量子力学の定式化
物理学 において 、 ハイゼンベルク描像 または ハイゼンベルク表現 [1] は、 観測可能なものは 時間に依存するが、 状態は時間に依存しない 量子力学の 定式化 （主に 1925年に ヴェルナー・ハイゼンベルク によって提唱された）である。これは、 観測可能なものは一定で状態が時間とともに変化する
シュレーディンガー描像 とは対照的である。
さらに、これは、3 番目のハイブリッドな図、つまり 相互作用図 を定義するのに役立ちます。
数学的な詳細 量子力学のハイゼンベルク描像では、状態ベクトル| ψ ⟩は時間とともに変化しないが、観測量 A は
d
d
t
A
H
(
t
)
=
i
ℏ
[
H
H
(
t
)
,
A
H
(
t
)
]
+
(
∂
A
S
∂
t
)
H
,
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}A_{\text{H}}(t)={\frac {i}{\hbar }}[H_{\text{H}}(t),A_{\text{H}}(t)]+\left({\frac {\partial A_{\text{S}}}{\partial t}}\right)_{\text{H}},}
ここで、「H」と「S」はそれぞれハイゼンベルク図とシュレーディンガー図の観測量を表し、 H は ハミルトニアン 、 [·,·]は 2つの演算子（この場合は H と A ）の 交換子 を表します 。期待値を取ると、 対応原理 で特徴付けられる エーレンフェストの定理 が自動的に得られます。
ストーン–フォン・ノイマンの定理 により 、ハイゼンベルク描像とシュレーディンガー描像はユニタリ的に同値であり、 ヒルベルト空間 における 基底の変更 に過ぎない。ある意味では、 ハイゼンベルク描像は、特に 相対論的 理論においては、同値なシュレーディンガー描像よりも自然で便利である 。 ハイゼンベルク描像では、状態ベクトルが時間や空間を区別しないため、
ローレンツ不変性が明白である。
このアプローチは古典物理学 とのより直接的な類似性も持っています 。つまり、上記の交換子を ポアソン括弧 に置き換えるだけで、 ハイゼンベルク方程式は ハミルトン力学 の方程式に簡約されます 。
ハイゼンベルク方程式とシュレーディンガー方程式の等価性 教育上、ここではハイゼンベルクの描像は、その後の、しかしよりよく知られている シュレーディンガーの描像 から導入されます。
シュレーディンガー方程式 によれば 、時間 における量子状態 は であり 、ここで は 時間に依存する ハミルトニアンによって誘導される 時間発展演算子 であり、 は 初期状態である。は 時間順序付けを指し、 ħ は 縮小プランク定数 、 i は 虚数単位である。 シュレーディンガー描像 における 観測可能な値の 期待値は 、時間に依存する エルミート 線形演算子 であり、状態 において 次のように与えられる。
t
{\displaystyle t}
|
ψ
(
t
)
⟩
=
U
(
t
)
|
ψ
(
0
)
⟩
{\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle }
U
(
t
)
=
T
e
−
i
ℏ
∫
0
t
d
s
H
S
(
s
)
{\displaystyle U(t)=Te^{-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}dsH_{\rm {S}}(s)}}
H
S
(
t
)
{\displaystyle H_{\rm {S}}(t)}
|
ψ
(
0
)
⟩
{\displaystyle |\psi (0)\rangle }
T
{\displaystyle T}
A
S
(
t
)
{\displaystyle A_{\rm {S}}(t)}
|
ψ
(
t
)
⟩
{\displaystyle |\psi (t)\rangle }
⟨
A
⟩
t
=
⟨
ψ
(
t
)
|
A
S
(
t
)
|
ψ
(
t
)
⟩
.
{\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (t)|A_{\rm {S}}(t)|\psi (t)\rangle .}
ハイゼンベルクの描像では、量子状態は初期値 で一定のままであると仮定されます が、演算子は定義 に従って時間とともに変化します
。
これは を容易に意味する ため、どちらの描像で作業しても同じ期待値が得られます。時間変化演算子のシュレーディンガー方程式は、
となります。ここで、
微分は 積の法則
に従って実行されました 。これがハイゼンベルクの運動方程式です。上記の最終行に現れる ハミルトニアンは ハイゼンベルクのハミルトニアン であり 、シュレーディンガーのハミルトニアン とは異なる可能性があることに注意してください 。
|
ψ
(
0
)
⟩
{\displaystyle |\psi (0)\rangle }
A
H
(
t
)
:=
U
†
(
t
)
A
S
(
t
)
U
(
t
)
.
