基礎（線形代数）

数学において、ベクトル空間 $V$ の要素の集合 $B は、$ $V$ のすべての要素が $B$ の要素の有限線形結合として一意的に表せる場合、基底(複数形: bases )と呼ばれます。この線形結合の係数は、 $B$ に関するベクトルの成分または座標と呼ばれます。基底の要素は、基底ベクトル。

言い換えれば、集合 B の要素が線形独立であり、集合 $V$ のすべての要素が $B$ の要素の線形結合である場合、集合 $B$ は基底である。言い換えれば、基底とは線形独立な生成集合のことである。

ベクトル空間は複数の基底を持つことができますが、すべての基底は同じ数の要素を持ち、その数をベクトル空間の次元と呼びます。

本稿では主に有限次元ベクトル空間を扱うが、その原理の多くは無限次元ベクトル空間にも適用可能である。

基底ベクトルは、結晶構造や参照系の研究に応用されています。

意味

体 $F$ 上のベクトル空間 $V$ の基底 $B$ (実数体など) $\mathbb {R}$ または複素数 $\mathbb {C}$ $) はV$ を張るV $の$ 線形独立な部分集合です。これは、 $V$ の部分集合 $B が$ 次の 2 つの条件を満たす場合に基底であることを意味します。^[¹^]

線形独立性:すべての有限部分集合に対して $\{\mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{m}\}$ $B$ の場合、 $\displaystyle c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{m}\mathbf {v} _{m}=\mathbf {0} }$ 一部の人にとって $c_{1},\dotsc ,c_{m}$ $F$ では、 $c_{1}=\cdots =c_{m}=0$ ; および^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}
スパンニング特性: すべてのベクトルについて $\mathbf {v}$ で $V$ 選択できる $a_{1},\dotsc ,a_{n}$ で $F$ そして $\mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{n}$ で $B$ そのため $\mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}$ 。言い換えると、 $\mathbb {v}$ いくつかのベクトルの線形結合として表すことができる $B$ [ ¹^]

最初の性質は、次のように言い換えることもできます。B 内のベクトルの線形結合がゼロベクトルに等しい場合 $、$ その結合のすべてのスカラー係数はゼロでなければなりません。

$Bが$ $V$ の基底である場合、すべてのベクトルは $\mathbf {v}$ $V$ 内のベクトルは、 $B$ 内のベクトルの線形結合として表すことができます(生成性質による)。線形独立性から、これはただ 1 つの方法でしか行えないことがわかります。したがって、スカラー係数は $a_{i}$ この組み合わせに現れるものは一意に決定され、それらは座標と呼ばれます。 $\mathbf {v}$ 基礎に関して $B$ 。

有限基底を持つベクトル空間は有限次元ベクトル空間と呼ばれる。この場合、有限部分集合は次のように表すことができる。 $B$ 上記の定義における線形独立性を確認するために、それ自体を使用します。^{[ 1 ]}

基底ベクトルに順序付けがあると便利な場合や、例えば向きについて議論する場合、あるいは基底要素を明示的に参照せずに基底に関するベクトルのスカラー係数を考える場合などには、順序付けが必要になることがよくあります。この場合、各係数を対応する基底要素に関連付けるために順序付けが必要になります。この順序付けは、基底要素に番号を付けることで行うことができます。順序が選択されたことを強調するために、「順序付き基底」という言葉が使われます。これは単なる構造のない集合ではなく、数列、インデックス付き族などです。詳しくは、下記の「順序付き基底と座標」の項を参照してください。

例

セット $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 実数の順序対の集合は、成分ごとの加算演算の下でベクトル空間となる。 $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ およびスカラー乗算 $\lambda (a,b)=(\lambda a,\lambda b),$ どこ $\lambda$ は任意の実数です。このベクトル空間の単純基底は、2つのベクトル $e 1 = (1, 0)$ と $e 2 = (0, 1)$ から構成されます。これらのベクトルは、任意のベクトル $v$ $= ($ $a$ $,$ $b$ $)$ がであるため、基底 (標準基底と呼ばれる) を形成します。 $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 次のように一意に記述される可能性があります $\mathbf {v} =a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}.$ 線形独立なベクトルのその他のペア $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ $(1, 1)$ や $(-1, 2)$ などの基底も形成する。 $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 。

