秩序理論の用語集

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これは、順序、格子、領域理論の分野に関連する、数学のさまざまな分野で使用される用語の用語集です。順序に関するトピックの構造化されたリストも利用可能です。その他の役立つリソースとしては、以下の概要記事が挙げられます。

• 部分順序の完全性特性
• 分配法則の秩序理論

以下では、部分順序は通常、そのキャリア集合によって表されます。意図する意味が文脈から明らかである限り、${\displaystyle \,\leq \,}$は、事前の導入がなくても、対応する関係記号を表すのに十分である。さらに、< は、によって誘導される厳密な順序を表す。${\displaystyle \,\leq .}$

• 非巡回。二項関係は、「サイクル」を含まない場合、非巡回である。言い換えれば、推移閉包は反対称である。 ^{[ 1 ]}
• 随伴。ガロア接続 を参照してください。
• アレクサンドロフ位相。順序付けられた集合Pに対して、任意の上位集合Oはアレクサンドロフ開集合である。逆に、開集合の任意の共通部分が開集合である場合、その位相はアレクサンドロフ位相である。
• 代数的半順序集合。半順序集合は、コンパクトな要素の基底を持つ場合、代数的である。
• 反鎖。反鎖とは、2つの要素が比較できない半順序集合、すなわち、 x ≤ yとなるような異なる2つの要素xとyが存在しない半順序集合のことである。言い換えれば、反鎖の順序関係は恒等関係に等しい。
• 近似関係。より下の関係を参照。
• 反対称関係。集合X上の同次関係Rは、Xのすべての要素 x 、 y に対してx R yかつy R xならばx = yとなる場合、反対称である。
• 反音。半順序集合PとQの間の反音関数fは、 Pのすべての要素x、yに対して、x ≤ y ( P内)ならばf ( y ) ≤ f ( x ) ( Q内) となる関数です。この性質の別の名前は順序反転です。解析学では、全順序が存在する場合、このような関数は単調減少関数と呼ばれることが多いですが、これは全順序でない場合にはあまり便利な表現ではありません。双対概念は単調または順序保存と呼ばれます。
• 非対称関係。集合X上の同次関係Rは、すべての要素x、 y ∈ Xに対してx R yならばy R xでは。
• 原子。最小要素が0である半順序集合Pにおける原子とは、0と等しくないすべての要素の中で最小の要素のことである。
• 原子。最小要素が 0 である原子順序集合Pとは、 Pのすべての非ゼロ要素xに対して、 a ≤ xとなるPの原子a が存在するような順序集合のことである。

• 基本。連続半順序集合を参照。
• 二項関係。2つの集合間の二項関係。${\displaystyle X{\text{ および }}Y}$これは、それらのデカルト積の部分集合です。${\displaystyle X\times Y.}$
• ブール代数。ブール代数は、最小要素が0、最大要素が1である分配束であり、すべての要素xには補集合¬xが存在し、x∧¬x = 0 およびx∨¬x = 1が成り立つ。
• 有界半順序集合。有界半順序集合とは、最小要素と最大要素を持つ半順序集合のことです。
• 有界完全。半順序集合は、その部分集合の上限を持つすべての集合が、その上限の最小値も持つ場合に有界完全である。双対概念は一般的ではない。

