チャンドラセカール位置エネルギーテンソル

天体物理学において、チャンドラセカール位置エネルギーテンソルは、物体全体の物質の分布によって生み出される自身の重力による物体の重力ポテンシャルを提供し、インド系アメリカ人の 天体物理学者 スブラマニアン・チャンドラセカールにちなんで名付けられました。^{[1] [2] [3]}チャンドラセカールテンソルは位置エネルギーの一般化であり、言い換えれば、チャンドラセカールテンソルのトレースは物体の位置エネルギーを提供します。

チャンドラセカールのポテンシャルエネルギーテンソルは次のように定義される。

${\displaystyle W_{ij}=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi _{ij}d\mathbf {x} =\int _{V}\rho x_{ i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}d\mathbf {x} }$

どこ

${\displaystyle \Phi _{ij}(\mathbf {x} )=G\int _{V}\rho (\mathbf {x'} ){\frac {(x_{i}-x_{i}') (x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}d\mathbf {x'} ,\quad \Rightarrow \quad \Phi _{ii}=\Phi =G\int _{V}{\frac {\rho (\mathbf {x'} )}{|\mathbf {x} -\mathbf { x'} |}}d\mathbf {x'} }$

どこ

• ${\displaystyle G}$重力定数である
• ${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )}$ニュートンの万有引力の法則による自己重力ポテンシャルである
• ${\displaystyle \Phi_{ij}}$の一般化版である${\displaystyle \Phi}$
• ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$物質の密度分布は
• ${\displaystyle V}$体の体積です

定義から、 が対称テンソルであることは明らかです。チャンドラセカールテンソルのトレースは、位置エネルギーに他なりません。 ${\displaystyle W_{ij}}$${\displaystyle W_{ij}}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle W=W_{ii}=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi d\mathbf {x} =\int _{V}\rho x_{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}d\mathbf {x} }$

したがってチャンドラセカールテンソルはポテンシャルエネルギーの一般化として見ることができる。^[4]

密度を持つ体積の問題を考えてみましょう。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{ij}&=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi _{ij}d\mathbf {x} \\&= -{\frac {1}{2}}G\int _{V}\int _{V}\rho (\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x'} ){\frac {(x_{i}-x_{i}')(x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}} }d\mathbf {x'} d\mathbf {x} \\&=-G\int _{V}\int _{V}\rho (\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x'} ){\frac {x_{i}(x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}d\mathbf {x} d\mathbf {x'} \\&=G\int _{V}d\mathbf {x} \rho (\mathbf {x} )x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\int _{V}d\mathbf {x'} {\frac {\rho (\mathbf {x'} )}{|\mathbf {x} -\mathbf {x '} |}}\\&=\int _{V}\rho x_{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}d\mathbf {x} \end{aligned}}}$

スカラーポテンシャルは次のように定義される。

${\displaystyle \chi (\mathbf {x} )=-G\int _{V}\rho (\mathbf {x'} )|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |d\mathbf {x '} }$

チャンドラセカール^[5]は次のように証明している。

${\displaystyle W_{ij}=\delta _{ij}W+{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}$

を設定するとが得られ、再びラプラシアンを取るとが得られます。 ${\displaystyle i=j}$${\displaystyle \nabla^{2}\chi =-2W}$${\displaystyle \nabla ^{4}\chi =8\pi G\rho }$

• ビリアル定理
• チャンドラセカールのビリアル方程式