より一般的には、 $F が$ 体である場合、集合は $F^{n}$ $F$ の要素の $n$ 組は、同様に定義された加算とスカラー乗算のためのベクトル空間である。 $\mathbf {e} _{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)$ $i$ 番目の要素を除いてすべての要素が0であるnタプルを $n$ タプルとする。i番目の要素は1である。 $\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}$ は基礎となる $F^{n},$ これは標準基準と呼ばれています $F^{n}.$

別の例として、多項式環が挙げられます。F $が$ 体である場合、係数が $F$ に含まれる不定元 $X$ のすべての多項式の集合 $F [X]は$ $F$ ベクトル空間です。この空間の基底の 1 つは、すべての単項式からなる単項式基底 $B$ です。 $B=\{1,X,X^{2},\ldots \}.$ 各次数にちょうど１つの多項式が存在するような多項式の集合（例えば、ベルンシュタイン基底多項式やチェビシェフ多項式など）も基底です。（このような多項式の集合は多項式列と呼ばれます。）しかし、 $F [X]$ の基底の中には、この形式ではないものも多数存在します。

物件

有限基底の多くの性質は、シュタイニッツ交換補題から導かれる。この補題は、任意のベクトル空間 $V$ に対して、有限の全域集合 $S$ と $Vの$ $n$ 個の要素からなる線形独立な集合 $L が与えられたとき、$ $Sの$ $n$ 個の適切に選択された要素を $L$ の要素で置き換えることで、 $L を$ 含み、他の要素が $Sに含まれ、$ $S$ と同じ数の要素を持つ全域集合を得ることができると述べている。

シュタイニッツ交換補題から導かれる性質のほとんどは、有限の全域集合が存在しない場合でも真であるが、無限の場合の証明には、一般的に選択公理または超フィルター補題のようなより弱い形式が必要となる。

$V$ が体 $F$ 上のベクトル空間である場合、次のことが成り立つ。

$L$ が生成集合 $S \subseteq V$ の線形独立な部分集合である場合、基底 $B$ が存在し、 $L\subseteq B\subseteq S.$
$V$ は基底を持つ (これは、 $Lが$ 空集合であり、 $S = V$ である前の性質である)。
$V$ のすべての基底は同じ濃度を持ち、これを $V$ の次元と呼びます。これが次元定理です。
生成集合 $Sが$ $V$ の基底であるのは、それが最小である場合、すなわち $S$ の真部分集合が $V$ の生成集合ではない場合に限る。
線形独立な集合 $L$ が基底であるのは、それが極大集合である場合、すなわち、いかなる線形独立な集合の真部分集合でもない場合に限る。

$Vが$ $n$ 次元のベクトル空間である場合、次のことが成り立つ。

$n$ 個の要素を持つ $V$ の部分集合が基底であるのは、それが線形独立である場合に限る。
$n$ 個の要素を持つ $V$ の部分集合が基底であるのは、それが $V$ の全域集合である場合に限る。

座標

$V$ を体 $F上の有限次元$ $n$ のベクトル空間とし、 $B=\{\mathbf {b} _{1},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\}$ $V$ の基底となる。基底の定義により、 $V$ のすべての $v は$ 一意的に次のように表すことができる。 $\mathbf {v} =\lambda _{1}\mathbf {b} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {b} _{n},$ ここで係数は $\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ これらはスカラー（つまり $Fの要素）であり、$ $B$ 上の $v$ の座標と呼ばれます。しかし、係数の集合について話す場合、係数と基底要素との対応関係が失われ、複数のベクトルが同じ係数の集合を持つ可能性があります。たとえば、 $3\mathbf {b} _{1}+2\mathbf {b} _{2}$ そして $2\mathbf {b} _{1}+3\mathbf {b} _{2}$ $は係数の集合{2, 3}$ が同じで、異なる。そのため、順序付き基底を扱うと便利な場合が多い。これは通常、基底要素を最初の自然数でインデックス付けすることによって行われる。すると、ベクトルの座標は同様にインデックス付けされたシーケンスを形成し、ベクトルは座標のシーケンスによって完全に特徴付けられる。順序付き基底は、特に原点と組み合わせて使用される場合、座標フレームまたは単にフレーム(たとえば、デカルトフレームまたはアフィンフレーム)とも呼ばれる。