• チェーン。チェーンは、全順序集合または半順序集合の全順序部分集合です。全順序も参照してください。
• チェーン完全。すべてのチェーンが最小上界を持つ部分順序集合。
• 閉包演算子。半順序集合P上の閉包演算子は、単調で冪等であり、すべてのx ∈ Pに対してC ( x ) ≥ x を満たす関数C  : P → Pです。
• コンパクト。半順序集合の要素xは、それ自身よりはるかに小さい場合、つまりx << xである場合、コンパクトである。また、そのようなxは有限であるとも言う。
• 比較可能。半順序集合Pの2 つの要素xとy は、 x ≤ yまたはy ≤ x のいずれかである場合に比較可能である。
• 比較可能性グラフ。半順序集合 ( P , ≤)、頂点集合Pを持ち、辺が ≤ (特にその反射的簡約 <) の下で比較可能なPの異なる要素のペアであるグラフです。
• 完全ブール代数。完全束であるブール代数。
• 完全ハイティング代数。完全束であるハイティング代数を完全ハイティング代数と呼びます。この概念は、フレームとロケールの概念と一致します。
• 完全束。完全束とは、任意の（場合によっては無限の）結合（上限）と交わり（下限）が存在する半順序集合のことである。
• 完全半順序。完全半順序、またはcpo は、最小要素を持つ有向完全半順序(qv)です
• 完全な関係。接続された関係の同義語。
• 完全半束。完全半束の概念は、さまざまな方法で定義されます。完全性（順序理論）に関する記事で説明されているように、すべての上限またはすべての下限が存在する半順序集合は、すでに完全束です。したがって、完全半束の概念は、完全束の概念と一致するために使用されることがあります。他の場合、完全（ミート）半束は、有界完全cposとして定義されます。これは、すでに完全束ではない半順序集合の中で最も完全なクラスであると言えるでしょう。
• 完全分配束。完全束は、任意の結合が任意の交点に対して分配的である場合に完全分配的である。
• 完備化。半順序集合の完備化とは、半順序集合を完備束に順序埋め込みすることである。
• カットによる完成。デデキント＝マクニール完成の同義語。
• 連結関係。集合X上の全関係または完全関係Rは、 Xのすべての要素x、 yに対して、 x R yまたはy R xの少なくとも一方がという性質を持つ。
• 連続半順序集合。半順序集合は、基底、つまりPの部分集合Bを持ち、 Pのすべての要素xが { y in B | y << x }に含まれる有向集合の上限である場合に連続である。
• 連続関数。スコット連続関数を参照。
• 逆。順序 < の逆 <° は、y < x のときいつでも x <° y となることです。
• カバー。半順序集合Pの要素y は、 x < yであり、 x < z < yとなるPの要素zが存在しない場合、 Pの要素xをカバーすると言われます ( xのカバーと呼ばれます) 。
• cpo .完全な部分順序を参照してください。

• dcpo。有向完全部分順序を参照してください。
• デデキント・マクニール完備化。半順序集合のデデキント・マクニール完備化とは、その集合を含む最小の完備束のことである。
• 稠密順序。稠密な半順序集合Pとは、 Pのすべての要素xとyに対して、 x < y を満たすPの要素zが存在し、 x < z < y を満たすような半順序集合のことである。Pの部分集合Q は、 Pの任意の要素x < yに対して、 x < z < yを満たすQの要素zが存在する場合、 Pにおいて稠密である。
• 順序の乱れ。集合の要素の順列で、どの要素も元の位置に戻らないもの。
• 有向集合。半順序集合Pの空でない部分集合Xは、 Xのすべての要素xとyに対して、 x ≤ zかつy ≤ zとなるようなXの要素zが存在する。双対概念はフィルタリングされた集合と呼ばれる。
• 有向完全半順序。半順序集合Dは、 Dのすべての有向部分集合が上限を持つ場合、有向完全半順序集合、またはdcpoと呼ばれる
• 分配的。束Lは、 Lのすべてのx、 y、およびzに対して、 x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z )が成り立つ場合、分配的であると呼ばれる。この条件は、その順序双対と同等であることが知られている。半束は、すべての要素a、 bおよびxに対して、 a ∧ b ≤ xが、 a' ∧ b' = xとなる要素a' ≥ aおよびb' ≥ bの存在を意味する場合、分配的である。完全分配的も参照。
• ドメイン。ドメインとは、ドメイン理論で研究されるような対象を指す一般的な用語です。使用する場合は、さらに定義が必要です。
• 下方セット。下方セットを参照。
• 双対。半順序集合 ( P , ≤) に対して、双対順序P ^d = ( P , ≥) は、 y ≤ xの場合に限りx ≥ y と定義されます。P の双対順序はP ^opと表記されることもあり、反対順序または逆順序とも呼ばれます。任意の順序理論の概念は、与えられた集合の順序双対に元の命題を適用することによって定義される双対概念を誘導します。これにより、≤ と ≥ が交換され、出会いと結合、ゼロと単位が取り替えられます。

• 拡張。集合X上の部分順序 ≤ および ≤′ について、≤′ は ≤ の拡張である。ただし、Xのすべての要素xおよびyに対して、x ≤ yならばx ≤′ yが成り立つ場合に限る。

