Loading article…
ゼノンのパラドックスは、古代ギリシャの哲学者エレアのゼノン（紀元前490年頃-430年）が提起した一連の哲学的 議論であり、 [1] [2]主にプラトン、アリストテレス、および後代のキリキアのシンプリキオスなどの注釈者の著作を通じて知られています。[2]ゼノンは、感覚的な経験に関わらず、現実は単一で不変であるとする師パルメニデスの一元論の哲学を支持するためにこれらのパラドックスを考案しました。このパラドックスは、多数性（多くのものの存在）、運動、空間、時間の概念が論理的矛盾につながることを示唆することで、これらの概念に異議を唱えることで有名です。
ゼノンの著作は、原典が失われているため、主に伝聞で知られているが、複数の存在を信じる一貫性に反論する40の「多元性のパラドックス」と、運動と変化に反論するいくつかの議論から構成されている。 [2]これらのうち、今日明確に知られているのは、空間と時間の無限の分割可能性という問題のある概念を示す有名な「アキレスのパラドックス」を含む数個のみである。[1] [2]このパラドックスで、ゼノンは、アキレスのような速いランナーは、遅いカメに先行して追いつくことはできないと主張している。なぜなら、両者の距離は無限に分割できるため、アキレスがカメを捕まえるには無限の歩数が必要になるからである。[1] [2]
これらのパラドックスは、歴史を通じて、特に無限の性質と空間と時間の連続性に関して、広範な哲学的および数学的な議論を巻き起こしてきました。当初は、実際の無限ではなく潜在的な無限を示唆するアリストテレスの解釈が広く受け入れられていました。[1]しかし、微積分の数学的枠組みを活用した現代の解決策は、異なる視点を提供し、無限と連続運動の複雑さに関するゼノンの重要な初期の洞察を浮き彫りにしました。[1]ゼノンのパラドックスは、現実、運動、無限の哲学的および数学的探究における極めて重要な参照点であり、古代の思想と現代の科学的理解の両方に影響を与えています。[1] [2]
歴史
パラドックスの起源は不明瞭であるが、一般的にはパルメニデスの一元論の教義、すなわち現実のすべては一つであり、すべての変化は不可能である、つまり場所やその他の点で何も変わることはない、という教義を支持するために考え出されたと考えられている。[1] [2] ディオゲネス・ラエルティオスはファヴォリヌスを引用して、ゼノンの師パルメニデスがアキレスと亀のパラドックスを最初に提唱したと述べている。しかし、後の一節でラエルティオスはパラドックスの起源をゼノンに帰し、ファヴォリヌスはそれに反対していると説明している。[3] 現代の学者はパラドックスをゼノンに帰している。[1] [2]
これらのパラドックスの多くは、感覚の証拠に反して、運動は単なる幻想にすぎないと主張している。[1] [2]プラトンの 『パルメニデス』 （128a–d）では、他の哲学者がパルメニデスの見解を考慮するとパラドックスが生じると主張したため、ゼノンはこれらのパラドックスを生み出すプロジェクトを引き受けたとされている。ゼノンの議論は、背理法による証明とも呼ばれる、背理法による証明と呼ばれる証明方法の初期の例である可能性がある。したがって、プラトンは、パラドックスの目的を「存在は多数であるという彼らの仮説は、適切に追求されれば、存在は1つであるという仮説よりもさらに不合理な結果につながることを示すことである」とゼノンに言わせている。[4]プラトンは、ゼノンとパルメニデスが本質的にまったく同じ点を主張していたとソクラテスに主張させている。[5]彼らは、ソクラテスが使用した弁証法の源泉としても認められている。 [6]
パラドックス
ゼノンの 9 つのパラドックス (アリストテレスの『自然学』 [7] [8]とそれに関するシンプリシウスの注釈に残されている) のいくつかは、本質的に互いに同等である。アリストテレスはそれらのいくつかに回答している。[7] ゼノンの議論は、一般文献で誤って伝えられることが多い。たとえば、ゼノンは、無限の数の項の合計はそれ自体無限でなければならないと主張したとよく言われる。その結果、時間だけでなく、移動する距離も無限になる。[9] しかし、元の古代の資料のどれにも、ゼノンが無限の級数の合計について議論したという記述はない。シンプリシウスは、ゼノンが「有限の時間内に無限の数のものを横断することは不可能である」と言ったとしている。これはゼノンの問題を、和を求めることではなく、無限のステップでタスクを完了することについて提示している。つまり、B に到着する前に必要な (瞬間的ではない) イベントが無限に特定でき、かつ「最後のイベント」の始まりにさえ到達できない場合、どうすれば A から B に到達できるのか? [10] [11] [12] [13]
