LSZ削減式

量子場の理論において、レーマン・シマンジク・ツィンメルマン( LSZ )簡約公式は、量子場の理論の時間順序相関関数からS行列要素 (散乱振幅)を計算する方法である。これは、ある量子場の理論のラグランジアンから始まり、測定可能な量の予測につながる道筋のステップである。この公式は、3人のドイツ人物理学者ハリー・レーマン、クルト・シマンジク、ヴォルフハルト・ツィンメルマンにちなんで名付けられている。^[1]

LSZ 縮小式は束縛状態、質量のない粒子、位相ソリトンを扱うことはできませんが、非局所的であることが多い複合場を使用することで、束縛状態をカバーするように一般化できます。さらに、この方法またはその変形は、理論物理学の他の分野でも有益であることが判明しています。たとえば、統計物理学では、これらを使用して、変動散逸定理の特に一般的な定式化を得ることができます。

S行列要素は、in状態とout状態の間の遷移の振幅です^{。 [2] [3] [4] [5] [6]} in状態は、はるか昔、相互作用する前は、一定の運動量{ p } で自由に運動していた粒子系の状態を表します。逆に、 out状態は、相互作用してからずっと後になってから、一定の運動量{ p }で自由に運動する粒子系の状態を表します。${\displaystyle |\{p\}\ \mathrm {in} \rangle }$${\displaystyle |\{p\}\ \mathrm {out} \rangle }$

イン状態とアウト状態はハイゼンベルク描像における状態であるため、特定の時間における粒子を記述するものではなく、むしろ粒子のシステム全体の進化を記述するものと考えるべきです。そのため、S 行列要素は次のようになります。

${\displaystyle S_{\rm {fi}}=\langle \{q\}\ \mathrm {out} |\{p\}\ \mathrm {in} \rangle }$

一定の運動量{ p }で準備された粒子の集合が相互作用し、後に運動量{ q }を持つ新しい粒子の集合として測定される確率振幅です。

イン状態とアウト状態を構築する簡単な方法^{[注 1]は、適切な}生成演算子と消滅演算子を提供する適切なフィールド演算子を探すことです。これらのフィールドはそれぞれインフィールドとアウトフィールドと呼ばれます。

考えを整理するために、我々には関係のない何らかの方法で相互作用する クライン・ゴードン場を扱っていると仮定します。

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi \partial ^{\mu }\varphi -{\frac {1}{2}}m_{0}^{2}\varphi ^{2}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$には、自己相互作用 gφ ³や、湯川相互作用 のような他の場との相互作用が含まれる場合があります。このラグランジアンから、オイラー・ラグランジュ方程式を使用すると、運動方程式は次のようになります。 ${\displaystyle g\ \varphi {\bar {\psi }}\psi }$

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m_{0}^{2}\right)\varphi (x)=j_{0}(x)}$

ここで、微分結合を含まない 場合:${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$

${\displaystyle j_{0}={\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}{\partial \varphi }}}$

遠い過去には粒子が互いに離れているため、現在のj ₀によって記述される相互作用は無視できると仮定すると、 x ⁰ → −∞のときのinフィールドは自由場の漸近的挙動に似ていると予想できます。この仮説は断熱仮説と呼ばれます。しかし、自己相互作用は決して消えることはなく、他の多くの効果に加えて、ラグランジアン質量m ₀とφボソンの物理的質量mの間に差を引き起こします。この事実は、運動方程式を次のように書き直すことによって考慮する必要があります。^{[引用が必要]}

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi (x)=j_{0}(x)+\left(m^{2}-m_{0}^{2}\right)\varphi (x)=j(x)}$

この方程式は、クライン・ゴルドン演算子の遅延グリーン関数を使用して正式に解くことができます。 ${\displaystyle \partial ^{2}+m^{2}}$

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {ret} }(x)=i\theta \left(x^{0}\right)\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}k}{(2\pi )^{3}2\omega _{k}}}\left(e^{-ik\cdot x}-e^{ik\cdot x}\right)_{k^{0}=\omega _{k}}\qquad \omega _{k}={\sqrt {\mathbf {k} ^{2}+m^{2}}}}$

漸近的な動作から相互作用を分離することができます。解決策は次のとおりです。

${\displaystyle \varphi (x)={\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)+\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)j(y)}$