• フィルタ。半順序集合Pの部分集合Xがフィルタ付き上集合である場合、フィルタと呼ばれます。双対概念はイデアルと呼ばれます。
• フィルタリング済み。半順序集合Pの空でない部分集合Xは、 Xのすべての要素xとyに対して、 z ≤ xかつz ≤ yとなるようなXの要素zが存在する場合、フィルタリング済みと呼ばれます。双対概念は有向と呼ばれます。
• 有限要素法。コンパクトを参照。
• フレーム。フレームFは完全束であり、 FのすべてのxとFのすべての部分集合Yに対して、無限分配法則x ∧${\displaystyle \bigvee }$Y =${\displaystyle \bigvee }${ x ∧ y | y in Y } が成り立つ。フレームはロケールや完全ハイティング代数とも呼ばれる。

• ガロア接続。2 つの半順序集合PとQが与えられたとき、単調関数のペアF : P → QとG : Q → Pは、すべてのx ∈ Pおよびy ∈ Qに対してF ( x ) ≤ yがx ≤ G ( y )と同値である場合、ガロア接続と呼ばれます。FはGの下側随伴関数と呼ばれ、 GはFの上側随伴関数と呼ばれます。
• 最大要素。半順序集合Pの部分集合Xにおいて、 Xの要素a は、 Xのすべての要素xに対してx ≤ aが成り立つ場合、 Xの最大要素と呼ばれます。この対義語は最小要素と呼ばれます。
• 基底集合。半順序集合 ( X , ≤)の基底集合は、半順序 ≤ が定義されている集合Xです。

• ハイティング代数。ハイティング代数Hは、関数f _a : H → H ( f _a ( x ) = a ∧ xで与えられる) が、 Hのすべての要素aに対してガロア接続の下随伴となるような有界束です。 f _aの上随伴はg _aで表され、 g _a ( x ) = a ⇒; xです。すべてのブール代数はハイティング代数です。
• ハッセ図。ハッセ図は、有限半順序集合を推移的簡約の図の形で表すために使用される数学図の一種です。
• 同次関係。集合上の同次関係${\displaystyle X}$は、${\displaystyle X\times X.}$言い換えれば、それは二項関係である${\displaystyle X}$そしてそれ自身も。

• イデアル。イデアルとは、半順序集合Pの部分集合Xで、有向下集合であるものです。双対概念はフィルターと呼ばれます。
• 接続代数。半順序集合の接続代数は、区間上のすべてのスカラー値関数の結合代数であり、加算とスカラー乗算は点ごとに定義され、乗算は特定の畳み込みとして定義されます。詳細は接続代数を参照してください。
• 下限。半順序集合PとPの部分集合Xに対して、 Xの下限集合の中で最大の要素(存在する場合。存在しない場合もある)をXの下限、最大下限、または最大下限と呼びます。これは inf Xまたは${\displaystyle \bigwedge }$X。2 つの要素の下限は、inf{ x , y } またはx ∧ yと表記できます。集合Xが有限である場合、有限下限と呼ばれます。双対概念は上限と呼ばれます。
• 区間。半順序集合Pの2 つの要素a、 bに対して、区間[ a、 b ] は、 Pの部分集合 { x ∈ P | a ≤ x ≤ b }。a ≤ b が成り立たない場合、区間は空になります。
• 区間有限半順序集合。半順序集合Pは、{x in P | x ≤ a} の形のすべての区間が有限集合である場合、区間有限である。 ^{[ 2 ]}
• 逆。逆を参照。
• 非反射的。集合X上の関係Rは、 Xの要素xが存在してx R xとなる。
• 等音。単調を参照。

