平均粒子間距離

平均粒子間距離（または平均粒子間分離）は、巨視的物体内の 微視的粒子（通常は原子または分子）間の平均距離です。

非常に一般的な考察から、平均粒子間距離は粒子当たりの体積の大きさに比例する、すなわち、 ${\displaystyle 1/n}$

${\displaystyle \langle r\rangle \sim 1/n^{1/3},}$

ここで、は粒子密度である。しかし、理想気体モデルのようないくつかの単純なケースを除いて、比例係数の正確な計算は解析的に不可能である。そのため、近似式がよく使用される。そのような推定値の1つは、ウィグナー・ザイツ半径である。${\displaystyle n=N/V}$

${\displaystyle \left({\frac {3}{4\pi n}}\right)^{1/3},}$

これは粒子当たりの体積を持つ球の半径に相当する。もう一つの一般的な定義は ${\displaystyle 1/n}$

${\displaystyle 1/n^{1/3}}$、

は、粒子当たりの体積が である立方体の辺の長さに相当します。この 2 つの定義はおよそ 倍異なるため、論文でこのパラメータが正確に定義されていない場合は注意が必要です。一方、このパラメータは、そのような数値要素が無関係であるか、重要でない役割を果たす定性的な記述でよく使用されます。例: ${\displaystyle 1/n}$${\displaystyle 1.61}$

• 「位置エネルギーは、粒子間距離 r の n 乗に比例する」（ビリアル定理）
• 「粒子間の距離は熱ド・ブロイ波長よりもはるかに大きい」（運動論）

最近接（NN）粒子までの距離の確率分布関数を計算します。（この問題は、ポール・ヘルツによって初めて検討されました。 ^[1]現代的な導出については、例えば、^{[2] を}参照してください。）体積 の球体内に粒子があると仮定します。理想気体内の粒子は相互作用しないため、ある粒子から特定の距離にある粒子が見つかる確率は、他の任意の点から同じ距離にある粒子が見つかる確率と同じであることに注意してください。ここでは、球の中心を使用します。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n=N/V}$

ある距離にある NN 粒子とは、粒子のうちの 1 つだけがその距離にあり、残りの 粒子はそれより遠い距離、つまり半径 の球の外側のどこかにあることを意味します。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N-1}$${\displaystyle r}$

原点からの距離がとの間の粒子を見つける確率は であり 、さらにどの粒子を選択するかは 種類あり、一方その球の外側に粒子を見つける確率は である。求められている式は ${\displaystyle r}$${\displaystyle r+dr}$${\displaystyle (4\pi r^{2}/V)dr}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 1-4\pi r^{3}/3V}$

${\displaystyle P_{N}(r)dr=4\pi r^{2}dr{\frac {N}{V}}\left(1-{\frac {4\pi }{3}}r^{3}/V\right)^{N-1}={\frac {3}{a}}\left({\frac {r}{a}}\right)^{2}dr\left(1-\left({\frac {r}{a}}\right)^{3}{\frac {1}{N}}\right)^{N-1}\,}$

ここで代用した

${\displaystyle {\frac {1}{V}}={\frac {3}{4\pi Na^{3}}}.}$

はウィグナー・ザイツ半径であることに注意してください。最後に、極限を取り、 を使用すると、次式が得られます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle N\rightarrow \infty }$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}$

${\displaystyle P(r)={\frac {3}{a}}\left({\frac {r}{a}}\right)^{2}e^{-(r/a)^{3}}\,.}$

すぐに確認できるのは

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }P(r)dr=1\,.}$

分布のピークは

${\displaystyle r_{\text{peak}}=\left(2/3\right)^{1/3}a\approx 0.874a\,.}$

${\displaystyle \langle r^{k}\rangle =\int _{0}^{\infty }P(r)r^{k}dr=3a^{k}\int _{0}^{\infty }x^{k+2}e^{-x^{3}}dx\,,}$

または、置換を使用して、 ${\displaystyle t=x^{3}}$

${\displaystyle \langle r^{k}\rangle =a^{k}\int _{0}^{\infty }t^{k/3}e^{-t}dt=a^{k}\Gamma (1+{\frac {k}{3}})\,,}$

ここで はガンマ関数です。したがって、 ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \langle r^{k}\rangle =a^{k}\Gamma (1+{\frac {k}{3}})\,.}$

特に、

${\displaystyle \langle r\rangle =a\Gamma ({\frac {4}{3}})={\frac {a}{3}}\Gamma ({\frac {1}{3}})\approx 0.893a\,.}$

• ウィグナー・ザイツ半径