係数√ Z は後で役立つ正規化係数であり、フィールドφ_は運動方程式に関連付けられた 同次方程式の解です。

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi _{\mathrm {in} }(x)=0,}$

したがって、これは、入ってくる摂動されていない波を記述する自由場であり、解の最後の項は、相互作用による波の 摂動を与えます。

φ _in場はまさに我々が探していたin場であり、相互作用場の漸近的挙動をx ⁰ → −∞として記述するが、この記述は後でより正確に述べられる。これは自由スカラー場なので、平面波で展開できる。

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {in} }(x)=\int \mathrm {d} ^{3}k\left\{f_{k}(x)a_{\mathrm {in} }(\mathbf {k} )+f_{k}^{*}(x)a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} )\right\}}$

どこ：

${\displaystyle f_{k}(x)=\left.{\frac {e^{-ik\cdot x}}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}(2\omega _{k})^{\frac {1}{2}}}}\right|_{k^{0}=\omega _{k}}}$

体に関する係数の逆関数は簡単に得られ、次のような簡潔な形式で表すことができます。

${\displaystyle a_{\mathrm {in} }(\mathbf {k} )=i\int \mathrm {d} ^{3}xf_{k}^{*}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)}$

どこ：

${\displaystyle {\mathrm {g} }{\overleftrightarrow {\partial _{0}}}f=\mathrm {g} \partial _{0}f-f\partial _{0}\mathrm {g} .}$

フーリエ係数は生成消滅演算子の代数を満たす。

${\displaystyle [a_{\mathrm {in} }(\mathbf {p} ),a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )]=0;\quad [a_{\mathrm {in} }(\mathbf {p} ),a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {q} )]=\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} );}$

これらは通常の方法で状態 を構築するために使用できます。

${\displaystyle \left|k_{1},\ldots ,k_{n}\ \mathrm {in} \right\rangle ={\sqrt {2\omega _{k_{1}}}}a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} _{1})\ldots {\sqrt {2\omega _{k_{n}}}}a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} _{n})|0\rangle }$

相互作用場とインフィールドの関係は、あまり簡単に使えるものではなく、遅延グリーン関数の存在により、次のように書きたくなります。

${\displaystyle \varphi (x)\sim {\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)\qquad \mathrm {as} \quad x^{0}\to -\infty }$

暗黙的に、粒子が互いに離れているときはすべての相互作用が無視できるという仮定を立てています。しかし、電流j ( x )には、質量がm ₀からmにシフトするような自己相互作用も含まれています。これらの相互作用は、粒子が離れていくにつれて消えることはないため、相互作用場とインフィールドの間の漸近関係を確立する際には細心の注意を払う必要があります。

Lehmann、Symanzik、Zimmermann によって開発された正しい処方箋では、2 つの正規化可能な状態と、およびKlein–Gordon 方程式の正規化可能な解f  ( x )が必要です。これらを使用して、正しくて有用ですが、非常に弱い漸近関係を述べることができます。 ${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle |\beta \rangle }$ ${\displaystyle (\partial ^{2}+m^{2})f(x)=0}$

${\displaystyle \lim _{x^{0}\to -\infty }\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi (x)|\beta \rangle ={\sqrt {Z}}\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)|\beta \rangle }$

2 番目の要素は実際には時間に依存しません。これは、微分してφ _inとf の両方がクライン・ゴードン方程式を満たすこと を思い出すことで示せます。  

適切な変更を加えると、同じ手順に従って、アウト状態を構築するアウトフィールドを構築できます。特に、アウトフィールドの定義は次のとおりです。

${\displaystyle \varphi (x)={\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {out} }(x)+\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {adv} }(x-y)j(y)}$

ここで、Δ _adv ( x − y )はクライン・ゴルドン演算子の高度なグリーン関数です。出力場と相互作用場の間の弱い漸近関係は、次のとおりです。

${\displaystyle \lim _{x^{0}\to \infty }\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi (x)|\beta \rangle ={\sqrt {Z}}\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {out} }(x)|\beta \rangle }$

漸近関係は、LSZ 縮小式を得るために必要なすべてです。将来の便宜のために、行列要素から始めます。

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})|\alpha \ \mathrm {in} \rangle }$