• 参加する。最高峰を見る。

• 束。束とは、空でないすべての有限結合（上限）と交わり（下限）が存在する半順序集合のことである。
• 最小元。半順序集合Pの部分集合Xに対して、 Xの要素aがXの最小元であるとは、 Xのすべての要素 x に対してa ≤ xが成り立つ場合をいう。この対義語は最大元と呼ばれる。
• 鎖の長さは、要素の数から1を引いた数です。要素が1つの鎖の長さは0、要素が2つの鎖の長さは1、といった具合です。
• 線形。全次数を参照してください。
• 線形拡張。半順序の線形拡張とは、線形順序または全順序となる拡張のことです。
• ロケール。ロケールは完全なヘイティング代数です。ロケールはフレームとも呼ばれ、ストーン双対性やポイントレストポロジーに現れます。
• 局所的に有限な半順序集合。半順序集合Pは、すべての区間 [ a , b ] = { x ∈ P | a ≤ x ≤ b } が有限集合である場合、局所的に有限である。
• 下限。半順序集合Pの部分集合Xの下限とは、 Pの要素bであって、 Xのすべてのxに対してb ≤ xを満たすものを指します。この双対概念は上限と呼ばれます。
• 下集合。半順序集合Pの部分集合Xは、 Xのすべての要素xとPのすべての要素pに対して、 p ≤ xならばpがXに含まれると呼ばれる。この対義語は上集合と呼ばれる。

• 極大鎖。半順序集合において、要素を追加しても全順序性を失うことのない鎖。これは飽和鎖よりも強い条件であり、鎖のすべての要素よりも小さい要素、またはすべての要素よりも大きい要素の存在も排除する。有限飽和鎖は、半順序集合の最小要素と最大要素の両方を含む場合に限り、極大鎖となる。
• 最大要素。半順序集合 P の部分集合Xの最大要素とは、 Xの要素mであって、すべてのx ∈ Xに対してm ≤ xならばm = xとなるような要素のことである。双対概念は最小要素と呼ばれる。
• 最大要素。最大要素の同義語。半順序集合Pの部分集合Xに対して、 Xの要素aは、Xのすべての要素xに対してx ≤ aが成り立つ場合、 Xの最大要素と呼ばれます。最大要素は必ず最大ですが、その逆は必ずしも成り立ちません。
• 会う。最小値を参照。
• 最小要素。半順序集合 P の部分集合Xの最小要素とは、 Xの要素mであって、すべてのx ∈ Xに対してx ≤ mならばm = xとなるような要素のことである。この双対概念は最大要素と呼ばれる。
• 最小要素。最小要素の同義語。半順序集合Pの部分集合Xに対して、 Xの要素a は、 Xのすべての要素xに対してx ≥ a が成り立つ場合、 Xの最小要素と呼ばれます。最小要素は必ず最小ですが、その逆は必ずしも成り立ちません。
• 単調性。半順序集合PとQの間の関数fは、 Pのすべての要素x、 yに対して、 x ≤ y ( P内)ならばf ( x ) ≤ f ( y ) ( Q内) が成り立つ場合、単調である。この性質の他の名称は、等調性および順序保存性である。解析学では、全順序が存在する場合、このような関数は単調増加関数と呼ばれることが多いが、これは非全順序を扱う場合にはあまり便利な表現ではない。双対概念は、反調性または順序反転性と呼ばれる。

• 順序双対。半順序集合の順序双対は、半順序関係をその逆関係に置き換えた同じ集合です。
• 順序埋め込み。半順序集合PとQの間の関数fは、 Pのすべての要素x、 yに対して、 x ≤ y (in P )がf ( x ) ≤ f ( y ) (in Q ) と同等である場合、順序埋め込みである。
• 順序同型。2つの半順序集合PとQの間の写像f : P → Qは、全単射であり、 fとf ⁻¹の両方が単調関数である、順序同型と呼ばれます。同等に、順序同型は全射順序埋め込みです。
• 順序を保持する。単調を参照。
• 順序を反転させる。反音を参照。