運動のパラドックス
最も強力で最も有名な 3 つの例、つまりアキレスと亀、二分法の議論、飛んでいる矢について、以下に詳しく説明します。
二分法のパラドックス
移動しているものは、ゴールに到達する前に中間段階に到達する必要があります。
アタランテが道の端まで歩きたいとします。 そこに着く前に、彼女は道の半分まで行かなければなりません。 半分まで行く前に、彼女は道の 4 分の 1 まで行かなければなりません。 4 分の 1 まで行く前に、彼女は 8 分の 1 まで行かなければなりません。 8 分の 1 まで行く前に、彼女は 16 分の 1 まで行かなければなりません。
結果のシーケンスは次のように表すことができます。
この説明では無限の数のタスクを完了する必要があるが、ゼノンはそれは不可能だと主張している。[14]
このシーケンスには、走る最初の距離が含まれていないという2番目の問題もあります。なぜなら、考えられる最初の距離（有限）は半分に分割できるため、結局は最初ではないからです。したがって、旅行は開始することさえできません。逆説的な結論は、有限距離の移動は完了することも開始することもできないため、すべての動きは幻想に違いないということです。[15]
この議論は、距離を 2 つの部分に繰り返し分割することから、「二分法」と呼ばれます。本来の意味での例は、漸近線に見ることができます。これはレース コースパラドックスとしても知られています。
アキレスと亀
レースでは、最も速いランナーが最も遅いランナーを追い抜くことは決してできません。なぜなら、追う側はまず追われる側がスタートした地点に到達しなければならないため、遅いランナーが常にリードを保たなければならないからです。
アキレスと亀のパラドックスでは、アキレスは亀と徒競走をしています。たとえば、アキレスは亀に 100 メートルの先行を許します。各競争者が一定の速度で走り始め、一方が他方より速いとします。ある有限の時間の後、アキレスは 100 メートルを走り、亀のスタート地点に到着します。この間、亀が走った距離は 2 メートルと、はるかに短い距離です。アキレスがその距離を走るのにさらに時間がかかり、その頃には亀はさらに先へ進んでいます。そして、亀が前進する間に、この 3 番目の地点に到達するまでにさらに時間がかかります。したがって、亀がいた場所にアキレスが到着するときはいつでも、亀に到達するまでにはまだいくらかの距離があります。アリストテレスが指摘したように、この議論は二分法に似ています。[16]しかし、それは静止しているという明らかな結論を欠いている。
矢印のパラドックス
等しい空間を占めるすべてのものがその瞬間に静止しており、運動しているものは常にどの瞬間にもそのような空間を占めているとすれば、飛んでいる矢はその瞬間も次の瞬間も静止しているが、両方の瞬間が同じ瞬間または連続した瞬間とみなされる場合には、矢は動いていることになる。[17]
矢のパラドックスにおいて、ゼノンは、運動が起こるためには、物体が占める位置を変えなければならないと述べています。彼は、飛んでいる矢の例を挙げています。彼は、どの瞬間（持続時間のない瞬間）においても、矢はそれがどこにあるのか、どこにないのか、どちらにも動いていないと述べています。[18] そこに移動するには時間がかからないので、そこにいない場所には移動できません。また、すでにそこに存在しているので、そこにも移動できません。言い換えれば、どの瞬間においても運動は起こっていないということです。すべてのものがどの瞬間においても動かず、時間が完全に瞬間で構成されているとしたら、運動は不可能です。
最初の2つのパラドックスは空間を分割しますが、このパラドックスは時間をセグメントではなく点に分割することから始まります。[19]
その他のパラドックス
アリストテレスは他に3つのパラドックスを挙げています。
場所のパラドックス
アリストテレスより:
存在するものすべてに場所があるのなら、場所にも場所があり、それは無限に続くでしょう。[20]
粟粒のパラドックス
Routledge Dictionary of Philosophyによるパラドックスの説明:
