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科学の多くの分野において、ブラッグの法則（ウルフ・ブラッグ条件またはラウエ・ブラッグ干渉とも呼ばれる）は、大きな結晶格子からの波のコヒーレント散乱の角度を与えるラウエ回折の特殊なケースです。この法則は、格子面によって散乱された波面の重ね合わせが、波長と散乱角の間に厳密な関係をもたらすことを記述しています。この法則は当初X線に対して定式化されましたが、原子の数が多い場合は中性子波や電子波を含むあらゆる種類の物質波、および人工的な周期的な微細格子を持つ可視光にも適用されます。
ブラッグ回折（ X線回折のブラッグ定式化とも呼ばれる）は、結晶固体が（例えば液体で生成されるものとは対照的に）驚くべき反射X線パターンを生成することを発見した後、 1913年にローレンス・ブラッグとその父ウィリアム・ヘンリー・ブラッグによって初めて提案されました[ 1 ]。彼らは、これらの結晶が特定の波長と入射角で反射放射線の強いピークを生成することを発見しました。
ローレンス・ブラッグはこの結果を、結晶を定数パラメータdで隔てられた離散的な平行平面の集合としてモデル化することで説明しました。彼は、入射 X 線放射がさまざまな平面からの反射によって建設的に干渉する場合、ブラッグ ピークを生成すると提案しました。干渉は、異なる原子平面から反射された波の位相差が 2π の倍数である場合に建設的になります。この条件 (下記のブラッグ条件のセクションを参照) は、1912 年 11 月 11 日にローレンス・ブラッグによってケンブリッジ哲学協会に初めて提示されました。[ 2 ]ブラッグの法則は単純であるため、X 線回折データから結晶格子を決定するための強力な新しいツールを提供しました。ローレンス・ブラッグと彼の父ウィリアム・ヘンリー・ブラッグは、 NaCl、ZnS、ダイヤモンドから始まる結晶構造の解明に関する研究で、1915 年にノーベル物理学賞を受賞しました。[ 3 ]彼らは共同受賞した唯一の父子チームです。
ブラッグ回折の概念は中性子回折[ 4 ]にも等しく適用され、電子回折にもほぼ適用されます[ 5 ]。どちらの場合も波長は原子間距離（約 150 pm）に匹敵します。他の多くの種類の物質波も回折することが示されており[ 6 ] [ 7 ] 、オパールなどのより大きな秩序構造を持つ物体からの光も回折します[ 8 ]。
ブラッグ回折は、原子間隔に匹敵する波長λの放射線が結晶材料中の原子面によって鏡面反射（鏡のような反射）され、建設的干渉を起こすときに発生します。 [ 10 ]散乱波が特定の角度で入射すると、それらは同位相を保ち、建設的に干渉します。入射角θ（右図を参照。スネルの法則ではθは表面法線から測定されるという慣例とは異なることに注意）、波長λ、および結晶の「格子定数」dは、次の関係式で結び付けられています。[ 11 ] : 1026どこ回折次数（一次の 2次である、[ 10 ]： 221は 3 次である[ 11 ] : 1028 )。この方程式、ブラッグの法則は、建設的干渉のθの条件を記述する。[ 12 ]
散乱波の強度を角度の関数として表したマップを回折パターンと呼びます。散乱角がブラッグ条件を満たす場合、回折パターンにはブラッグピークと呼ばれる強い強度が現れます。これはより一般的なラウエ方程式の特殊なケースであり、追加の仮定を置くことでラウエ方程式がブラッグ条件に帰着することが示されます。[ 13 ]
ブラッグの原著論文では、彼は自身の手法を反射波に対するホイヘンスの構成法として説明している。 [ 14 ]： 46平面波（任意の種類）が格子点の平面に入射し、格子点の間隔が一定であると 仮定する。斜めに図に示すように、点Aと点Cは同一平面上にあり、点Bは下の平面上にある。点ABCC'は四角形を形成する。[ 15 ]：69
AC'に沿って反射される光線と、 ABに沿って透過し、その後BCに沿って反射される光線との間には経路差が生じます。この経路差は
2 つの別々の波は、同じ位相で (これらの格子面から無限に遠い) 点に到達し、したがって建設的干渉を起こします。ただし、この経路差が波長の任意の整数値に等しい場合に限ります。
どこそしてはそれぞれ整数であり、入射波の波長である。
したがって、幾何学から
これから次のことが導かれる
すべてをまとめると、
これは以下のように簡略化できますこれは、上に示したブラッグの法則です。
図に示すように、原子の2つの面だけが回折する場合、建設的干渉から破壊的干渉への遷移は角度の関数として徐々に起こり、ブラッグ角で緩やかな最大値をとります。しかし、実際のほとんどの物質では多くの原子面が関与しているため、鋭いピークが一般的です。[ 5 ] [ 13 ]
