scand. 36 , 254–262。
• Goriely, A. (2006) ねじれた弾性リングとミッシェルの不安定性の再発見。J Elasticity 84、281-299。
• Love, AEH (1944)「弾性の数学的理論に関する論文」Dover、第 4 版、ニューヨーク。
• Moffatt, HK & Ricca, RL (1992) ヘリシティと Calugareanu 不変量。Proc . R. Soc. London A 439、411-429。また、(1995) Knots and Applications (ed. LH Kauffman)、pp. 251-269。World Scientific。
• Ricca, RL (1997) ねじれた磁束管の進化と屈曲不安定性。Solar Physics 172、241-248。
• Ricca, RL (2005) 磁束管の屈曲不平衡。流体力学研究 36、319-332。