その議論は、一粒の粟は落ちても音はしないが、千粒あれば音が出る、というものである。したがって、千の無が有になる、という不合理な結論である。[21]
アリストテレスの応答:
ゼノンは、キビには音を立てない部分はないと主張しているが、これは誤りである。なぜなら、キビのどの部分も、落下時にブッシェル全体が動かす空気を、どんなに長い時間でも動かさないはずがないからである。実際、この部分は、もし単独で動いたとしたら動くであろう量の空気さえも、それ自体では動かさない。なぜなら、潜在的にしか存在しない部分などないからである。[22]
Nick Huggett からの説明:
これは、聴覚を信頼できないというパルメニデスの議論である。アリストテレスの答えは、聞こえない音でさえも聞こえる音に加わる可能性があるというもののようだ。 [23]
動く列（またはスタジアム）
アリストテレスより:
... 2列の物体に関して、各列は同数の同じ大きさの物体で構成され、レースコース上で互いにすれ違いながら、反対方向に等速度で進みます。一方の列は元々、コースのゴールと中間点の間の空間を占め、もう一方の列は中間点とスタートポストの間の空間を占めています。これにより、与えられた時間の半分はその時間の2倍に等しいという結論が導き出されます。[24]
アリストテレスが提示したゼノンの議論の詳細な説明は、シンプリキウスの『アリストテレス物理学について』に記載されている。[25] [2] [1]
シェフィールド大学のアンジー・ホッブスによれば、このパラドックスはアキレスと亀のパラドックスと一緒に考えるべきものであり、一方が離散的な空間と時間の概念を問題視しているのに対し、他方は無限に分割可能な空間と時間の概念を問題視している。[26]
提案された解決策
古代において
シンプリシウスによれば、犬儒派のディオゲネスはゼノンの議論を聞いて何も言わず、ゼノンの結論が間違っていることを証明するために立ち上がって歩き出したという。[25] [2]しかし、パラドックスを完全に解決するには、結論だけでなく議論のどこが間違っているかを示す必要がある。歴史を通じていくつかの解決策が提案されてきたが、最も古い記録にはアリストテレスとアルキメデスの解決策がある。
アリストテレス（紀元前384年-紀元前322年）は、距離が短くなると、その距離をカバーするのに必要な時間も短くなるため、必要な時間もますます短くなると述べた。[27] [検証失敗] [28] アリストテレスはまた、「分割可能性に関して無限のもの」（空間的には同じまま、精神的にさらに小さな単位に分割できる空間の単位など）と、拡張性（「その端に関して」）が無限のもの（または距離）を区別した。[29] アリストテレスの矢印のパラドックスに対する反論は、「他のあらゆる大きさが分割不可能なもので構成されているのと同じように、時間は分割不可能な現在で構成されているわけではない」というものだった。[30] トマス・アクィナスは、アリストテレスの反論について次のように述べている。「瞬間は時間の一部ではない。なぜなら、すでに証明したように、大きさが点からできているのと同じように、時間は瞬間からできているわけではないからだ。したがって、ある物体が特定の時間内に動いていないからといって、その時間のどの瞬間にも動いていないというわけではない。」[31] [32] [33]
現代数学では
カール・ボイヤーなどの数学者や歴史家は、ゼノンのパラドックスは単なる数学の問題であり、現代の微積分が数学的な解決法を提供すると主張する。[34]無限過程は19世紀後半まで数学において理論的に厄介な問題であった。ワイエルシュトラスとコーシーは、極限のイプシロンデルタ定義を用いて、関連する論理と微積分の厳密な定式化を開発した。これらの研究により、無限過程を含む数学が解決された。[35] [36]
しかし、一部の哲学者は、ゼノンのパラドックスとそのバリエーション（トムソンのランプを参照）は依然として重要な形而上学的問題であると主張している。[10] [11] [12]数学は、動いているアキレス腱がゼノンのパラドックスの亀をいつどこで追い抜くかを計算できるが、ケビン・ブラウン[10]やフランシス・ムアクロフト[11]などの哲学者は、数学はゼノンの議論の中心点を扱っておらず、数学的な問題を解決してもパラドックスが提起するすべての問題が解決されるわけではないと主張している。ブラウンは、「アリストテレス以降の「最終解決」の歴史を考えると、終わりに達したと考えるのはおそらく無謀である。ゼノンの運動に関する議論は、その単純さと普遍性のために、人々が最も基本的な現象学的関心（もしあれば）を投影できる一種の「ロールシャッハ・イメージ」として常に機能するかもしれない」と結論付けている。 [10]
