マルクシェビッチ基底

関数解析において、マルクシェビッチ基底（M基底^[1]と呼ばれることもある）は、完全かつ全体的である双直交系である。^[2]

をバナッハ空間とします 。の双直交系は 、が の点を分離する場合、マルクーシェビッチ基底です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x_{\alpha};f_{\alpha}\}_{x\in \alpha}}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle {\overline {\text{span}}}\{x_{\alpha }\}=X}$$$${\displaystyle \{f_{\alpha }\}_{x\in \alpha }}$$ ${\displaystyle X}$

可分空間では、双直交性はマルクーシェビッチ基底に対する実質的な障害にはならない。つまり、任意の全域集合と分離関数は双直交にすることができる。しかし、すべての可分バナッハ空間がすべてのに対して となるマルクーシェビッチ基底を許容するかどうかは未解決の問題である。^[3]${\displaystyle \|x_{\alpha }\|=\|f_{\alpha }\|=1}$${\displaystyle \alpha}$

バナッハ空間のすべてのシャウダー基底はマルクシェビッチ基底でもあるが、その逆は一般には成り立たない。シャウダー基底ではないマルクシェビッチ基底の例としては、上限ノルムの下で、境界上で等しい値を持つ複素数からへの連続関数の部分空間における列がある。フーリエ係数の計算は連続であり、 のスパンは に稠密である。したがって、任意の に対して、列 が存在する。しかしの場合、 を固定すると、係数は必ず収束するが、収束しない関数も存在する。^{[3] [4]}$${\displaystyle \{e^{2i\pi nt}\}_{n\in \mathbb {Z} }\quad \quad \quad ({\text{ordered }}n=0,\pm 1,\pm 2,\dots )}$$${\displaystyle {\tilde {C}}[0,1]}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle {\tilde {C}}[0,1]}$${\displaystyle f\in {\tilde {C}}[0,1]}$$${\displaystyle \sum _{|n|<N}{\alpha _{N,n}e^{2\pi int}}\to f{\text{.}}}$$${\displaystyle f=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\alpha _{n}e^{2\pi nit}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{\alpha _{N,n}\}_{N}}$

数列空間は グロタンディークかつ非反射的であるため、マルクーシェビッチ基底を許容しない。しかし、任意の可分空間（ など）は、マルクーシェビッチ基底を許容する空間において双対（それぞれ）補完を持つ。^[3]${\displaystyle l^{\infty}}$${\displaystyle l^{1}}$${\displaystyle l^{\infty}}$