{\displaystyle A_{\rm {H}}(t):=U^{\dagger }(t)A_{\rm {S}}(t)U(t)\,.}
⟨
A
⟩
t
=
⟨
ψ
(
0
)
|
A
H
(
t
)
|
ψ
(
0
)
⟩
{\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (0)|A_{\rm {H}}(t)|\psi (0)\rangle }
d
d
t
U
(
t
)
=
−
i
ℏ
H
S
(
t
)
U
(
t
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}U(t)=-{\frac {i}{\hbar }}H_{\rm {S}}(t)U(t).}
d
d
t
A
H
(
t
)
=
(
d
d
t
U
†
(
t
)
)
A
S
(
t
)
U
(
t
)
+
U
†
(
t
)
A
S
(
t
)
(
d
d
t
U
(
t
)
)
+
U
†
(
t
)
(
∂
A
S
∂
t
)
U
(
t
)
=
i
ℏ
U
†
(
t
)
H
S
(
t
)
A
S
(
t
)
U
(
t
)
−
i
ℏ
U
†
(
t
)
A
S
(
t
)
H
S
(
t
)
U
(
t
)
+
U
†
(
t
)
(
∂
A
S
∂
t
)
U
(
t
)
=
i
ℏ
U
†
(
t
)
H
S
(
t
)
U
(
t
)
U
†
(
t
)
A
S
(
t
)
U
(
t
)
−
i
ℏ
U
†
(
t
)
A
S
(
t
)
U
(
t
)
U
†
(
t
)
H
S
(
t
)
U
(
t
)
+
(
∂
A
S
∂
t
)
H
=
i
ℏ
[
H
H
(
t
)
,
A
H
(
t
)
]
+
(
∂
A
S
∂
t
)
H
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}A_{\rm {H}}(t)&=\left({\frac {d}{dt}}U^{\dagger }(t)\right)A_{\rm {S}}(t)U(t)+U^{\dagger }(t)A_{\rm {S}}(t)\left({\frac {d}{dt}}U(t)\right)+U^{\dagger }(t)\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)U(t)\\&={\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)H_{\rm {S}}(t)A_{\rm {S}}(t)U(t)-{\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)A_{\rm {S}}(t)H_{\rm {S}}(t)U(t)+U^{\dagger }(t)\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)U(t)\\&={\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)H_{\rm {S}}(t)U(t)U^{\dagger }(t)A_{\rm {S}}(t)U(t)-{\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)A_{\rm {S}}(t)U(t)U^{\dagger }(t)H_{\rm {S}}(t)U(t)+\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)_{\rm {H}}\\&={\frac {i}{\hbar }}[H_{\rm {H}}(t),A_{\rm {H}}(t)]+\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)_{\rm {H}},\end{aligned}}}
H
H
(
t
)
{\displaystyle H_{\rm {H}}(t)}
H
S
(
t
)
{\displaystyle H_{\rm {S}}(t)}
ハミルトニアンが 時間とともに変化しない場合、上記の式の重要な特殊なケースが得られます 。その場合、時間発展演算子は と書くことができ
、したがって は と 可換となる ため、 となります 。したがって、
およびこれまでの分析に従うと、
H
S
{\displaystyle H_{\rm {S}}}
U
(
t
)
=
e
−
i
ℏ
t
H
S
,
{\displaystyle U(t)=e^{-{\frac {i}{\hbar }}tH_{\rm {S}}},}
H
H
≡
H
S
≡
H
{\displaystyle H_{\rm {H}}\equiv H_{\rm {S}}\equiv H}
U
(
t
)
{\displaystyle U(t)}
H
{\displaystyle H}
⟨
A
⟩
t
=
⟨
ψ
(
0
)
|
e
i
ℏ
t
H
A
S
(
t
)
e
−
i
ℏ
t
H
|
ψ
(
0
)
⟩
{\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (0)|e^{{\frac {i}{\hbar }}tH}A_{\rm {S}}(t)e^{-{\frac {i}{\hbar }}tH}|\psi (0)\rangle }
d
d
t
A
H
(
t
)
=
i
ℏ
[
H
,
A
H
(
t
)
]
+
e
i
ℏ
t
H
(
∂
A
S
∂
t
)
e
−
i
ℏ
t
H
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}A_{\rm {H}}(t)&={\frac {i}{\hbar }}[H,A_{\rm {H}}(t)]+e^{{\frac {i}{\hbar }}tH}\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}tH}.\end{aligned}}}
さらに、 が時間に依存しない場合、最後の項は消え、
A
S
≡
A
{\displaystyle A_{\rm {S}}\equiv A}
d
d
t
A
H
(
t
)
=
i
ℏ
[
H
,
A
H
(
t
)
]
,
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}A_{\rm {H}}(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A_{\rm {H}}(t)],}
この特定のケースでは、この方程式は 標準演算子恒等式 を使用して解かれ 、
次のようになる。
A
H
(
t
)
≡
A
(
t
)
=
e
i
ℏ
t
H
A
e
−
i
ℏ
t
H
{\displaystyle A_{\rm {H}}(t)\equiv A(t)=e^{{\frac {i}{\hbar }}tH}Ae^{-{\frac {i}{\hbar }}tH}}
e
B
A
e
−
B
=
A
+
[
B
,
A
]
+
1
2
!