アンリ・ベルクソン
アンリ・ベルクソンが1896年に著した『物質と記憶』で提唱した別の結論は、道は分割できるが、運動は分割できないというものである。[37] [38]
ピーター・リンズ
2003年、ピーター・リンズは、ゼノンの運動パラドックスはすべて、時間における瞬間と瞬間的な大きさは物理的に存在しないという結論によって解決されると主張した。[39] [40] [41]リンズは、相対運動している物体は瞬間的な相対位置や決定された相対位置を持つことはできない（もしそうなら、その物体は運動しているはずがない）ため、パラドックスで想定されているように、その物体の運動を部分的に分解することはできないと主張している。ニック・ハゲットは、静止しているときと同じ空間を占める物体は静止しているに違いないと言うゼノンは、その結論を前提としていると主張している。 [19]
バートランド・ラッセル
ゲオルク・カントールの研究に基づいて、[42] バートランド・ラッセルはパラドックスの解決法を提示した。これは「運動のアットアット理論」として知られるものである。これは持続のない瞬間「の間」に運動はあり得ないということに同意し、運動に必要なのは矢がある時点で一点にあり、別の時点で別の点にあり、その間の適切な時間にその2点の間の点にあることだけだと主張する。この見方では、運動とは単に時間経過による位置の変化である。[43] [44]
ヘルマン・ワイル
提案されている別の解決策は、ゼノンがパラドックスで使用した仮定の 1 つ (特に二分法) に疑問を投げかけることです。この仮定は、空間 (または時間) 内の任意の 2 つの異なる点の間には、常に別の点が存在するというものです。この仮定がなければ、2 点間の距離は有限の数しかなく、したがって無限の動きのシーケンスは存在せず、パラドックスは解決されます。ヘルマン・ワイルによると、空間が有限で離散的な単位で構成されているという仮定は、「タイルの議論」または「距離関数の問題」によって示されるさらなる問題の対象となります。 [45] [46]これによると、離散化された空間内の直角三角形の斜辺の長さは常に 2 辺のうちの 1 つの長さに等しく、幾何学に反します。ジャン・ポール・ファン・ベンデゲムは、タイルの議論は解決可能であり、したがって離散化によってパラドックスを解消できると主張しました。[34] [47]
アプリケーション
量子ゼノン効果
1977年、[48]物理学者EC George Sudarshanと B. Misra は、量子システムの動的進化 (運動) は、そのシステムの観察によって妨げられる (または抑制される) 可能性があることを発見しました。[49]この効果は、ゼノンの矢印のパラドックスを強く連想させるため、通常「量子ゼノン効果」と呼ばれます。この効果は、1958年に初めて理論化されました。 [50]
ゼノンの行動
時間制御システムやハイブリッドシステムの検証と設計の分野では、有限の時間内に無限の離散ステップを含むシステムの動作はゼノと呼ばれます。 [51]一部の形式検証技術では、これらの動作が非ゼノ動作と同等でない場合、解析から除外されます。[52] [53]システム設計では、これらの動作はデジタルコントローラで実装できないため、システムモデルから除外されることもよくあります。[54]
同様のパラドックス
名前の学校
戦国時代（紀元前475～221年） とほぼ同時期に、論理学と弁証法に関心を持つ思想学派である名学派の古代中国の哲学者たちが、ゼノンのものと似たパラドックスを展開した。名学派の著作は、公孫隆子の一部を除いて大部分が失われている。慧氏の十論の2番目は、微小なものについての知識を示唆している。厚みのないものを重ねることはできないが、その大きさは千里である。荘子に記録されている彼の多くの難問の中に、ゼノンの二分法に非常によく似た難問がある。
「1フィートの長さの棒から毎日半分ずつ取っていれば、何千年経っても枯渇することはありません。」
— 『荘子』第 33 章 (Legge 翻訳) [55]
墨家の典拠では、測定された長さを移動する際には、距離は長さの連続した分数ではなく、1つの段階でカバーされると主張することで、このパラドックスの解決策を提案しているようです。名前学派の作品が残っていないため、記載されている他のパラドックスのほとんどは解釈が困難です。[56]