いつものように、 $F^{n}$ $F$ の要素の $n$ 組の集合とする。この集合は $F$ ベクトル空間であり、加算とスカラー乗算は成分ごとに定義されている。 ${\displaystyle \varphi$ ベクトル空間からの線形同型写像である $F^{n}$ $V$ に。言い換えれば、 $F^{n}$ $はV$ の座標空間であり、 $n$ タプルは $\varphi ^{-1}(\mathbf {v} )$ $はv$ の座標ベクトルです。

反転画像 $\varphi$ の $\displaystyle \mathbf {b} _{i}}$ $n$ タプル $\mathbf {e} _{i}$ それらの構成要素はすべて0であり、 $i$ 番目の要素だけが1である。 $\mathbf {e} _{i}$ 順序付けられた基底を形成する $F^{n}$ これは標準基底または正準基底と呼ばれます。順序付き基底 $B$ は、によるイメージです。 $\varphi$ 正統的な基礎の $F^{n}$ 。

以上のことから、すべての順序付き基底は、標準基底の線形同型による像であることがわかる。 $F^{n}$ 、そして、からのすべての線形同型 $F^{n}$ $V$ への同型写像は、 $F^{n}$ $V$ の与えられた順序付き基底に。言い換えれば、 $V$ の順序付き基底を定義すること、または線形同型を定義することと同等です。 $F^{n}$ $V$ に。

基準の変更

$V を$ 体 $F$ $上のn$ 次元ベクトル空間とする。2つの (順序付き) 基底が与えられたとき、 $B_{\text{old}}=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$ そして $B_{\text{new}}=(\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n})$ $V$ の座標をに関して表現することはしばしば有用である $。$ $B_{\mathrm {old} }$ 座標に関して $B_{\mathrm {new} }.$ これは、以下に説明する基準変換式によって行うことができます。添え字「old」と「new」は、慣例として参照されるため選択されています。 $B_{\mathrm {old} }$ そして $B_{\mathrm {new} }$ それぞれ旧基底と新基底とします。旧座標を新座標で表すことは有用です。一般に、旧座標を含む式があり、新座標で同等の式を得たい場合、旧座標を新座標による式に置き換えることでそれが得られます。

通常、新しい基底ベクトルは古い基底上の座標によって与えられます。つまり、 $\mathbf {w} _{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}.$ もし $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ そして $(y_{1},\ldots ,y_{n})$ はそれぞれ旧基底と新基底におけるベクトル $x$ の座標であり、基底変換の公式は $x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},$ $i = 1, ..., n の$ 場合。

この式は行列表記で簡潔に記述できます。A $を$ 、 $a_{i,j}$ 、そして $X={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}\quad {\text{および}}\quad Y={\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}$ それぞれ旧基底と新基底における $v$ の座標の列ベクトルをとすると、座標変換の式は次のようになる。 $X=AY.$

この公式は、ベクトル $x$ を2 つの基底に分解することを考慮することで証明できます。 $\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {v} _{i},$ そして $\mathbf {x} =\sum _{j=1}^{n}y_{j}\mathbf {w} _{j}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}{\biggr )}\mathbf {v} _{i}.$

基底変換の公式は、基底上のベクトルの分解の一意性から導かれる。 $B_{\text{old}}$ つまり $x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},$ $i = 1, ..., n の$ 場合。

関連概念

無料モジュール

ベクトル空間の定義に現れる体を環に置き換えると、加群の定義が得られます。加群の場合、線形独立性と生成集合はベクトル空間の場合と全く同じように定義されますが、「生成集合」という用語の方が「生成集合」という用語よりも一般的に用いられます。