これはS行列要素よりも若干一般的です。実際、 は、出力状態と入力状態の間の多数のフィールドの時間順序付けされた積の期待値です。出力状態には、真空から不定数の粒子まで何でも含めることができ、その運動量はインデックスβでまとめられます。入力状態には、少なくとも運動量pの粒子が 1 つ含まれ、おそらく他の多くの粒子も含まれ、その運動量はインデックスαでまとめられます。時間順序付けされた積にフィールドがない場合、 は明らかにS行列要素です。運動量pの粒子は、生成演算子を使用して 入力状態から「抽出」できます。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \varphi (y_{1})\cdots \varphi (y_{n})}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\sqrt {2\omega _{p}}}\ \left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} ){\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle }$

ここで、上のプライムは1 つの粒子が取り出されたことを表します。運動量pの粒子が出力状態に存在しない、つまり前方散乱を無視していると仮定すると、次のように書くことができます。 ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\sqrt {2\omega _{p}}}\ \left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\left\{\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} )-a_{\mathrm {out} }^{\dagger }(\mathbf {p} )\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\right\}{\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle }$

左辺に作用するとゼロになるからです。構築演算子をinフィールドとoutフィールドで表現すると、次のようになります。 ${\displaystyle a_{\mathrm {out} }^{\dagger }}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {2\omega _{p}}}\ \int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\left\{\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\varphi _{\mathrm {in} }(x)-\varphi _{\mathrm {out} }(x)\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\right\}{\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle }$

ここで漸近条件を使用して次のように記述できます。

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\left\{\lim _{x^{0}\to -\infty }\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\varphi (x)|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle -\lim _{x^{0}\to \infty }\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\varphi (x)\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle \right\}}$

次に、フィールドφ ( x ) は、 x ⁰ → −∞のときは右側に、 x ⁰ → ∞のときは左側に現れるので、時間順序付き積の内側に持ち込むことができることに気づく。

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\left(\lim _{x^{0}\to -\infty }-\lim _{x^{0}\to \infty }\right)\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle }$

以下では、時間順の積における x依存性が重要なので、次のように設定します。

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle =\eta (x)}$

時間積分を明示的に行うことで次のことが示されます: ^{[注 2]}

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} (x^{0})\partial _{0}\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\eta (x)}$

したがって、明示的な時間微分により、次のようになります。

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} ^{4}x\left\{f_{p}(x)\partial _{0}^{2}\eta (x)-\eta (x)\partial _{0}^{2}f_{p}(x)\right\}}$

定義によれば、f _p  ( x ) はクライン・ゴルドン方程式の解であり、次のように表すことができます。  

${\displaystyle \partial _{0}^{2}f_{p}(x)=\left(\Delta -m^{2}\right)f_{p}(x)}$

を式に代入し、部分積分すると次のようになります。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} ^{4}xf_{p}(x)\left(\partial _{0}^{2}-\Delta +m^{2}\right)\eta (x)}$

つまり、

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\int \mathrm {d} ^{4}xe^{-ip\cdot x}\left(\Box +m^{2}\right)\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle }$

この結果から始めて、同じパスをたどると、別の粒子をin状態から抽出することができ、時間順序付けされた製品に別のフィールドが挿入されます。非常によく似たルーチンでout状態から粒子を抽出でき、この 2 つを反復して時間順序付けされた製品の右側と左側の両方に真空を取得できます。これにより、一般的な式が得られます。

${\displaystyle \langle p_{1},\ldots ,p_{n}\ \mathrm {out} |q_{1},\ldots ,q_{m}\ \mathrm {in} \rangle =\int \prod _{i=1}^{m}\left\{\mathrm {d} ^{4}x_{i}{\frac {ie^{-iq_{i}\cdot x_{i}}\left(\Box _{x_{i}}+m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\prod _{j=1}^{n}\left\{\mathrm {d} ^{4}y_{j}{\frac {ie^{ip_{j}\cdot y_{j}}\left(\Box _{y_{j}}+m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\langle \Omega |\mathrm {T} \varphi (x_{1})\ldots \varphi (x_{m})\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})|\Omega \rangle }$

