ドミノタイル

幾何学において、ユークリッド平面の領域のドミノタイル張りは、2 つの単位正方形の端と端が接する結合によって形成される形状であるドミノによる領域のタイル張りです。同様に、領域の各正方形の中心に頂点を配置し、隣接する正方形に対応する 2 つの頂点を接続することによって形成されるグリッド グラフの完全なマッチングです。

2 次元の規則的なグリッド上の一部のタイリング クラスでは、グリッドの頂点に整数を関連付ける高さ関数を定義できます。たとえば、チェス盤を描き、高さ 0 のノードを固定すると、任意のノードに対して、そのノードからそのノードまでのパスが存在します。このパスで、各ノード (つまり、正方形の角) の高さを、そのパスの右側の正方形が黒の場合は前のノードの高さに 1 を加えた値、それ以外の場合は 1 を引いた値として定義します。 ${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A_{n+1}}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle A_{n+1}}$

詳細については、Kenyon & Okounkov (2005) を参照してください。

ウィリアム・サーストン (1990) は、平面上の単位正方形の結合として形成される単連結領域がドミノタイルであるかどうかを判断するためのテストについて説明しています。彼は、3次元整数格子内の点 ( x、y、z ) を頂点とする無向グラフを形成し、各点は4つの隣接点に接続されている。つまり、 x + y が偶数の場合、(  x  、 y 、 z )は、 (  x + 1、 y 、 z + 1 )  、 ( x、y +  1 、 z −  1 )  、および ( x、y −  1、z − 1)に接続され、 x + y が奇数の場合、 ( x 、 y 、 z )は 、  ( x  + 1、y、z − 1  )  、( x 、  y  + 1 、z  + 1 )  、および ( x、y  − 1、z  + 1) に接続されている。領域の境界は、( x , y ) 平面内の整数点の列として表示され、(開始の高さを選択すると) この3 次元グラフ内のパスに一意に上がります。この領域がタイル化可能であるための必要条件は、このパスが 3 次元で単純な閉曲線を形成するように閉じなければならないことですが、この条件だけでは十分ではありません。境界パスをより注意深く分析することで、サーストンは、必要であると同時に十分な領域のタイル化可能性の基準を示しました。

長方形をドミノで覆う方法の数は、Temperley & Fisher (1961)とKasteleyn (1961)によって独立に計算され、次のように表される （ OEISのシーケンスA099390）。 ${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle {\frac {mn}{2}}}$$${\displaystyle \prod _{j=1}^{\lceil {\frac {m}{2}}\rceil }\prod _{k=1}^{\lceil {\frac {n}{2}}\rceil }\left(4\cos ^{2}{\frac {\pi j}{m+1}}+4\cos ^{2}{\frac {\pi k}{n+1}}\right).}$$

mとn の両方が奇数の場合、式は正しく 0 個の可能なドミノタイルに簡約されます。

長方形をn個のドミノで並べるときに特別なケースが発生します。数列はフィボナッチ数列に簡約されます。^[1]${\displaystyle 2\times n}$

もう一つの特別なケースは、 m = n = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... の正方形の場合です。

これらの数値は、固有値が明示的に求められる歪対称行列のパフィアンとして記述することで求められます。この手法は、統計力学における二量体間相関関数の古典的な 2 次元計算など、数学関連の多くの分野に適用できます。 ${\displaystyle mn\times mn}$

領域のタイリング数は境界条件に非常に敏感で、領域の形状がわずかに変化しただけでも劇的に変化することがあります。これは、n次アステカ ダイヤモンドのタイリング数で示されます。この場合、タイリング数は 2 ^{( n  + 1) n /2です。これを、中央に 2 列ではなく 3 列の長い列がある}n次「拡大アステカ ダイヤモンド」に置き換えると、タイリング数ははるかに小さい数 D( n , n )、つまりデラノア数に減少します。これは、 nに対して超指数関数的ではなく指数関数的に増加します。 n次で中央に長い列が 1 列しかない「縮小アステカ ダイヤモンド」の場合、タイリングは 1 つだけです。

• 
  1024 個のドミノタイルを持つ、オーダー 4 のアステカ ダイヤモンド
• 
  可能なタイリングの1つ

畳はドミノの形（1x2の長方形）をした日本の床マットです。畳は部屋のタイル張りに使われますが、畳の敷き方には追加のルールがあります。特に、一般的には3枚の畳が接する接合部は縁起が良く、4枚の畳が接する接合部は縁起が悪いと考えられているため、どの角も3枚の畳だけが接する畳の敷き方が適切です。^[2]不規則な部屋を3枚の畳で角に敷き詰める問題はNP完全です。^[3]

周期的なドミノタイリングと、2次元周期格子上の完全にフラストレートしたイジングモデルの基底状態構成との間には、 1対1の対応関係がある。^[4]基底状態では、スピンモデルの各プラケットには、フラストレートした相互作用が1つだけ含まれている必要がある。したがって、デュアル格子から見ると、各フラストレートしたエッジは、 1x2の長方形で「覆われる」必要があり、長方形は格子全体に広がり、重なり合わないか、デュアル格子のドミノタイリングになる必要がある。

• ガウス自由場、一般的な状況（例えば、大きなアステカダイヤモンドの内接円盤内）における高さ関数のスケーリング限界
• 切断されたチェス盤の問題、標準的な 8×8 のチェス盤(またはチェッカーボード)の 62 マスの領域をドミノでタイル張りするパズル。
• 統計力学