渦

渦の力学における重要な概念は渦度であり、これは流体中のある点における局所的な回転運動を、その点と共に移動する観測者からどのように知覚されるかを表すベクトルです。概念的には、渦度は、問題の点に流体と共に自由に動く小さな粗い球を置き、その中心軸を中心にどのように回転するかを観察することによって観察できます。渦度ベクトルの方向は、この仮想の球の回転軸の方向（右手の法則による）として定義され、その長さは球の角速度の2倍です。数学的には、渦度は流体の速度場の回転（またはカール）として定義され、通常はで表されます。${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ベクトル解析式で表す${\displaystyle \nabla \times {\vec {\mathit {u}}}}$、 どこ${\displaystyle \nabla }$はナブラオペレーターであり、${\displaystyle {\vec {\mathit {u}}}}$は局所流速である。^{[ 5 ]}

渦度によって測定される局所的な回転${\displaystyle {\vec {\omega }}}$外部環境または任意の固定軸に対する流体のその部分の角速度ベクトルと混同してはならない。特に渦においては、${\displaystyle {\vec {\omega }}}$渦軸に対する流体の平均角速度ベクトルとは逆方向になる可能性がある。

理論上、渦の中の粒子の速度u（したがって渦度）は、軸からの距離rによって様々な形で変化する可能性がある。しかし、重要な特殊なケースが 2 つある。

• 流体が剛体のように回転する場合、つまり角速度Ωが一定で、回転軸からの距離rに比例してuが増加する場合、流れに運ばれる小さな球も、あたかもその剛体の一部であるかのように、その中心を中心に回転します。このような流れでは、渦度はどこでも同じです。渦度の方向は回転軸に平行で、その大きさは回転中心の周りの流体の 均一な角速度Ωの2倍に等しくなります。

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\Omega }}&=(0,0,\Omega ),\quad {\vec {r}}=(x,y,0),\\{\vec {u}}&={\vec {\Omega }}\times {\vec {r}}=(-\Omega y,\Omega x,0),\\{\vec {\omega }}&=\nabla \times {\vec {u}}=(0,0,2\Omega )=2{\vec {\Omega }}.\end{aligned}}}$

• 粒子速度u が軸からの距離rに反比例する場合、仮想の試験球は自己回転せず、渦軸の周りを円運動しながら同じ向きを維持する。この場合、渦度は${\displaystyle {\vec {\omega }}}$その軸上にないどの点でもゼロであり、流れは非回転であると言われる。

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\Omega }}&=\left(0,0,\alpha r^{-2}\right),\quad {\vec {r}}=(x,y,0),\\{\vec {u}}&={\vec {\Omega }}\times {\vec {r}}=\left(-\alpha yr^{-2},\alpha xr^{-2},0\right),\\{\vec {\omega }}&=\nabla \times {\vec {u}}=0.\end{aligned}}}$

非回転渦

外部からの力が加わらない場合、渦は通常、流れの速度u が距離rに反比例する非回転流パターンへと比較的速やかに進化します。非回転渦は自由渦とも呼ばれます。

非回転渦の場合、渦軸を囲まない閉じた輪郭に沿って循環はゼロとなり、渦軸を一度囲む輪郭では固定値Γとなる。 ^{[ 6 ]}粒子速度の接線成分は次のようになる。${\displaystyle u_{\theta }={\tfrac {\Gamma }{2\pi r}}}$したがって、渦軸に対する単位質量あたりの角運動量は一定である。${\displaystyle ru_{\theta }={\tfrac {\Gamma }{2\pi }}}$。

自由空間における理想的な非回転渦流は物理的に実現不可能である。なぜなら、それは粒子速度（したがって粒子を円軌道に維持するために必要な力）が渦軸に近づくにつれて際限なく増加することを意味するからである。実際、実際の渦には、粒子速度の増加が止まり、rがゼロに近づくにつれてゼロに減少する中心領域が常に軸の周囲に存在する。その領域内では、流れはもはや非回転ではなく、渦度は${\displaystyle {\vec {\omega }}}$はゼロ以外になり、方向は渦軸とほぼ平行になります。ランキン渦は、 rが固定距離r ₀より小さい領域では剛体回転流、その中心領域の外側では非回転流を仮定したモデルです。

粘性流体では、非回転流はあらゆる場所に粘性散逸を含みますが、正味の粘性力はなく、粘性応力のみがあります。^{[ 7 ]}散逸のため、非回転粘性渦を維持するには、中心部で継続的に仕事を入力する必要があります（たとえば、中心部で円筒を一定の速度で回転させるなど）。自由空間では中心部にエネルギー入力がないため、中心部に保持されたコンパクトな渦度は自然に外側に拡散し、中心部は徐々に減速し徐々に増大する剛体流に変わり、元の非回転流に囲まれます。このような減衰する非回転渦は、粘性ナビエ・ストークス方程式の厳密解を持ち、ラム・オセーン渦として知られています。