より一般的なラウエ方程式からの厳密な導出が利用可能です（ラウエ方程式のページを参照）。
ブラッグ条件は非常に大きな結晶に対して正しい。X線と中性子の散乱は比較的弱いため、多くの場合、100 nm 以上のサイズのかなり大きな結晶が使用される。結晶欠陥 による追加効果がある場合もあるが、これらは通常非常に小さい。対照的に、電子は固体と X 線よりも数千倍強く相互作用し、[ 5 ]エネルギーも失う（非弾性散乱）。[ 16 ]したがって、透過電子回折で使用されるサンプルははるかに薄い。例えば図に示すような典型的な回折パターンは、結晶から出る電子の異なる方向（平面波）のスポットを示している。ブラッグの法則が予測する角度は依然としてほぼ正しいが、一般に、電子ビームの方向に対して直角な逆格子の投影に近いスポットの格子が存在する。 （対照的に、ブラッグの法則では、同時に数十から数百個ではなく、せいぜい1つか2つしか存在しないと予測される。）電子エネルギーが通常30～1000電子ボルトである低エネルギー電子回折では、表面から反射された電子の場合と同様の結果が得られる。[ 17 ]また、反射高エネルギー電子回折も同様で、通常は回折スポットのリングが生じる。[ 18 ]
X線では、結晶が小さいことによる影響はシェラーの式で説明されます。[ 13 ] [ 19 ] [ 20 ]これによりブラッグピークが広がり、結晶のサイズを推定するために使用できます。
コロイド結晶は、数ミリメートルから1センチメートルの長さにわたって形成される、高度に秩序だった粒子配列です。コロイド結晶は、その外観と特性が原子または分子の対応物とほぼ類似しています。 [ 8 ]長年にわたり、クーロン反発相互作用により、水溶液中の帯電した高分子が長距離の結晶のような相関を示すことが知られており、粒子間の距離は個々の粒子の直径よりもかなり大きい場合が多いです。球状粒子の周期的な配列は、粒子間の空間である間隙を生じさせ、間隙間隔が入射光波と同じオーダーである場合、可視光波の自然な回折格子として機能します。[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]これらの場合、鮮やかな虹色（または色の戯れ）は、結晶固体におけるX 線の散乱に類似した方法で、ブラッグの法則に従って可視光波の回折と建設的干渉に起因する。面間隔d が真の結晶よりもはるかに大きいため、これらの効果は可視波長で発生する。プレシャスオパールは、光学効果を持つコロイド結晶の一例である。
体積ブラッグ格子（VBG）または体積ホログラフィック格子（VHG）は、屈折率が周期的に変化する体積で構成されています。屈折率変調の方向に応じて、VBG は狭い波長帯域を透過または反射するために使用できます。[ 24 ]ブラッグの法則（体積ホログラム用に調整）は、どの波長が回折されるかを決定します。[ 25 ]
ここで、 mはブラッグ次数 (正の整数)、λ B は回折波長、Λ はグレーティングのフリンジ間隔、θ は入射ビームと入射面の法線 ( N ) の間の角度、 φ は法線とグレーティングベクトル ( K G ) の間の角度です。ブラッグの法則に一致しない放射は、VBG を回折せずに通過します。出力波長は、入射角 ( θ )を変更することで数百ナノメートルにわたって調整できます。VBG は、広範囲に調整可能なレーザー光源を生成したり、グローバルハイパースペクトルイメージングを実行したりするために使用されています( Photon などを参照)。[ 25 ]
角度の測定は結晶構造の決定に使用できます。詳細については、 X線結晶学を参照してください。 [ 5 ] [ 13 ]簡単な例として、上述のブラッグの法則は、次の関係式を使用して特定の立方系の格子間隔を求めるために使用できます。
どこは立方晶の格子間隔であり、h、k、ℓはブラッグ面のミラー指数である。この関係をブラッグの法則と組み合わせると、次のようになる。
さまざまな立方ブラベー格子やその他多くの格子に対してミラー指数の選択規則を導出することができ、その選択規則のいくつかを以下の表に示す。
これらの選択則は、与えられた結晶構造を持つあらゆる結晶に適用できます。KClは面心立方ブラベー格子を持ちます。しかし、K +イオンとCl-イオンは同じ数の電子を持ち、サイズも非常に近いため、回折パターンは格子定数が半分の単純立方構造の場合とほぼ同じになります。他の構造の選択則は、他の文献を参照するか、導出することができます。他の結晶系の格子間隔は、こちらで確認できます。
