岩沢グループ

数学では、群の部分群の束がモジュラーである場合、その群は岩沢群、M 群、またはモジュラー群と呼ばれます。あるいは、群Gのすべての部分群がG内で交換可能である場合、その群Gは岩沢群と呼ばれます(Ballester-Bolinches、Esteban-Romero、Asaad 2010、pp. 24–25)。

岩沢健吉 (1941) は、p群 Gが岩沢群となるのは、次のいずれかの場合のみであることを証明しました。

• Gはデデキント群、または
• G にはアーベル 正規部分群 Nが含まれ、商群 G/N は巡回群であり、 q がG/Nの生成元を表す場合、すべてのn ∈ Nに対して、q ⁻¹ nq = n ^{1+ p s が}成り立ちます。ただし、一般にs ≥ 1ですが、 p =2のときはs ≥ 2 です。

Berkovich & Janko (2008, p. 257) では、岩澤の証明には本質的な欠陥があるとみなされ、Franco Napolitani とZvonimir Jankoによってそれが補われた。Roland Schmidt (1994) は教科書の中で、異なる方向から別の証明を提供している。Schmidt の証明の一部として、彼は有限p群がモジュラー群であるためにはすべての部分群が可換である必要があることを (Schmidt 1994, Lemma 2.3.2, p. 55) によって証明している。

有限p群のすべての部分群は非正規群であり、非正規性と可換性が一致する有限群は PT 群と呼ばれます。言い換えると、有限p 群がPT 群である場合に限り、その有限p群は岩沢群です。^[要出典]

16次の岩沢群は16次のモジュラー最大巡回群と同型である。 ^[要出典]

• グループのモジュラー法則

有限 M 群と無限 M 群は、Schmidt (1994、第 2 章) の教科書形式で紹介されています。最近の研究では、Zimmermann (1989) が取り上げられています。

• 岩沢健吉(1941)、「Über die endlichen Gruppen und die Verbände ihrer Untergruppen」、J. Fac.科学。インプ。大学東京。宗派。 I.、4 : 171–199、MR  0005721
• 岩沢健吉(1943)、「無限 M 群の構造について」、日本数学会誌、18 : 709–728、doi : 10.4099/jjm1924.18.0_709、MR  0015118
• Schmidt、Roland (1994)、「群のサブグループ格子」、Expositions in Math、vol. 14、Walter de Gruyter、土井：10.1515/9783110868647、ISBN 978-3-11-011213-9、MR  1292462
• Zimmermann、Irene (1989)、「有限群内のサブモジュラー サブグループ」、Mathematische Zeitschrift、202 (4): 545–557、doi :10.1007/BF01221589、MR  1022820、S2CID  121609694
• バレスター・ボリンチス、アドルフォ。エステバン・ロメロ、ラモン。 Asaad、Mohamed (2010)、有限群の積、Walter de Gruyter、24–25 ページ、ISBN 978-3-11-022061-2
• バーコビッチ、ヤコフ。 Janko、Zvonimir (2008)、Groups of Prime Power Order、vol. 2、ウォルター・デ・グルイター、ISBN 978-3-11-020823-8