標準的根拠

数学において、正準基底とは、正確な文脈に依存する意味で正準である 代数構造の基底のことである。

• 座標空間、より一般的には自由モジュールでは、クロネッカーのデルタによって定義される標準基底を指します。
• 多項式環においては、単項式、 によって与えられる標準基底を指します。${\displaystyle (X^{i})_{i}}$
• 有限拡大体の場合、多項式基底を意味します。
• 線型代数学では、 n × n行列のn個の線形独立な一般化固有ベクトルの集合が、すべてジョルダン連鎖で構成されている場合を指す。^[1]${\displaystyle A}$
• 表現論では、ルスティグによって導入された量子群の基礎を指します。

型の量子化包絡代数の既約表現とその代数の正部に対する標準基底は、Lusztig ^[2]によって 2 つの方法で導入されました。1 つは代数的方法 (編組群の作用と PBW 基底を使用)、もう 1 つは位相的方法 (交差コホモロジーを使用) です。パラメータを に特殊化すると、対応する単純リー代数の既約表現の標準基底が得られますが、これは以前は知られていませんでした。パラメータを に特殊化すると、基底の影のようなものが得られます。既約表現の場合のこの影 (基底そのものではありません) は、Kashiwara ^{[3]によって独立に検討されました。これは}結晶基底と呼ばれることもあります。標準基底の定義は、Kashiwara ^[4] (代数的方法) と Lusztig ^[5] (位相的方法) によって Kac-Moody 設定に拡張されました。 ${\displaystyle ADE}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q=1}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q=0}$

これらの基盤の根底には、次のような一般的な概念があります。

2 つの部分環と、によって定義される自己同型を持つ積分ローラン多項式 環を考えます。 ${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\mathbb {Z} \left[v,v^{-1}\right]}$${\displaystyle {\mathcal {Z}}^{\pm }:=\mathbb {Z} \left[v^{\pm 1}\right]}$${\displaystyle {\overline {\cdot }}}$${\displaystyle {\overline {v}}:=v^{-1}}$

自由加群上のプレカノニカル構造は、 ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$${\displaystyle F}$

• の標準的な基礎、${\displaystyle (t_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle F}$
• 上の区間有限半順序、すなわち はすべての に対して有限であり、${\displaystyle I}$${\displaystyle (-\infty ,i]:=\{j\in I\mid j\leq i\}}$${\displaystyle i\in I}$
• 双対化演算、つまり、半線形である2 次全単射は、とも表記されます。${\displaystyle F\to F}$${\displaystyle {\overline {\cdot }}}$${\displaystyle {\overline {\cdot }}}$

プレカノニカル構造が与えられている場合、のサブモジュールを定義できます。 ${\displaystyle {\mathcal {Z}}^{\pm }}$${\textstyle F^{\pm }:=\sum {\mathcal {Z}}^{\pm }t_{j}}$${\displaystyle F}$

プレカノニカル構造のカノニカル基底は、次を満たすの-基底です。${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$${\displaystyle (c_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle F}$

• ${\displaystyle {\overline {c_{i}}}=c_{i}}$そして
• ${\displaystyle c_{i}\in \sum _{j\leq i}{\mathcal {Z}}^{+}t_{j}{\text{ および }}c_{i}\equiv t_{i}\mod vF^{+}}$

すべてに対して。 ${\displaystyle i\in I}$

それぞれの前正準構造に対して、最大で1つの正準基底が存在することが示せます。^[6]存在するための十分な条件は、によって定義される多項式がおよびを満たすことです。 ${\displaystyle r_{ij}\in {\mathcal {Z}}}$${\textstyle {\overline {t_{j}}}=\sum _{i}r_{ij}t_{i}}$${\displaystyle r_{ii}=1}$${\displaystyle r_{ij}\neq 0\implies i\leq j}$

標準基底は からへの同型性を誘導します。 ${\displaystyle \textstyle F^{+}\cap {\overline {F^{+}}}=\sum _{i}\mathbb {Z} c_{i}}$${\displaystyle F^{+}/vF^{+}}$

をコクセター群とする。対応する岩堀-ヘッケ代数は標準基底 を持ち、群は区間有限であるブルハット順序で部分的に順序付けられ、 によって定義される双対化演算を持つ。これは、上記の十分条件を満たす 上のプレカノニカル構造であり、 の対応するカノニカル基底はカズダン-ルスティグ基底である。 ${\displaystyle (W,S)}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle (T_{w})_{w\in W}}$${\displaystyle {\overline {T_{w}}}:=T_{w^{-1}}^{-1}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle C_{w}'=\sum _{y\leq w}P_{y,w}(v^{2})T_{w}}$

はカジダン・ルスティヒ多項式です。 ${\displaystyle P_{y,w}}$

n × n 行列 が与えられ、 に似たジョルダン正規形の行列 を求める場合、線形独立な一般化固有ベクトルの集合のみに関心があります。ジョルダン正規形の行列は「ほぼ対角行列」、つまり可能な限り対角に近い行列です。対角行列は、ジョルダン正規形の行列の特殊なケースです。通常の固有ベクトルは、一般化固有ベクトルの特殊なケースです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle J}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$

すべてのn × n行列は、 n 個の線形独立な一般化固有ベクトルを持ちます。異なる固有値に対応する一般化固有ベクトルは線形独立です。が代数的重複度のの固有値である場合、 はに対応する線形独立な一般化固有ベクトルを持ちます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$

任意のn × n行列に対して、 n個の線形独立な一般化固有ベクトルを選択する方法は無限にあります。これらのベクトルを特に賢明に選択すると、これらのベクトルを使用して、 がジョルダン標準形の行列に類似していることを示すことができます。特に、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