[
B
,
[
B
,
A
]
]
+
1
3
!
[
B
,
[
B
,
[
B
,
A
]
]
]
+
⋯
,
{\displaystyle {e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots \,,}
A
(
t
)
=
A
+
i
t
ℏ
[
H
,
A
]
+
1
2
!
(
i
t
ℏ
)
2
[
H
,
[
H
,
A
]
]
+
1
3
!
(
i
t
ℏ
)
3
[
H
,
[
H
,
[
H
,
A
]
]
]
+
⋯
{\displaystyle A(t)=A+{\frac {it}{\hbar }}[H,A]+{\frac {1}{2!}}\left({\frac {it}{\hbar }}\right)^{2}[H,[H,A]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {it}{\hbar }}\right)^{3}[H,[H,[H,A]]]+\cdots }
同様の関係は 古典力学 にも当てはまります。上記の 古典的極限は 、 ポアソン括弧 と 交換子 の 対応 によって与えられます。
古典力学では、 明示的な時間依存性のない
Aの場合、再び A ( t )
の式は t = 0の周りのテイラー展開です 。
[
A
,
H
]
⟷
i
ℏ
{
A
,
H
}
.
{\displaystyle [A,H]\quad \longleftrightarrow \quad i\hbar \{A,H\}.}
{
A
,
H
}
=
d
A
d
t
,
{\displaystyle \{A,H\}={\frac {dA}{dt}}~,}
実際には、量子システムの初期状態は視界から消え、ハイゼンベルクの運動方程式に従って時間とともに進化した観測量の特定の期待値または行列要素を取得する最終段階でのみ考慮されます。初期状態が 混合状態 の場合にも同様の分析が適用されます。
シュレーディンガー描像における 時間発展状態は、異なる 相互作用描像 に現れる 発展状態と区別するために、と書かれることがある 。
|
ψ
(
t
)
⟩
{\displaystyle |\psi (t)\rangle }
|
ψ
S
(
t
)
⟩
{\displaystyle |\psi _{\rm {S}}(t)\rangle }
|
ψ
I
(
t
)
⟩
{\displaystyle |\psi _{\rm {I}}(t)\rangle }
交換関係 交換子関係は、演算子の時間依存性のため、シュレーディンガー図とは異なって見える場合があります。たとえば、演算子 x ( t 1 )、 x ( t 2 )、 p ( t 1 ) 、および p ( t 2 ) を考えます。これらの演算子の時間発展は、システムのハミルトニアンに依存します。1 次元の調和振動子を考えると、
位置演算子と運動量演算子の発展は次のように表されます。
H
=
p
2
2
m
+
m
ω
2
x
2
2
,
{\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}},}
d
d
t
x
(
t
)
=
i
ℏ
[
H
,
x
(
t
)
]
=
p
m
,
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,x(t)]={\frac {p}{m}},}
d
d
t
p
(
t
)
=
i
ℏ
[
H
,
p
(
t
)
]
=
−
m
ω
2
x
.
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}p(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,p(t)]=-m\omega ^{2}x.}
ハミルトニアンは時間に依存しないので、 ハイゼンベルク描像における位置と運動量演算子であることに注意してください。両方の方程式をもう一度微分し、適切な初期条件で解くと、次
のようになります。
x
(
t
)
,
p
(
t
)
{\displaystyle x(t),p(t)}
p
˙
(
0
)
=
−
m
ω
2
x
0
,
{\displaystyle {\dot {p}}(0)=-m\omega ^{2}x_{0},}
x
˙
(
0
)
=
p
0
m
,
{\displaystyle {\dot {x}}(0)={\frac {p_{0}}{m}},}
x
(
t
)
=
x
0
cos
(
ω
t
)
+
p
0
ω
m
sin
(
ω
t
)
,
{\displaystyle x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {p_{0}}{\omega m}}\sin(\omega t),}
p
(
t
)
=
p
0
cos
(
ω
t
)
−
m
ω
x
0
sin
(
ω
t
)
.