ベクトル空間と同様に、加群の基底は線形独立な部分集合であり、かつ生成集合でもある。ベクトル空間の理論との大きな違いは、すべての加群が基底を持つわけではない点である。基底を持つ加群は自由加群と呼ばれる。自由加群は加群理論において重要な役割を果たし、自由分解によって非自由加群の構造を記述するために用いられることがある。

整数環上の加群は、アーベル群と全く同じものです。したがって、整数環上の自由加群もまた自由アーベル群です。自由アーベル群は、他の環上の加群にはない特定の性質を持っています。具体的には、自由アーベル群のすべての部分群は自由アーベル群であり、 $G が$ 有限生成自由アーベル群 $H$ (つまり、有限基底を持つアーベル群) の部分群である場合、基底が存在します。 $\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}$ Hと整数 $0 \leq$ $k$ $\leq$ $n$ が存在し $、$ $a_{1}\mathbf {e} _{1},\ldots ,a_{k}\mathbf {e} _{k}$ は、いくつかの非ゼロ整数に対する $G$ の基底である。 $a_{1},\ldots ,a_{k}$ 詳細については、「自由アーベル群 § 部分群」を参照してください。

分析

実数または複素数上の無限次元ベクトル空間の文脈では、この用語はハメル基底（ゲオルク・ハメル^{[ 3 ]}にちなんで命名）または代数基底は、本稿で定義される基底を指すために使用できます。これは、無限次元ベクトル空間に付加的な構造が与えられた場合に存在する他の「基底」の概念と区別するためです。最も重要な代替案は、ヒルベルト空間上の直交基底、シャウダー基底、およびノルム線形空間上のマルクシェヴィッチ基底。実数の場合 $\mathbb {R}$ 場上のベクトル空間として見た場合 $\mathbb {Q}$ 有理数の場合、ハーメル基底は非可算であり、具体的には連続体の濃度、すなわち基数を持つ。 $2^{\aleph _{0}}$ 、どこ $\displaystyle \aleph _{0}}$ （アレフ・ノート）は最小の無限基数であり、整数の基数です。

他の概念に共通する特徴は、基底ベクトルの無限線形結合によって空間を生成できる点である。もちろん、そのためには、位相ベクトル空間（ヒルベルト空間、バナッハ空間、フレシェ空間などを含む、ベクトル空間の大きなクラス）の場合と同様に、これらの空間上で無限和が意味のある形で定義されている必要がある。

無限次元空間において他のタイプの基底が好まれる理由は、バナッハ空間ではハーメル基底が「大きくなりすぎる」という事実によって正当化されます。X が完備な無限次元ノルムベクトル空間（すなわち、X がバナッハ空間）である場合、Xの任意のハーメル基底は必然的に非可算です。これはベールのカテゴリー定理の結果です。完備性と無限次元は、前述の主張における重要な仮定です。実際、有限次元空間は定義により有限基底を持ち、可算ハーメル基底を持つ無限次元（非完備）ノルム空間が存在します。 $c_{00}$ 数列の空間 $x=(x_{n})$ 有限個の非ゼロ要素しか持たない実数のノルム ${\textstyle \|x\|=\sup _{n}|x_{n}|}$ その標準基底は、 1 に等しい非ゼロ要素を 1 つだけ持つ数列から成り、可算ハメル基底である。

例

フーリエ級数の研究では、関数 ${1} \cup { sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, ... }が、区間 [0, 2π] 上で二乗可積分なすべての (実数値または複素数値) 関数 (すなわち、次の条件を満たす関数$ f ) の (実数値または複素数値) ベクトル空間の「直交基底」であることがわかっています。 $\int _{0}^{2\pi }\left|f(x)\right|^{2}\,dx<\infty .$

関数 ${1} \cup { sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, ... }$ は線形独立であり、[0, 2π] 上で二乗可積分なすべての関数fは、次の意味でそれらの「無限線形結合」である。 $\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{2\pi }{\biggl |}a_{0}+\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}\cos \left(kx\right)+b_{k}\sin \left(kx\right)\right)-f(x){\biggr |}^{2}dx=0$