これは、クライン・ゴードン スカラーの LSZ 縮小式です。相関関数のフーリエ変換を使用して記述すると、はるかに見栄えがよくなります。

${\displaystyle \Gamma \left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)=\int \prod _{i=1}^{n}\left\{\mathrm {d} ^{4}x_{i}e^{ip_{i}\cdot x_{i}}\right\}\langle \Omega |\mathrm {T} \ \varphi (x_{1})\ldots \varphi (x_{n})|\Omega \rangle }$

逆変換を使用して LSZ 削減式に代入すると、多少の労力で次の結果が得られます。

${\displaystyle \langle p_{1},\ldots ,p_{n}\ \mathrm {out} |q_{1},\ldots ,q_{m}\ \mathrm {in} \rangle =\prod _{i=1}^{m}\left\{-{\frac {i\left(p_{i}^{2}-m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\prod _{j=1}^{n}\left\{-{\frac {i\left(q_{j}^{2}-m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\Gamma \left(p_{1},\ldots ,p_{n};-q_{1},\ldots ,-q_{m}\right)}$

正規化係数を別にすれば、この式は、S行列要素は、4 元運動量がオンシェルに置かれたときに相関関数のフーリエ変換で生じる極の剰余であると主張しています。

量子化された自由場ディラック方程式の解は次のように書けること を思い出してください。

${\displaystyle \Psi (x)=\sum _{s=\pm }\int \!\mathrm {d} {\tilde {p}}{\big (}b_{\textbf {p}}^{s}u_{\textbf {p}}^{s}\mathrm {e} ^{ip\cdot x}+d_{\textbf {p}}^{\dagger s}v_{\textbf {p}}^{s}\mathrm {e} ^{-ip\cdot x}{\big )},}$

ここで、計量シグネチャは大部分がプラスで、は運動量とスピン のb 型粒子に対する消滅演算子、はスピン の d 型粒子に対する生成演算子、スピノルと はおよび を満たします。ローレンツ不変測度は と書かれ、 です。ここで、散乱が発生する原点の相互作用領域に接近する非相互作用粒子のin状態と、それに続く出ていく非相互作用粒子のout状態からなる散乱イベントを考えます。このプロセスの確率振幅は次のように与えられます。 ${\displaystyle b_{\textbf {p}}^{s}}$${\displaystyle {\textbf {p}}}$${\displaystyle s=\pm }$${\displaystyle d_{\textbf {p}}^{\dagger s}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle u_{\textbf {p}}^{s}}$${\displaystyle v_{\textbf {p}}^{s}}$${\displaystyle (p\!\!\!/+m)u_{\textbf {p}}^{s}=0}$${\displaystyle (p\!\!\!/-m)v_{\textbf {p}}^{s}=0}$${\displaystyle \mathrm {d} {\tilde {p}}:=\mathrm {d} ^{3}p/(2\pi )^{3}2\omega _{\textbf {p}}}$${\displaystyle \omega _{\textbf {p}}={\sqrt {{\textbf {p}}^{2}+m^{2}}}}$${\displaystyle |\alpha \ \mathrm {in} \rangle }$${\displaystyle |\beta \ \mathrm {out} \rangle }$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |\alpha \ \mathrm {in} \rangle ,}$

ここで、単純化のため、余分な時間順の場の演算子の積は挿入されていない。考慮される状況は、b型粒子のb型粒子への散乱である。in状態は運動量とスピンを持つ粒子で構成され、out状態は運動量とスピンを持つ粒子を含むと仮定する。in状態とout状態は次のように与えられる。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n'}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{{\textbf {p}}_{1},...,{\textbf {p}}_{n}\}}$${\displaystyle \{s_{1},...,s_{n}\}}$${\displaystyle \{{\textbf {k}}_{1},...,{\textbf {k}}_{n'}\}}$${\displaystyle \{\sigma _{1},...,\sigma _{n'}\}}$

${\displaystyle |\alpha \ \mathrm {in} \rangle =|{\textbf {p}}_{1}^{s_{1}},...,{\textbf {p}}_{n}^{s_{n}}\rangle \quad {\text{and}}\quad |\beta \ \mathrm {out} \rangle =|{\textbf {k}}_{1}^{\sigma _{1}},...,{\textbf {k}}_{n'}^{\sigma _{n'}}\rangle .}$

