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数学において、法面とは、各四面体と法面と呼ばれる複数の要素で交差する、三角形に分割された3 次元多様体の内部にある面のことです。各法面は、四面体の頂点を切断する三角形か、頂点のペアを分離する四辺形のいずれかです。特定の四面体では、異なる頂点のペアを分離する 2 つの四辺形は存在できません。そのような四辺形は直線で交差し、面が自己交差することになるからです。
双対的に、法線面は、上記と同様に、3 次元多様体上の特定のハンドル構造の各ハンドルと所定の方法で交差する面と考えることができます。
正規面の概念は、任意の多面体に一般化できます。また、ほぼ正規面と回転正規面という関連する概念もあります。
ほぼ通常の表面では、三角形分割の 1 つの四面体には 1 つの例外的な部分があります。これは、頂点のペアを分離する八角形、または2 つの三角形や四辺形をチューブで接続する 環状部のいずれかです。
正規面の概念は、3次元多様体の素分解定理の証明に利用したヘルムート・クネーザーによるものです。後に、ヴォルフガング・ハーケンがこの概念を拡張して洗練させ、3次元多様体理論の多くのアルゴリズムの基礎となる正規面理論を生み出しました。ほぼ正規面の概念は、ハイアム・ルビンシュタインによるものです。回転正規面の概念は、ビル・サーストンによるものです。
Regina は、Rubinstein の 3 球面認識アルゴリズムなどの機能を実装し、三角形化された 3 次元多様体の正規表面とほぼ正規表面を列挙するソフトウェアです。
参考文献
- ハッチャー、基本的な3次元多様体位相に関するノート、オンラインで入手可能
- ゴードン編、ケント編『正規曲面の理論』[1]
- ヘンペル、3次元多様体、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-3695-1
- ジャコ『3次元多様体位相幾何学に関する講義』アメリカ数学会、ISBN 0-8218-1693-4
- RH Bing、「3次元多様体の幾何学的位相学」、(1983)アメリカ数学会コロキウム出版第40巻、プロビデンスRI、ISBN 0-8218-1040-5。