ルイス・キャロルの「亀がアキレスに言ったこと」
ルイス・キャロルが1895年に書いた「亀がアキレスに言ったこと」[57]は、純粋論理の領域における逆説的な無限後退の議論を説明しています。アキレスと亀を登場人物として用いており、ゼノンのアキレスのパラドックスを明確に参照しています。[58]
参照
注記
- ^ abcdefghijk 「ゼノンのパラドックス | インターネット哲学百科事典」。2024年3月25日閲覧。
- ^ abcdefghijkl Huggett, Nick (2024)、「Zeno's Paradoxes」、Zalta, Edward N.、Nodelman, Uri (eds.)、The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2024 ed.)、Metaphysics Research Lab、Stanford University 、 2024-03-25取得
- ^ ディオゲネス・ラエルティオス『英雄伝』9.23および9.29。
- ^ パルメニデス128d
- ^ パルメニデス128a–b
- ^ ([断片65]、ディオゲネス・ラエルティオス。IX Archived 2010-12-12 at the Wayback Machine 25ff および VIII 57)。
- ^ abアリストテレスの物理学 2011-01-06 ウェイバックマシンにアーカイブアリストテレスの「物理学」 RP ハーディーと RK ゲイが翻訳
- ^ 「アリストテレス著『物理学』のギリシャ語テキスト（画面表示領域上部の§4を参照）」。2008年5月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。
- ^ ベンソン、ドナルド C. (1999)。証明の瞬間:数学的啓示。ニューヨーク:オックスフォード大学出版局。p. 14。ISBN 978-0195117219。
- ^ abcd ブラウン、ケビン。「ゼノンと運動のパラドックス」。相対性理論に関する考察。2012年12月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。2010年6月6日閲覧。
- ^ abc Moorcroft, Francis. 「ゼノンのパラドックス」。2010年4月18日時点のオリジナルよりアーカイブ。
- ^ ab Papa-Grimaldi, Alba (1996). 「ゼノンのパラドックスの数学的解決が的外れな理由: ゼノンの一対多の関係とパルメニデスの禁止」(PDF)。The Review of Metaphysics。50 : 299–314。2012-06-09にオリジナルからアーカイブ(PDF) 。2012-03-06に取得。
- ^ ハゲット、ニック（2010年）。「ゼノンのパラドックス：5. ゼノンの哲学への影響」スタンフォード哲学百科事典。2022年3月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2011年3月7日閲覧。
- ^ リンドバーグ、デイビッド（2007年）。西洋科学の始まり（第2版）。シカゴ大学出版局。p.33。ISBN 978-0-226-48205-7。
- ^ Huggett, Nick (2010). 「ゼノンのパラドックス: 3.1 二分法」スタンフォード哲学百科事典. 2022-03-01時点のオリジナルよりアーカイブ。 2011-03-07閲覧。
- ^ ハゲット、ニック（2010年）。「ゼノンのパラドックス：3.2 アキレスと亀」スタンフォード哲学百科事典。2022年3月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2011年3月7日閲覧。
- ^ アリストテレス。「物理学」。インターネット クラシックス アーカイブ。2008 年 5 月 15 日にオリジナルからアーカイブ。2012年 8 月 21 日に取得。しかし、ゼノンの推論は誤りです。
ゼノンは、すべてのものが等しい空間を占めているときは静止しており、運動しているものは常にそのような空間をどの瞬間にも占めているのであれば、飛んでいる矢は動かない、と述べています。これは誤りです。なぜなら、他のあらゆる大きさが分割できないものから構成されているのと同じように、時間は分割できない瞬間から構成されているわけではないからです。
