ウィリアム・ゴールドマン（数学者）

ウィリアム・ゴールドマン
2008年、バーイラン大学のウィリアム・ゴールドマン
生まれる	( 1955-11-17 )1955年11月17日（69歳） カンザスシティ、アメリカ合衆国
母校	プリンストン大学 カリフォルニア大学バークレー校
科学者としてのキャリア
フィールド	数学
機関	メリーランド大学カレッジパーク校
博士課程の指導教員	モリス・ハーシュ ウィリアム ・サーストン

ウィリアム・マーク・ゴールドマン（1955年ミズーリ州カンザスシティ生まれ）は、メリーランド大学カレッジパーク校の数学教授（1986年より）。 1977年にプリンストン大学で数学の学士号を取得し、 1980年にカリフォルニア大学バークレー校で数学の博士号を取得しました。

ゴールドマンは、ウィリアム・サーストンとデニス・サリバンの指導のもとで学部論文「アフィン多様体と多様体上の射影幾何学」を執筆して以来、多様体上の様々な形態の幾何学的構造を研究してきた。この研究は、モリス・ハーシュ、デイビッド・フリードとともに多様体上のアフィン構造について、またコンパクト曲面上の実射影構造についての研究につながった。特に、種数 の閉じた向き付け可能な曲面上の凸実射影構造の空間が次元の開セルに同相であることを証明した。また、スヒョン・チェとともに、この空間が の基本群の表現の同値類の空間の連結成分（「ヒッチン成分」）であることを証明した。この結果をスヒョン・チェの凸分解定理と組み合わせることで、コンパクト曲面上の凸実射影構造の完全な分類につながった。 ${\displaystyle g>1}$${\displaystyle 16g-16}$${\displaystyle {\rm {SL}}(3,\mathbb {R} )}$

彼の博士論文「不連続群とオイラー類」（モリス・W・ハーシュ指導）は、 における曲面群の離散埋め込みを最大オイラー類の観点から特徴付け、平坦束に対するミルナー・ウッド不等式の逆を証明した。その後まもなく、彼はにおける種数 の閉じた向き付け可能な曲面の基本群の表現空間には、オイラー類によって区別される連結成分が あることを示した。${\displaystyle {\rm {PSL}}(3,\mathbb {R} )}$${\displaystyle g>1}$${\displaystyle {\rm {PSL}}(3,\mathbb {R} )}$${\displaystyle 4g​​-3}$

彼はデイヴィッド・フリードとともに、ユークリッド 3 次元空間のコンパクト商をアフィン変換の離散群で分類し、そのような多様体はすべて円周上のトーラス束の有限商であることを示した。非コンパクトの場合はさらに興味深く、グリゴリー・マーギュリスは非可換自由基本群を持つ完全アフィン多様体を発見した。トッド・ドラムは 1990 年の博士論文で、多面体を使った立体ハンドル体の例を発見し、以来「曲がった平面」と呼ばれている。

ゴールドマンは、平坦な共形構造を許容しない閉じた 3 次元多様体の 例 (非ユークリッド多様体とソルブ多様体) を発見しました。

ウォルパートは、曲面上の双曲的構造の空間上のヴァイル-ペーターソンシンプレクティック構造に関する研究を一般化し、簡約リー群における曲面群の表現の空間上のシンプレクティック構造の代数的位相的記述を見出した。曲面上の対応する曲線の表現のトレースはポアソン代数を生成し、そのリー括弧は曲線の交差によって位相的記述を持つ。さらに、これらのトレース関数のハミルトンベクトル場は、タイヒミュラー空間上のフェンチェル-ニールセンフローを一般化するフローを定義する。このシンプレクティック構造は写像類群の自然な作用の下で不変であり、デーンツイストと一般化されたフェンチェル-ニールセンフローの関係を使用して、ウォルパートはシンプレクティックルベーグ測度に関する SU(2)-指標多様体 への写像類群の作用のエルゴード性を証明した。

ピエール・ドリーニュの示唆に従って、彼とジョン・ミルソンは、コンパクトなケーラー多様体の基本群の表現の多様性が、同次二次方程式のシステムによって定義される特異点を持つことを証明した。これにより、エルミート対称空間上の作用に対するさまざまな局所的剛性の結果がもたらされる。

ジョン・パーカーとともに、彼は複素双曲理想三角形群の表現を調べた。これは、複素双曲平面の正則等長写像群への双曲理想三角形群の表現であり、三角形群の各標準生成元は複素鏡映に、生成元ペアの積は放物線に写像される。与えられた三角形群（共役を法として）の表現空間は、半開区間によってパラメータ化される。彼らは、特定の範囲内の表現は離散的であることを示し、表現が離散的であるためには、指定されたより大きな範囲内にある必要があると推測した。これはゴールドマン・パーカー予想として知られるようになり、最終的にはリチャード・シュワルツによって証明された。

ゴールドマン氏はメリーランド大学で実験幾何学研究室と呼ばれる研究グループの責任者も務めており、このチームは低次元の幾何学的構造と動力学を研究するためのソフトウェア（主にMathematicaを使用）を開発している。同氏は 1994 年から 1996 年までミネソタ大学の幾何学センターの理事会に所属していた。

彼は2003年から2013年まで Geometriae Dedicataの編集長を務めた。

2012年に彼はアメリカ数学会の会員になった。^[1]

• ゴールドマン、ウィリアム M. (1999)。複素双曲幾何学。オックスフォード数学モノグラフ。オックスフォードサイエンス出版。ニューヨーク：クラレンドンプレス、オックスフォード大学出版局。xx+316 pp. ISBN 0-19-853793-X. MR  1695450。
• Goldman , William M.; Xia, Eugene Z. (2008). 「ランク 1 ヒッグス束とリーマン面の基本群の表現」。アメリカ数学会誌。193 (904): viii+69 pp. arXiv : math/0402429 . doi :10.1090/memo/0904. ISSN  0065-9266. MR  2400111. S2CID  2865489.

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