適切な（実数または複素数の）係数a _k、b _kに対して。しかし、多くの^{[ 4 ]}二乗可積分関数は、これらの基底関数の有限線形結合として表現できないため、ハーメル基底を構成しません。この空間のすべてのハーメル基底は、単に可算無限個の関数の集合よりもはるかに大きくなります。この種の空間のハーメル基底は通常役に立ちませんが、これらの空間の正規直交基底はフーリエ解析で不可欠です。

幾何学

アフィン空間、射影空間、凸集合、円錐の幾何学的概念は、基底。^{[ 5 ]} n次元アフィン空間のアフィン基底は $n+1$ 点が一般的に直線上の位置にある。射影基底は $n+2$ n次元射影空間における一般位置にある点。多面体の凸基底とは、その凸包の頂点の集合のことである。円錐基底^{[ 6 ]}は、多角錐の1辺の1点から構成される。ヒルベルト基底（線形計画法）。

ランダムベース

確率分布の場合 $\mathbb {R} ^{n}$ ルベーグ測度に関するn次元球内の等分布などの確率密度関数を用いると、ランダムに独立に選択された $n個のベクトルが$ 確率 1 で基底を形成することが示せる。これは、 $R$ $n$ 内の $n$ 個の線形従属ベクトル $x$ $1$ , ..., $x$ $n が$ 方程式 $det[$ $x$ $1$ $\dots$ $x$ $n$ $] = 0 (列$ $x$ $i$ を持つ行列のゼロ行列式) を満たす必要があり、非自明な多項式の零点の集合の測度がゼロであることによる。この観察から、ランダム基底を近似する手法が生まれた。^[⁷^]^[⁸^]

高次元では、2つの独立なランダムベクトルは高い確率でほぼ直交し、与えられた高い確率でペアごとにほぼ直交する独立なランダムベクトルの数は、次元とともに指数関数的に増加します。より正確には、n次元球における等分布を考えます。球からN個の独立なランダムベクトルを選択します（それらは独立かつ同一の分布に従います）。θを小さな正の数とします。すると、

$N個のランダムベクトルはすべて、確率$ $1 - θ$ でペアワイズ ε-直交します。^{[ 8 ]}この $N は$ 次元 $n$ で指数関数的に増加し、 $N\gg n$ $n$ が十分に大きい場合。ランダム基底のこの性質は、いわゆる測度集中現象の現れである。^{[ 9 ]}

図（右）は、n 次元立方体 [−1, 1] n から独立にランダムにサンプリングされた、ほぼ直交するベクトルのペアワイズチェーンの長さ N の分布を、次元 n の関数として示しています。まず $、立方体$ 内で点がランダムに選択されます。次に、同じ立方体内で 2 番目の点がランダムに選択されます。ベクトル間の角度が $π/2 \pm 0.037π/2$ の範囲内であれば、そのベクトルは保持されます。次のステップでは、同じ超立方体内で新しいベクトルが生成され、以前に生成されたベクトルとの角度が評価されます。これらの角度が $π/2 \pm 0.037π/2 の$ 範囲内であれば、そのベクトルは保持されます。ほぼ直交するチェーンが途切れるまでこのプロセスが繰り返され、そのようなほぼ直交するペアワイズベクトルの数（チェーンの長さ）が記録されます。各nについて、各次元ごとに 20 個のほぼ直交するペアワイズチェーンが数値的に構築されました。これらのチェーンの長さの分布が示されています。

すべてのベクトル空間には基底が存在することの証明

$V を$ ある体 $F$ 上の任意のベクトル空間とする。X $を$ $V$ のすべての線形独立な部分集合の集合とする。

集合 $X は$ 、空集合が $V$ の独立部分集合であるため空集合ではなく、包含関係によって部分的に順序付けられており、これは通常どおり $\subseteq$ で表されます。

$Y を$ $、 \subseteq$ によって全順序付けられている $X$ の部分集合とし、L $Y$ $を$ $Y$ のすべての要素の和集合とする(これらの要素は、それ自体が $V$ の特定の部分集合である)。