- ^ ラエルティオス、ディオゲネス（230年頃）。「ピュロン」。著名な哲学者の生涯と意見。第9巻、72節。ISBN 1-116-71900-2. 2011年8月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。2011年3月5日閲覧。
- ^ ab Huggett, Nick (2010). 「ゼノンのパラドックス: 3.3 矢」.スタンフォード哲学百科事典. 2022年3月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2011年3月7日閲覧。
- ^ アリストテレス物理学 IV:1, 209a25 2008-05-09ウェイバックマシンにアーカイブ
- ^ マイケル・プラウドフット、AR・レース。ラウトレッジ哲学辞典。ラウトレッジ 2009、p. 445
- ^ アリストテレス物理学 VII:5, 250a20 2008-05-11 にWayback Machineでアーカイブ
- ^ ハゲット、ニック、「ゼノンのパラドックス」、スタンフォード哲学百科事典（2010年冬版）、エドワード・N・ザルタ（編）、http://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/#GraMil 2022年3月1日にWayback Machineでアーカイブ
- ^アリストテレス物理学 VI:9, 239b33 2008-05-15 ウェイバックマシンにアーカイブ
- ^ ab シンプリキオス; コンスタン、デイヴィッド; シンプリキオス (1989)。シンプリキオスによるアリストテレスの物理学 6。アリストテレスに関する古代の注釈者。イサカ NY: コーネル大学出版局。ISBN 978-0-8014-2238-6。
- ^ 「ゼノンのパラドックス：動く列」。シェフィールド大学 Kaltura デジタルメディアハブ。2024 年 6 月 28 日閲覧。
- ^ アリストテレス。物理学 6.9
- ^ アリストテレスの、小数時間も短くなるという観察は、すべてのケースでタスクを完了できることを保証するものではありません。それが当てはまらないケースの 1 つは、小数時間が調和級数的に減少するのに対し、距離が幾何級数的に減少する場合です。たとえば、1/2 メートルの増加で 1/2 秒、次の 1/4 メートルの増加で 1/3 秒、次の 1/8 メートルの増加で 1/4 秒、次の 1/16 メートルの増加で 1/5 秒、次の 1/32 メートルの増加で 1/6 秒などです。この場合、距離は収束級数を形成しますが、時間は発散級数を形成し、その合計には制限がありません。[独自の研究? ]アルキメデスは、アリストテレスよりも明示的に数学的なアプローチを開発しました。
- ^ アリストテレス物理学 6.9; 6.2, 233a21-31
- ^ アリストテレス。物理学。第6巻第9部詩：239b5。ISBN 0-585-09205-2. 2008年5月15日時点のオリジナルよりアーカイブ。2008年8月11日閲覧。
- ^ アクィナス。アリストテレス物理学注釈、第6巻。861
- ^ キリシス、ポール（2020-04-01）。予知夢の批判的調査（第1版）。ケンブリッジ・スカラーズ・パブリッシング。p.19。ISBN 978-1527546332。
{{cite book}}: CS1 メンテナンス: 日付と年 (リンク) - ^ トマス・アクィナス。「アリストテレスの物理学解説」。aquinas.cc 。 2024年3月25日閲覧。
- ^ ab Boyer, Carl (1959).微積分学の歴史とその概念的発展. Dover Publications. p. 295. ISBN 978-0-486-60509-8. 2010-02-26取得。
パラドックスが連続変数の正確な数学用語でこのように述べられると、一見矛盾しているように見えるものは自然に解決されます。
- ^ Lee, Harold (1965). 「ゼノンのパラドックスは間違いに基づいているか?」Mind . 74 (296). Oxford University Press: 563–570. doi :10.1093/mind/LXXIV.296.563. JSTOR 2251675.
