結晶点群

結晶学において、結晶点群は対称操作が 3 次元結晶格子と互換性のある3 次元点群です。結晶学的制約によると、結晶点群には 1、2、3、4、6 回転または回転反転のみを含めることができます。これにより、結晶点群の数は 32 に削減されます (一般的な点群は無限にあります)。これらの 32 のグループは、1830 年にヨハン・フリードリヒ・クリスチャン・ヘッセルが観察された結晶形態を考慮して導き出した 32 種類の形態学的 (外部) 結晶対称性と同一です。

結晶の分類では、対称操作の並進成分を「忘れる」ことによって、各空間群に結晶点群が関連付けられます。つまり、らせん回転を回転に、すべり反射を反射に変え、すべての対称要素を原点に移動します。各結晶点群は、結晶の (幾何学的) 結晶クラスを定義します。

結晶の点群は、とりわけ、複屈折などの光学特性やポッケルス効果などの電気光学特性など、結晶の構造から生じる物理的特性の方向変化を決定します。

点群は、その構成要素の対称性に応じて名前が付けられます。結晶学者、鉱物学者、物理学者によって使用される標準的な表記法がいくつかあります。

以下の2つの系の対応については結晶系を参照。

シェーンフライの表記法では、点群は下付き文字の付いた文字記号で表されます。結晶学で使用される記号の意味は次のとおりです。

• C _n (巡回) は、グループがn倍の回転軸を持つことを示します。C _nhは、回転軸に垂直な鏡面 (反射面) を追加したC _nです。C _{nv は、}回転軸に平行な n 個の鏡面を追加したC _nです。
• S _2n (シュピーゲル、ドイツ語で鏡)は、 2n回の回転反射軸のみを持つ群を表します。
• D _n (二面体、つまり両面) は、グループにn倍の回転軸と、その軸に垂直なn個の 2 倍軸があることを示します。さらに、 D _nhには、 n倍軸に垂直な鏡面があります。D _ndには、 D _nの要素に加えて、 n倍軸に平行な鏡面があります。
• 文字T (四面体) は、グループが四面体の対称性を持つことを示します。T dには不適切な回転操作が含まれ、 T には_不適切な回転操作が含まれず、T _hは反転が追加されたTです。
• 文字O (八面体) は、グループが八面体の対称性を持ち、不適切な操作 (利き手を変更する操作) の有無にかかわらず (O h) であることを示します_。

結晶学的制限定理により、 2次元または3次元空間ではn = 1、2、3、4、または6になります。

D _4dとD _{6d は、}それぞれ n=8 と 12 で不適切な回転を含むため、実際には禁止されています。表の 27 個の点群にT、T _d、T _h、O 、およびO _hを加えると、32 個の結晶点群が構成されます。

空間群によく使われるヘルマン・モーガン記法の省略形は、結晶学の点群の記述にも使われる。群名は

結晶学上の点群の多くは、同じ内部構造を共有しています。たとえば、点群1、 2 、 m は、それぞれ異なる幾何学的対称操作（反転、回転、反射）を含みますが、すべて巡回群C ₂の構造を共有しています。すべての同型群は同じ順序ですが、同じ順序のグループすべてが同型であるわけではありません。同型の点群を次の表に示します。^[2]

この表では、巡回群(C ₁、 C ₂、 C ₃、 C ₄、 C ₆ )、二面体群(D ₂、 D ₃、 D ₄、 D ₆ )、交代群の 1 つ(A ₄ )、および対称群の 1 つ(S ₄ ) を使用しています。ここで、記号「 × 」は直積を示します。

1. ブラベー格子型は除外します。
2. 並進コンポーネントを持つすべての対称要素を、並進対称性のないそれぞれの対称要素に変換します。(スライド面は単純なミラー面に変換され、ねじ軸は単純な回転軸に変換されます。)
3. 回転軸、回転反転軸、および鏡面は変更されません。

• 分子の対称性
• 点群
• 空間群
• 3次元の点群
• 結晶系

• 国際結晶学表 (2006) の点群記号。第 A 巻、第 12.1 章、818-820 ページ
• 国際結晶学表 (2006) に記載されている 32 の結晶クラスの名称と記号。第 A 巻、第 10.1 章、794 ページ
• 32のグループの概要図