• 部分順序。部分順序とは、反射律、反対称律、推移律を満たす二項関係のことです。用語の誤用として、この用語は、そのような関係ではなく、それに対応する部分順序集合を指す場合にも用いられることがあります。
• 部分的に順序付けられた集合。部分的に順序付けられた集合${\displaystyle (P,\leq ),}$または略してポセットは、${\displaystyle P}$部分順序とともに${\displaystyle \,\leq \,}$の上${\displaystyle P.}$
• 半順序集合。
• 前順序。前順序とは、反射的かつ推移的な二項関係です。このような順序は、準順序または非厳密前順序とも呼ばれます。前順序という用語は、非巡回二項関係（非巡回有向グラフとも呼ばれるを表すためにも使用されます。
• 予約注文セット。予約注文セット${\displaystyle (P,\leq )}$セット${\displaystyle P}$予約注文と併せて${\displaystyle \,\leq \,}$の上${\displaystyle P.}$
• 保存性。半順序集合PとQの間の関数fは、 Pのすべての部分集合Xに対して、 Pに上限 sup Xが存在する場合、上限 (結合)を保存すると言います。sup{ f ( x ): x ∈ X } が存在し、 f (sup X )と等しいことがわかれば、この関数は上限 (結合)を保存すると言います。このような関数は、結合保存関数とも呼ばれます。同様に、f は有限、空でない、有向、または任意の結合 (または交わり) を保存すると言います。逆の性質は、結合反映関数と呼ばれます。
• 素イデアル。束LにおけるイデアルIは、 Lのすべての要素xとyに対して、 Iのx ∧ yならば、 Iのxまたはyのいずれかが成り立つ場合に素イデアルであると言います。この双対概念は素イデアルフィルタと呼ばれます。同様に、集合が素イデアルフィルタであるのは、その補集合が素イデアルである場合のみです。
• 主要素。フィルターが最小要素を持つ場合、そのフィルターは主要素フィルターと呼ばれます。同様に、主要素イデアルは最大要素を持つイデアルです。これらの場合、最小要素または最大要素は主要素とも呼ばれます
• 射影（演算子） 。関数合成に関して単調かつ冪等な、半順序集合上の自己写像。射影は領域理論において重要な役割を果たす。
• 擬似補元。ハイティング代数において、要素x ⇒; 0はxの擬似補元と呼ばれます。これは sup{ y  : y ∧ x = 0} によっても与えられ、つまりy ∧ x = 0 となるすべての要素yの最小上界として定義されます。

• 準注文。予約注文を参照。
• 準推移的。異なる要素間の関係が推移的である場合、その関係は準推移的である。推移的であれば準推移的であり、準推移的であれば非巡回的である。 ^{[ 1 ]}

• 反映。半順序集合PとQの間の関数fは、上限 (結合) を反映すると言います。これは、上限 sup{ f ( x ): x ∈ X } が存在し、あるs ∈ Pに対してf ( s )の形をしているPのすべての部分集合Xに対して、sup Xが存在し、sup X = sであることがわかります。同様に、 f は有限、空でない、有向、または任意の結合 (または交わり) を反映すると言います。逆の性質は結合保存と呼ばれます。
• 反射的。集合X上の二項関係Rは、 Xのすべての要素xに対してx R xが成り立つ場合、反射的である。
• 残余。残余写像に付随する双対写像。
• 残余写像。主ダウンセットの逆像が再び主となるような単調写像。言い換えれば、ガロア接続の1つの成分。

• 飽和鎖。半順序集合において、2つの要素の間に要素を追加すると、完全順序性という性質が失われるような鎖。鎖が有限である場合、これは連続する要素の任意のペアにおいて、大きい方の要素が小さい方の要素を覆うことを意味する。最大鎖も参照。
• 散在的。全順序が散在的であるとは、密に順序付けられた部分集合を持たない場合をいう。
• スコット連続。半順序集合PとQの間の単調関数f  : P → Qは、 Pにおいて上限 sup Dを持つ任意の有向集合Dに対して、集合 { fx | x ∈ D } がQにおいて上限f (sup D ) を持つ場合、スコット連続である。言い換えれば、スコット連続関数とは、すべての有向上限を保存する関数である。これは実際には、それぞれの半順序集合上のスコット位相に関して連続であることと同値である。
• スコット領域。スコット領域は、有界な完全代数的cpoである半順序集合です。
• スコット開環。スコット位相を参照。
• スコット位相。半順序集合Pに対して、部分集合Oがスコット開集合であるとは、O が上集合であり、 Oに上限を持つすべての有向集合DがOと空でない共通部分を持つ場合をいう。すべてのスコット開集合の集合は位相を形成し、これをスコット位相と呼ぶ。
• 半束。半束とは、有限で空でない結合（上限）または有限で空でない交点（下限）のいずれかが存在する半順序集合のことです。したがって、結合半束または交点半束と呼ばれます。
• 最小要素。最小要素を参照。
• 半順序集合のスペルナー特性
• スペルナーのポセット
• 厳密にシュペルナーのポセット
• 強いスペルナーの順序集合
• 厳密な順序。厳密な部分順序を参照。
• 厳密な部分順序。厳密な部分順序とは、推移的、非反射的、反対称的な同次二項関係のことです。
• 厳密な事前注文。厳密な部分注文を参照してください。
• 上限。半順序集合PとPの部分集合Xに対して、 Xの上限集合の最小要素(存在する場合。存在しない場合もある) を、 Xの上限、結合、または最小上限と呼びます。これは sup Xまたは${\displaystyle \bigvee }$X。2 つの要素の上限は、sup{ x , y } またはx ∨ yと表記できます。集合Xが有限の場合、有限上限と呼ばれます。双対概念は下限と呼ばれます。
• 鈴村一貫性。二項関係 R は、x R ^∗ y がx R yまたはy R xではないことを意味する場合、鈴村一貫性を持つ。^{[ 1 ]}
• 対称関係。集合X上の同次関係Rは、 Xのすべての要素x、 yに対してx R yならばy R xが成り立つ場合、対称である。