- ^ B Russell (1956) 「数学と形而上学者」『数学の世界』（JR Newman編）、pp 1576-1590。
- ^ ベルクソン、アンリ(1896)。『物質と記憶』(PDF) 。1911年、ナンシー・マーガレット・ポール、W・スコット・パーマー訳。ジョージ・アレンとアンウィン。PDFの77～78ページ。 2019年10月15日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) 。 2019年10月15日閲覧。
- ^ マッスミ、ブライアン（2002年）。『バーチャルのための寓話：動き、感情、感覚』（第1版）。ノースカロライナ州ダーラム：デューク大学出版局。pp.5-6。ISBN 978-0822328971。
- ^ 「ゼノンのパラドックス：タイムリーな解決」 2003年1月。2012年8月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。2012年7月2日閲覧。
- ^ リンズ、ピーター。時間と古典力学および量子力学：不確定性と不連続性。物理学レターの基礎（第16巻、第4号、2003年）。doi：10.1023 / A：1025361725408
- ^ Time's Up, Einstein Archived 2012-12-30 at the Wayback Machine、Josh McHugh、Wired Magazine、2005年6月
- ^ ラッセル、バートランド (2002) [1914 年にオープン コート出版会社によって初版が出版されました]。「講義 6. 無限の問題を歴史的に考察」。外部世界に関する知識: 哲学における科学的手法の分野として。ラウトレッジ。169 ページ。ISBN 0-415-09605-7。
- ^ ハゲット、ニック (1999)。宇宙ゼノンからアインシュタインまで。MIT 出版。ISBN 0-262-08271-3。
- ^ サーモン、ウェズリー C. (1998)。因果関係と説明。オックスフォード大学出版局。p. 198。ISBN 978-0-19-510864-4. 2023年12月29日時点のオリジナルよりアーカイブ。2020年11月21日閲覧。
- ^ Van Bendegem, Jean Paul (2010年3月17日). 「幾何学における有限主義」.スタンフォード哲学百科事典. 2008年5月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年1月3日閲覧。
- ^ Cohen, Marc (2000年12月11日). 「原子論」.ワシントン大学古代哲学史. 2010年7月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年1月3日閲覧。
- ^ van Bendegem, Jean Paul (1987). 「ディスカッション:ゼノンのパラドックスとタイルの議論」.科学哲学. 54 (2). ベルギー: 295–302. doi :10.1086/289379. JSTOR 187807. S2CID 224840314.
- ^ Sudarshan, ECG ; Misra, B. (1977). 「量子理論におけるゼノンのパラドックス」(PDF) . Journal of Mathematical Physics . 18 (4): 756–763. Bibcode :1977JMP....18..756M. doi :10.1063/1.523304. OSTI 7342282. 2013-05-14 にオリジナルからアーカイブ(PDF)されました。2018-04-20に取得。
- ^ WMItano; DJ Heinsen; JJ Bokkinger; DJ Wineland (1990). 「量子ゼノン効果」(PDF) . Physical Review A . 41 (5): 2295–2300. Bibcode :1990PhRvA..41.2295I. doi :10.1103/PhysRevA.41.2295. PMID 9903355. 2004-07-20 に オリジナル(PDF)からアーカイブ。2004-07-23に取得。
- ^ Khalfin, LA (1958). 「準定常状態の崩壊理論への貢献」。Soviet Phys. JETP . 6 : 1053. Bibcode :1958JETP....6.1053K.