定義: n個の線形独立な一般化固有ベクトル の集合は、すべてジョルダン連鎖で構成されている場合、 標準基底です。

したがって、階数 mの一般化固有ベクトルが標準基底にあると判断すると、ジョルダン連鎖によって生成されるm −1ベクトルも標準基底にあることがわかります。^[7]${\displaystyle \mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$

を代数的重複度の の固有値とします。まず、行列 の階数（行列の階数）を求めます。整数 は、が階数を持つ最初の整数として決定されます（nは の行数または列数、つまりn × nです）。 ${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu _{i}}$${\displaystyle (A-\lambda _{i}I),(A-\lambda _{i}I)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$${\displaystyle n-\mu _{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

定義する

${\displaystyle \rho _{k}=\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k-1}-\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i}).}$

変数は、 の標準基底に現れる固有値に対応する、ランクkの線形独立な一般化固有ベクトルの数を指定します(一般化固有ベクトルのランク。一般化固有ベクトルを参照) 。 ${\displaystyle \rho _{k}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{0}=\operatorname {rank} (I)=n.}$

標準基底が持つ各階数の一般化固有ベクトルの数を決定したら、ベクトルを明示的に得ることができます（一般化固有ベクトルを参照）。^[8]

この例は、2つのジョルダン連鎖を持つ標準基底を示しています。残念ながら、低次の興味深い例を構築するのは少し難しいです。^[9 ]

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}4&1&1&0&0&-1\\0&4&2&0&0&1\\0&0&4&1&0&0\\0&0&0&5&1&0\\0&0&0&0&5&2\\0&0&0&0&0&4\end{pmatrix}}}$

には、代数的重複度とを伴う固有値とがありますが、幾何的重複度は、およびです。 ${\displaystyle \lambda _{1}=4}$${\displaystyle \lambda _{2}=5}$${\displaystyle \mu _{1}=4}$${\displaystyle \mu _{2}=2}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=1}$${\displaystyle \gamma _{2}=1}$

なぜなら私たちは${\displaystyle \lambda _{1}=4,}$${\displaystyle n-\mu _{1}=6-4=2,}$

${\displaystyle (A-4I)}$ランク5です。

${\displaystyle (A-4I)^{2}}$ランク4です。

${\displaystyle (A-4I)^{3}}$ランク3です。

${\displaystyle (A-4I)^{4}}$ランク2です。

したがって${\displaystyle m_{1}=4.}$

${\displaystyle \rho _{4}=\operatorname {rank} (A-4I)^{3}-\operatorname {rank} (A-4I)^{4}=3-2=1,}$

${\displaystyle \rho _{3}=\operatorname {rank} (A-4I)^{2}-\operatorname {rank} (A-4I)^{3}=4-3=1,}$

${\displaystyle \rho _{2}=\operatorname {rank} (A-4I)^{1}-\operatorname {rank} (A-4I)^{2}=5-4=1,}$

${\displaystyle \rho _{1}=\operatorname {rank} (A-4I)^{0}-\operatorname {rank} (A-4I)^{1}=6-5=1.}$

したがって、の標準基底は、階数 4、3、2、1 のそれぞれ 1 つの一般化固有ベクトル に対応するものを持ちます。${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda _{1}=4,}$

なぜなら私たちは${\displaystyle \lambda _{2}=5,}$${\displaystyle n-\mu _{2}=6-2=4,}$

${\displaystyle (A-5I)}$ランク5です。

${\displaystyle (A-5I)^{2}}$ランク4です。

したがって${\displaystyle m_{2}=2.}$

${\displaystyle \rho _{2}=\operatorname {rank} (A-5I)^{1}-\operatorname {rank} (A-5I)^{2}=5-4=1,}$

${\displaystyle \rho _{1}=\operatorname {rank} (A-5I)^{0}-\operatorname {rank} (A-5I)^{1}=6-5=1.}$

したがって、の標準基底は、階数 2 と 1 のそれぞれ 1 つの一般化固有ベクトル に対応します。${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda _{2}=5,}$

の標準的な根拠は ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{4},\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}-4\\0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-27\\-4\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}25\\-25\\-2\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\36\\-12\\-2\\2\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\2\\1\\1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-8\\-4\\-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\right\}.}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$は に関連付けられた通常の固有ベクトルです。 およびは に関連付けられた一般化固有ベクトルです。 は に関連付けられた通常の固有ベクトルです 。 は に関連付けられた一般化固有ベクトルです。 ${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{4}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \mathbf {y} _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \mathbf {y} _{2}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$

ジョルダン正規形の行列は次のようにして得られます。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}&\mathbf {x} _{4}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-4&-27&25&0&3&-8\\0&-4&-25&36&2&-4\\0&0&-2&-12&1&-1\\0&0&0&-2&1&0\\0&0&0&2&0&1\\0&0&0&-1&0&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}4&1&0&0&0&0\\0&4&1&0&0&0\\0&0&4&1&0&0\\0&0&0&4&0&0\\0&0&0&0&5&1\\0&0&0&0&0&5\end{pmatrix}},}$

ここで行列はおよびの一般化モーダル行列である。^[10]${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AM=MJ}$

• 標準形
• 基準の変更
• 通常基準
• 正規形（曖昧さ回避）
• 多項式基底

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• 鄧 邦明、朱 潔、ブライアン パーシャル、王 建凡 (2008)、有限次元代数と量子群、数学サーベイおよびモノグラフ、第 150 巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会、ISBN 9780821875315
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