• 上部。ユニットを参照。
• 全順序。全順序Tは、 Tの任意のxとyに対してx ≤ yまたはy ≤ xが成り立つような半順序です。全順序は、線形順序または連鎖とも呼ばれます。
• 完全な関係。接続された関係の同義語。
• 推移的関係。集合X上の関係Rは、 Xのすべての要素x、 y、 zに対してx R yおよびy R zならばx R zが成り立つ場合、推移的である。
• 推移閉包。関係 R の推移閉包 R ^{∗ は}、有限連鎖x R a、 a R b、 ...、 z R yが存在するすべてのペアx、 yから構成される。 ^{[ 1 ]}

• 単位。半順序集合Pの最大の要素は、単位または単に1 (存在する場合)と呼ばれます。この要素の別の一般的な用語はトップです。これは空集合の下限であり、 Pの上限です。双対概念はゼロと呼ばれます。
• 動揺した。上位セットを参照。
• 上限。半順序集合Pの部分集合Xの上限とは、 Pの要素bであって、 Xのすべてのxに対してx ≤ bを満たすものを指す。この対義語は下限と呼ばれる。
• 上集合。半順序集合Pの部分集合Xは、 Xのすべての要素xとPのすべての要素pに対して、 x ≤ pならばpがXに含まれる場合、上集合と呼ばれる。この双対概念を下集合と呼ぶ。

• 評価。格子が与えられた場合${\displaystyle X}$評価${\displaystyle \nu :X\to [0,1]}$厳格です（つまり、${\displaystyle \nu (\varnothing )=0}$)、単調、モジュール式 (つまり、${\displaystyle \nu (U)+\nu (V)=\nu (U\cup V)+\nu (U\cap V)}$）そして正の値。連続的な評価は、尺度の一般化です。

• 下方関係。半順序集合Pにおいて、ある要素xがyよりはるかに小さいとは、上限を持つPのすべての有向部分集合Dに対して、 y ≤ sup Dならば、 D内の何らかのdに対してx ≤ d が成り立つ場合をいいます。また、 x がy に近似するとも言います。領域理論も参照してください。
• 弱い順序。集合X上の部分順序 ≤ は、部分集合 (X, ≤) が濃度の比較によって順序付けられた集合の可算集合と同型である場合に、弱い順序である。

• ゼロ。半順序集合Pの最小要素は、ゼロまたは単に0と呼ばれます(存在する場合)。この要素の別の一般的な用語は、ボトムです。ゼロは空集合の上限であり、 Pの下限です。双対概念は単位と呼ばれます。

ここで示されている定義は、以下の標準的な参考書に記載されている定義と一致しています。

• B.A. Davey および H.A. Priestley、『格子と秩序入門』第 2 版、ケンブリッジ大学出版局、2002 年。
• G. Gierz、KH Hofmann、K. Keimel、JD Lawson、M. Mislove、DS Scott、「連続格子と領域」、数学とその応用百科事典、第93巻、ケンブリッジ大学出版局、2003年。

具体的な定義：

• Deng, Bangming (2008),有限次元代数と量子群, 数学概説およびモノグラフ、第 150巻、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-4186-0