- ^ Paul A. Fishwick 編 (2007 年 6 月 1 日)。「15.6 「病的な動作クラス」、第 15 章「ハイブリッド動的システム: モデリングと実行」、Pieter J. Mosterman 著、The Mathworks, Inc.」。動的システム モデリング ハンドブック。Chapman & Hall/CRC コンピューターおよび情報科学 (ハードカバー版)。米国フロリダ州ボカラトン: CRC プレス。pp. 15–22 から15–23。ISBN 978-1-58488-565-8. 2023年12月29日時点のオリジナルよりアーカイブ。2010年3月5日閲覧。
- ^ Lamport, Leslie (2002). 「Specifying Systems」(PDF) . Microsoft Research . Addison-Wesley: 128. ISBN 0-321-14306-X. 2010年11月16日にオリジナルからアーカイブ（PDF）されました。2010年3月6日に取得。
- ^ Zhang, Jun; Johansson, Karl; Lygeros, John; Sastry, Shankar (2001). 「Zeno ハイブリッド システム」(PDF) . International Journal for Robust and Nonlinear Control . 11 (5): 435. doi :10.1002/rnc.592. S2CID 2057416. 2011 年 8 月 11 日の オリジナル(PDF)からアーカイブ。2010 年 2 月 28 日に取得。
- ^ Franck, Cassez; Henzinger, Thomas; Raskin, Jean-Francois (2002). 時間付きシステムとハイブリッドシステムの制御問題の比較。2008年5月28日時点のオリジナルよりアーカイブ。2010年3月2日閲覧。
- ^ マックス・ミュラー編 (1891)。「光子の著作」。東洋の聖典。第40巻。ジェームズ・レッグ訳。オックスフォード大学出版局。
- ^ 「School of Names > Miscellaneous Paradoxes (Stanford Encyclopedia of Philosophy)」. plato.stanford.edu . 2016年12月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。2020年1月30日閲覧。
- ^ キャロル、ルイス（1895-04-01）。「亀がアキレスに言ったこと」。マインド。IV （14）：278–280。doi ：10.1093/mind/IV.14.278。ISSN 0026-4423 。2020年7月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2020年7月20日閲覧。
- ^ Tsilipakos, Leonidas (2021).社会理論における明確さと混乱：概念を真剣に受け止める。社会科学における哲学と方法。アビンドン・ニューヨーク（NY）：Routledge。p. 48。ISBN 978-1-032-09883-8。
参考文献
- カーク、GS、JEレイヴン、M .スコフィールド（1984）『前ソクラテス哲学者：テキスト選集による批判的歴史』第2版、 ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-27455-9。
- ハゲット、ニック (2010)。「ゼノンのパラドックス」。スタンフォード哲学百科事典。2022年3月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2011年3月7日閲覧。
- プラトン(1926)プラトン: クラティロス。パルメニデス。グレーターヒッピアス。 Lesser Hippias、HN Fowler (翻訳)、ローブ古典図書館。ISBN 0-674-99185-0。
- Sainsbury, RM (2003) Paradoxes 、第2版。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-48347-6。
- スカイルムス、ブライアン(1983)。「ゼノンの測定のパラドックス」。コーエン、RS、ラウダン、L (編)。物理学、哲学、精神分析。ドルドレヒト: ライデル。pp . 223–254。ISBN 90-277-1533-5。
外部リンク
Wikisource にはこの記事に関連する原文があります:
エレアのゼノン
- ダウデン、ブラッドリー。「ゼノンのパラドックス」。インターネット哲学百科事典の項目。
- 「アンチノミー」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
- 数学哲学入門、ルートヴィヒ・マクシミリアン大学ミュンヘン
- シラガゼ、ZK「ゼノンと現代科学の出会い」
- ゼノンのパラドックス: アキレスと亀、 Jon McLoone 著、Wolfram Demonstrations Project。
- ケビン・ブラウンによるゼノンと運動のパラドックス
- パーマー、ジョン (2008)。「エレアのゼノン」。スタンフォード哲学百科事典。
- この記事にはPlanetMathの Zeno のパラドックスの資料が組み込まれており、これはCreative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされています。
- グライム、ジェームズ。「ゼノンのパラドックス」。Numberphile。ブレイディ・ハラン。2018年10月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2013年4月13日閲覧。