細長い四角錐

細長い四角錐
タイプ	ジョンソン J 14 – J 15 – J 16
顔	8つの三角形 4つの正方形
エッジ	20
頂点	10
頂点構成	${\displaystyle 2\times 3^{4}+8\times (3^{2}\times 4^{2})}$
対称グループ	${\displaystyle D_{4h}}$
二重多面体	正方形の二面体
プロパティ	凸状の
ネット

幾何学において、細長い四角錐（または細長い八面体）は、正四角錐2 つを立方体の互いに反対側の面に取り付けて構築される多面体です。また、正方形と正方形、三角形と三角形で連結された 4 つの三角錐（反対側に三角形がある正方形）として見ることもできます。その形状から、ペンシルキューブまたは12 面ペンシルキューブとも呼ばれています。 ^{[1] [2]}

ジルコン結晶は細長い四角錐の一例です。

細長い正方両錐体は、正四角錐2 つを立方体の互いに反対側の面に取り付けることによって構築されます。このプロセスは伸長と呼ばれます。この構築では、2 つの正方形を削除してそれらのピラミッドに置き換え、その結果、8 つの正三角形と 4 つの正方形がその面になります。^[3]すべての面が正多面体である凸多面体はジョンソン立体であり、細長い正方両錐体はそのうちの 1 つで、 と表記され、15 番目のジョンソン立体です。^[4]${\displaystyle J_{15}}$

は、細長い四角錐の辺の長さであるとします。細長い四角錐の高さは、2 つの正四角錐と立方体の高さを足すことで計算できます。立方体の高さは、与えられた辺の長さ と同じで、正四角錐の高さは です。したがって、細長い四角錐の高さは次のとおりです。^[5] 表面積は、8 つの正三角形と 4 つの正方形の面積をすべて足すことで計算できます。^[6] 体積は、2 つの正四角錐と 1 つの立方体に分割し、それらを足すことで求められます。^[6]二面角 は、細長い四角錐と同様に、四角錐と立方体の角度を足すことで求められます。^[7]${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle (1/{\sqrt {2}})a}$ $${\displaystyle a+2\cdot {\frac {1}{\sqrt {2}}}a=\left(1+{\sqrt {2}}\right)a\approx 2.414a.}$$ $${\displaystyle \left(4+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 7.464a^{2}.}$$ $${\displaystyle \left(1+{\frac {\sqrt {2}}{3}}\right)a^{3}\approx 1.471a^{3}.}$$

• 隣接する2つの三角形の間の細長い正方形両錐の二面角は、正三角形の側面間の二面角である。${\displaystyle \arccos(-1/3)\approx 109.47^{\circ}}$
• 隣接する2つの正方形の間の細長い正方形両錐の二面角は、それらの正方形の間の立方体の二面角である。${\displaystyle \pi /2}$
• 正四角錐の正方形と三角形の間の二面角は です。したがって、正四角錐が立方体と接する辺における、三角形と正方形の間の細長い四角錐の二面角は、${\displaystyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.74^{\circ }}$$${\displaystyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\approx 144.74^{\circ }.}$$

細長い正方両錐体は二面体対称性（8次の二面体群 ）を持ち、正方錐の頂点と立方体の中心を通る対称軸を持ち、水平面を挟んで対称的な外観を呈する。^[7]${\displaystyle D_{4h}}$

細長い正方形両錐台は、8 つの台形と 2 つの正方形を持つ 正方形両錐台の双対です。

すべての面が正則でない特殊な細長い正方形両錐体により、ユークリッド空間の自己テッセレーションが可能になります。この細長い正方形両錐体の三角形は正則ではなく、辺の比率は 2: √ 3 : √ 3です。

これは、立方体と菱形十二面体ハニカムの間の過渡期と見なすことができます。^[1]ここでは、セルは空間内の方向に基づいて白、赤、青に色付けされています。四角錐の キャップには短縮された二等辺三角形の面があり、これらのピラミッドが 6 つ集まって立方体を形成しています。このハニカムの双対は、2 種類の八面体 (正八面体と三角形の反対称) で構成されており、正八面体化された立方体ハニカムの立方八面体に八面体を重ね合わせることで形成されています。両方のハニカムは の対称性を持っています。 ${\displaystyle [4,3,4]}$

ハニカムの断面は、セルの中心を通る面取りされた正方形のタイルを形成し、水平方向と垂直方向には平らな六角形、垂直方向の多面体には正方形が配置されます。

規則的な面を持つ細長い四角錐は、四面体や八面体とともに空間のモザイク模様を形成できます。（八面体はさらに四角錐に分解できます。）^{[8]このハニカムは}、四面体-八面体ハニカムの細長いバージョンと考えることができます。

• Weisstein, Eric W.、「細長い四角錐」（「ジョンソン立体」） at MathWorld。