から入ってくる粒子を取り出すと、粒子が1つ少ない状態で自由場生成演算子が作用する。出ていく粒子が同じ運動量を持たないと仮定すると、次のように書ける。 ${\displaystyle |\alpha \ \mathrm {in} \rangle }$${\displaystyle b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {in} }^{\dagger s_{1}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {in} }^{\dagger s_{1}}-b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {out} }^{\dagger s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ,}$

ここで、上のプライムは1つの粒子が取り出されたことを表す。自由理論では、b型粒子演算子は逆関係を使って場の項で表すことができることを思い出そう。 ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle b_{\textbf {p}}^{\dagger s}=\int \!\mathrm {d} ^{3}x\;\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s},}$

ここで、漸近自由場を と で表すと、 ${\displaystyle {\bar {\Psi }}(x)=\Psi ^{\dagger }(x)\gamma ^{0}}$${\displaystyle \Psi _{\text{in}}}$${\displaystyle \Psi _{\text{out}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\int \!\mathrm {d} ^{3}x_{1}\;\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\text{in}}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}-{\bar {\Psi }}_{\text{out}}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

ディラック場に必要な弱漸近条件は、スカラー場の場合と同様に、

${\displaystyle \lim _{x^{0}\rightarrow -\infty }\int \!\mathrm {d} ^{3}x\langle \beta |\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s}|\alpha \rangle ={\sqrt {Z}}\int \!\mathrm {d} ^{3}x\langle \beta |\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}_{\text{in}}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s}|\alpha \rangle ,}$

外場も同様である。散乱振幅は

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {1}{\sqrt {Z}}}{\Big (}\lim _{x_{1}^{0}\rightarrow -\infty }-\lim _{x_{1}^{0}\rightarrow +\infty }{\Big )}\int \!\mathrm {d} ^{3}x_{1}\;\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ,}$

ここで相互作用場は内積に現れる。この極限を時間微分の積分で書き直すと、

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-{\frac {1}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\partial _{0}{\big (}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle {\big )}}$

${\displaystyle =-{\frac {1}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}(\partial _{0}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\eta (x_{1})+\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\partial _{0}\eta (x_{1}){\big )}\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}},}$

ここで、棒ディラック場の行列要素の行ベクトルは と書きます。ここで、 はディラック方程式の解であることを思い出してください。 ${\displaystyle \eta (x_{1}):=\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle }$${\displaystyle \mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}}$

${\displaystyle (-i\partial \!\!\!/+m)\mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}=0.}$

を解き、それを積分の最初の項に代入し、部分積分を実行すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle \gamma ^{0}\partial _{0}\mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}{\big (}i\partial _{\mu }\eta (x_{1})\gamma ^{\mu }+\eta (x_{1})m{\big )}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}.}$

ディラック指数表記法（繰り返し指数の合計）に切り替えると、角括弧内の量が微分演算子とみなされる、よりきれいな表現が可能になります。

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}[(i{\partial \!\!\!/}_{x_{1}}+m)u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}]_{\alpha _{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

次に積分に現れる行列要素について考えてみましょう。入ってくる粒子が同じ運動量を持たないという仮定のもと、 出力状態生成演算子を抽出し、対応する入力状態演算子を減算すると、

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle =\langle \beta '\ \mathrm {out} |b_{{\textbf {k}}_{1},\mathrm {out} }^{\sigma _{1}}{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})-{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})b_{{\textbf {k}}_{1},\mathrm {in} }^{\sigma _{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

（ただし ）であることを覚えておけば、逆関係の随伴関数を使って、フィールド 内の消滅演算子を に置き換えることができます。漸近関係を適用すると、${\displaystyle ({\bar {\Psi }}\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s})^{\dagger }={\bar {u}}_{\textbf {p}}^{s}\gamma ^{0}\Psi }$${\displaystyle {\bar {u}}_{\textbf {p}}^{s}:=u_{\textbf {p}}^{\dagger s}\beta }$

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {Z}}}{\Big (}\lim _{y_{1}^{0}\rightarrow \infty }-\lim _{y_{1}^{0}\rightarrow -\infty }{\Big )}\int \!\mathrm {d} ^{3}y_{1}\mathrm {e} ^{-ik_{1}\cdot y_{1}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{1}}^{\sigma _{1}}\gamma ^{0}]_{\beta _{1}}\langle \beta '\ \mathrm {out} |\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