$(Y, \subseteq)$ は全順序集合であるため、 $L Y$ $のすべての有限部分集合はY$ の要素の部分集合であり、Y は $V$ の線形独立な部分集合であるため、 $L Y$ は線形独立です。したがって、 $L Y$ $はX$ の要素です。したがって、 $L Y$ $は($ $X$ $, \subseteq)$ における $Y$ の上界です。つまり、 $Y$ のすべての要素を含む $X$ の要素です。

$X$ は空集合ではなく、 $(X, \subseteq)のすべての全順序部分集合は$ $X$ 内に上限を持つため、ツォルンの補題は $X が$ 極大要素を持つことを主張します。言い換えれば、X のある要素 $L$ に対して $L$ max $\subseteq$ $L$ $で$ あるとき、 $L = L$ $max$ という条件を満たす $X$ のある要素 $L$ $max$ が存在します。

$L max が$ $V$ の基底であることを証明する必要がある。L $max は$ $X$ に属するので、 $L$ $max$ $が$ $V$ の線形独立な部分集合であることは既にわかっている。

$V$ のベクトル $w$ $がL$ $max$ のスパンに含まれない場合、 $w は$ $L max の要素にもなりません。L w$ $=$ $L$ max ∪ { w } とします $。$ $この$ $集合$ $は$ $X$ $の$ 要素 $、$ つまり $V$ の線形独立な部分集合です( w は $L$ $max$ のスパンに含まれておらず、 $L$ $max$ は独立であるため)。L max ⊆ L w であり $、$ $L$ $max$ $\neq$ L $w$ $($ $L$ $w$ には L max に含まれないベクトル w が含まれているため $)$ $なので$ $、$ $これ$ はL $max$ $の$ $最大$ 性に矛盾します。したがって、これは $L$ $max$ $がV$ を張ることを示しています。

したがって、 $L max$ は線形独立であり、 $Vを張る。つまり、L max は$ $V$ の基底であり、これはすべてのベクトル空間が基底を持つことを証明する。

この証明は、選択公理と同値であるツォルンの補題に基づいている。逆に、すべてのベクトル空間が基底を持つならば、選択公理が真であることが証明されている。^{[ 10 ]}したがって、2つの主張は同値である。

注記

1 2 3 4 Brown, William A. (1991).行列とベクトル空間. ニューヨーク: M. Dekker. pp. 99–103 . ISBN 978-0-8247-8419-5。シンボル $L$ この資料では、線形スパンを意味します。94ページを参照してください。
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参考文献

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外部リンク

カーンアカデミーの教育ビデオ
- 部分空間の基底入門
- 任意の部分空間基底が同じ数の要素を持つことの証明
「線形結合、スパン、および基底ベクトル」。線形代数の本質。2016年8月6日。2021年11月17日にオリジナルからアーカイブ済み– YouTube経由。
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[3] ハメル 1905

[4] 2 つの集合 (有限個の基底関数で表現できる関数と表現できない関数) の濃度が同じであるため、「ほとんど」と言うことはできないことに注意してください。

[5] リース、エルマー・G. (2005).幾何学に関するノート. ベルリン: シュプリンガー. p. 7. ISBN 978-3-540-12053-7。

[6] クチュマ、マレク (1970)。「錐体の加法関数に関するいくつかのコメント」。数学の方程式。4 (3): 303–306。土井: 10.1007/BF01844160。S2CID 189836213。

[7] Igelnik, B.; Pao, Y.-H. (1995). "適応関数近似と機能リンクネットにおける基底関数の確率的選択". IEEE Trans. Neural Netw . 6 (6): 1320–1329 . doi : 10.1109/72.471375 . PMID 18263425 .

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[9] Artstein, Shiri (2002). "球の比例集中現象" (PDF) . Israel Journal of Mathematics . 132 (1): 337– 358. CiteSeerX 10.1.1.417.2375 . doi : 10.1007/BF02784520 . S2CID 8095719 .

[10] ブラス 1984

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