{\displaystyle p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega x_{0}\sin(\omega t).}
直接計算により、より一般的な交換関係が得られる。
[
x
(
t
1
)
,
x
(
t
2
)
]
=
i
ℏ
m
ω
sin
(
ω
t
2
−
ω
t
1
)
,
{\displaystyle [x(t_{1}),x(t_{2})]={\frac {i\hbar }{m\omega }}\sin \left(\omega t_{2}-\omega t_{1}\right),}
[
p
(
t
1
)
,
p
(
t
2
)
]
=
i
ℏ
m
ω
sin
(
ω
t
2
−
ω
t
1
)
,
{\displaystyle [p(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar m\omega \sin \left(\omega t_{2}-\omega t_{1}\right),}
[
x
(
t
1
)
,
p
(
t
2
)
]
=
i
ℏ
cos
(
ω
t
2
−
ω
t
1
)
.
{\displaystyle [x(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar \cos \left(\omega t_{2}-\omega t_{1}\right).}
については 、すべての図で有効な標準的な標準交換関係を単純に回復します。
t
1
=
t
2
{\displaystyle t_{1}=t_{2}}
すべての写真における進化の概要比較 時間に依存しないハミルトニアン H S （ H 0,S は自由ハミルトニアン）
の 場合、
参照
参考文献
^ 「ハイゼンベルク表現」。数学百科事典。 2013年 9月3日 閲覧 。
外部リンク 量子場理論の教育補助資料 第 2 章のリンクをクリックすると、ハイゼンベルク図の広範かつ簡略化された入門書が見つかります。 ハイゼンベルク描像における調和振動子のいくつかの拡張導出と例 [1] ハイゼンベルクの原論文の翻訳版（読みにくいが、非調和振動子の例が含まれている）：量子力学の源泉 BL Van Der Waerden [2] ハイゼンベルク表現における水素原子の計算は、もともとパウリの論文[3]に由来する。
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}A_{\text{H}}(t)={\frac {i}{\hbar }}[H_{\text{H}}(t),A_{\text{H}}(t)]+\left({\frac {\partial A_{\text{S}}}{\partial t}}\right)_{\text{H}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d18ff3859f0f113b75aa7da9164ebd001b02438)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}A_{\rm {H}}(t)&=\left({\frac {d}{dt}}U^{\dagger }(t)\right)A_{\rm {S}}(t)U(t)+U^{\dagger }(t)A_{\rm {S}}(t)\left({\frac {d}{dt}}U(t)\right)+U^{\dagger }(t)\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)U(t)\\&={\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)H_{\rm {S}}(t)A_{\rm {S}}(t)U(t)-{\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)A_{\rm {S}}(t)H_{\rm {S}}(t)U(t)+U^{\dagger }(t)\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)U(t)\\&={\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)H_{\rm {S}}(t)U(t)U^{\dagger }(t)A_{\rm {S}}(t)U(t)-{\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)A_{\rm {S}}(t)U(t)U^{\dagger }(t)H_{\rm {S}}(t)U(t)+\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)_{\rm {H}}\\&={\frac {i}{\hbar }}[H_{\rm {H}}(t),A_{\rm {H}}(t)]+\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)_{\rm {H}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7e77d651b9eb6b891afb4ea9bf01f55208c80a1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}A_{\rm {H}}(t)&={\frac {i}{\hbar }}[H,A_{\rm {H}}(t)]+e^{{\frac {i}{\hbar }}tH}\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}tH}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7450661e3b06162c131c7e3167b267fda529692)
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}A_{\rm {H}}(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A_{\rm {H}}(t)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99232c66649cd931a07fb12a5bfb120d2f45e373)
![{\displaystyle {e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab527675a10ff699469991ea7071910a2564c8bb)
![{\displaystyle A(t)=A+{\frac {it}{\hbar }}[H,A]+{\frac {1}{2!}}\left({\frac {it}{\hbar }}\right)^{2}[H,[H,A]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {it}{\hbar }}\right)^{3}[H,[H,[H,A]]]+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fc0bf3a94a69588750dcc5ee530cab1f72c2bf5)
![{\displaystyle [A,H]\quad \longleftrightarrow \quad i\hbar \{A,H\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/895c8cbaf711dc513f8210d1e1a275965c075735)
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,x(t)]={\frac {p}{m}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c0fe9105d5bf468655e9224419c3e1286b1057)
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}p(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,p(t)]=-m\omega ^{2}x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dbddc15e25935e59fd7329bcd60fd993284ca77)
![{\displaystyle [x(t_{1}),x(t_{2})]={\frac {i\hbar }{m\omega }}\sin \left(\omega t_{2}-\omega t_{1}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d7458c35b902fe98937594bbce5b0bfc09f9fe1)
![{\displaystyle [p(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar m\omega \sin \left(\omega t_{2}-\omega t_{1}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8185355a249733ab6913858ba55f65c9e1cb118b)
![{\displaystyle [x(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar \cos \left(\omega t_{2}-\omega t_{1}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/516d9dddbc23302851cb7ab93ca32d82059838e5)