最初の項は左側に、2番目の項は右側に 時間順序記号が必要であることに注意。前と同じ手順に従うと、この式は次のように簡約される。${\displaystyle \Psi _{\beta _{1}}(y_{1})}$

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}y_{1}\mathrm {e} ^{-ik_{1}\cdot y_{1}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{1}}^{\sigma _{1}}(-i\partial \!\!\!/_{y_{1}}+m)]_{\beta _{1}}\langle \beta '\ \mathrm {out} |\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

残りのinとoutの状態も同様に抽出して縮小することができ、最終的には

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |\alpha \ \mathrm {in} \rangle =\int \!\prod _{j=1}^{n}\mathrm {d} ^{4}x_{j}{\frac {i\mathrm {e} ^{-ip_{j}x_{j}}}{\sqrt {Z}}}[(i{\partial \!\!\!/}_{x_{j}}+m)u_{{\textbf {p}}_{j}}^{s_{j}}]_{\alpha _{j}}\prod _{l=1}^{n'}\mathrm {d} ^{4}y_{l}{\frac {i\mathrm {e} ^{ik_{l}y_{l}}}{\sqrt {Z}}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{l}}^{\sigma _{l}}(-i{\partial \!\!\!/}_{y_{l}}+m)]_{\beta _{l}}\langle 0|\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1})...\Psi _{\beta _{n'}}(y_{n'}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})...{\bar {\Psi }}_{\alpha _{n}}(x_{n})]|0\rangle .}$

同じ手順を d 型粒子の散乱にも実行できます。この場合、 はに置き換えられ、と は交換されます。 ${\displaystyle u_{\textbf {p}}^{s}}$${\displaystyle v_{\textbf {p}}^{s}}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle {\bar {\Psi }}}$

インフィールドとアウトフィールドの定義における正規化係数Zの理由は、真空とオンシェルの 4 モーメントを持つ 単一粒子状態との関係を考慮することで理解できます。${\displaystyle |p\rangle }$

${\displaystyle \langle 0|\varphi (x)|p\rangle ={\sqrt {Z}}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle +\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle }$

φとφ は両方ともスカラー場_であり、そのローレンツ変換は次のようになることを覚えておいてください。

${\displaystyle \varphi (x)=e^{iP\cdot x}\varphi (0)e^{-iP\cdot x}}$

ここでP ^μは4元運動量演算子であり、次のように書くことができる。

${\displaystyle e^{-ip\cdot x}\langle 0|\varphi (0)|p\rangle ={\sqrt {Z}}e^{-ip\cdot x}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(0)|p\rangle +\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle }$

クライン・ゴルドン演算子∂ ² + m ²を両辺に適用し、4 次モーメントpがオンシェルであり、Δ _{ret が}演算子のグリーン関数であることを思い出すと、次式が得られます。

${\displaystyle 0=0+\int \mathrm {d} ^{4}y\delta ^{4}(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle ;\quad \Leftrightarrow \quad \langle 0|j(x)|p\rangle =0}$

したがって、次の関係に到達します。

${\displaystyle \langle 0|\varphi (x)|p\rangle ={\sqrt {Z}}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle }$

これは係数Zが必要であることを説明しています。inフィールドは自由場であるため、1 粒子状態と真空のみを接続できます。つまり、真空と多粒子状態間の期待値はゼロです。一方、相互作用場は相互作用のおかげで多粒子状態を真空に接続することもできるため、最後の式の両辺の期待値は異なり、間に正規化係数が必要です。右辺は、inフィールドを生成演算子と消滅演算子で展開することで明示的に計算できます。

${\displaystyle \langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle =\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}q}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}(2\omega _{q})^{\frac {1}{2}}}}e^{-iq\cdot x}\langle 0|a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )|p\rangle =\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}q}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}e^{-iq\cdot x}\langle 0|a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} )|0\rangle }$

との_間の交換関係を用いると次の式が得られます。 ${\displaystyle a_{\mathrm {in} }^{\dagger }}$

${\displaystyle \langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle ={\frac {e^{-ip\cdot x}}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}}$

次の関係が導かれます。

${\displaystyle \langle 0|\varphi (0)|p\rangle ={\sqrt {\frac {Z}{(2\pi )^{3}}}}}$

計算方法を知っていれば、Zの値を計算できます。 ${\displaystyle \langle 0|\varphi (0)|p\rangle }$