回転渦

回転渦（剛体と同じように回転する渦）は、流体自体の運動によって生じるものではない何らかの外部力が加えられない限り、その状態を永久に維持することはできない。回転渦は、中心部以外のあらゆる場所でゼロではない渦度を持つ。回転渦は、剛体渦または強制渦とも呼ばれる。

例えば、水を入れたバケツを垂直軸を中心に一定の角速度wで回転させると、水は最終的に剛体のように回転します。粒子は円を描いて移動し、速度u はwrに等しくなります。^{[ 6 ]}この場合、水の自由表面は放物線状になります。

この状況では、剛体回転容器が、水中に内向きの圧力勾配という追加の力を発生させ、剛体流が非回転状態に移行するのを防ぐ。

渦構造は、流体粒子の局所的な回転速度である渦度によって定義されます。渦構造は、流体が表面上を移動し、滑りなし条件により流体速度からゼロまで急激に加速される際に発生する境界層剥離と呼ばれる現象によって形成されます。この急激な負の加速により境界層が形成され、壁面で流体の局所的な回転（すなわち渦度）が生じます。これは壁面せん断速度と呼ばれます。この境界層の厚さは、${\displaystyle \surd (vt)}$（ここで、vは自由流速、tは時間である。）

容器または流体の直径や厚さが境界層の厚さよりも小さい場合、境界層は剥離せず、渦は形成されません。しかし、境界層がこの臨界境界層の厚さを超えて成長すると、剥離が発生し、渦が生成されます。

この境界層剥離は、逆方向の圧力勾配（すなわち、下流で発生する圧力）が存在する場合にも発生する可能性があります。これは、曲面や凸面などの一般的な形状変化において見られます。形状が大きく変化する特異な例として、鈍体後縁が挙げられます。この部分では、流体の流れが減速し、境界層や渦の形成が生じます。

境界における渦形成のもう一つの形態は、流体が壁に垂直に流れ込み、飛沫効果を生み出す場合である。速度流線は直ちに偏向され減速するため、境界層が分離し、環状渦輪が形成される。^{[ 8 ]}

静止した渦では、典型的な流線（流速ベクトルに常に接する線）は軸を囲む閉じたループであり、各渦線（渦度ベクトルに常に接する線）は軸にほぼ平行です。流速と渦度の両方に常に接する面は渦管と呼ばれます。一般に、渦管は回転軸の周りに入れ子状に配置されます。回転軸自体は渦線の1つであり、直径がゼロの渦管の極限的な場合です。

ヘルムホルツの定理によれば、渦線は流体中で始点または終点を持つことはできない。ただし、非定常流において、渦が形成または消滅する瞬間は例外である。一般に、渦線（特に軸線）は閉じたループ状であるか、流体の境界で終わる。渦巻きは後者の例であり、すなわち、軸が自由表面で終わる水中の渦である。渦線がすべて閉じている渦管は、閉じたトーラス状の表面となる。

新たに発生した渦は、開いた端を持つ渦線をなくすように、速やかに伸びて曲がります。例えば、飛行機のエンジンを始動すると、通常、各プロペラ、あるいは各ジェットエンジンのターボファンの前方に渦が形成されます。渦線の一方の端はエンジンに付着し、もう一方の端は通常、地面に達するまで伸びて曲がります。

渦が煙やインクの軌跡によって可視化されると、螺旋状の軌跡や流線があるように見えることがあります。しかし、この外観はしばしば錯覚であり、流体粒子は閉じた経路を移動しています。流線とみなされる螺旋状の筋は、実際には、もともと複数の渦管にまたがっていたマーカー液の雲が、不均一な流速分布によって螺旋状に引き伸ばされたものです。

渦の中の流体の動きは、（静水圧に加えて）動圧を生み出します。この動圧は、軸に最も近い中心領域で最も低く、中心から離れるにつれて増加します。これはベルヌーイの原理に従います。つまり、この圧力勾配によって流体は軸の周りを曲線を描くように流れるのです。

密度が一定の流体の剛体渦流では、動圧は軸からの距離rの二乗に比例します。重力場が一定の場合、液体の自由表面が存在する場合は、凹面放物面になります。

流体密度が一定で円筒対称な非回転渦流では、動圧はP _∞ − ⁠ K / r ² ⁠のように変化します。ここで、P _∞は軸から無限遠にあるときの限界圧力です。圧力は負にはなり得ないため、この式はコアの範囲に対する別の制約となります。自由表面（存在する場合）は軸線の近くで急激に沈み、その深さはr ²に反比例します。自由表面によって形成される形状は双曲面、または「ガブリエルの角笛」（エヴァンジェリスタ・トリチェリによる）と呼ばれます。

空気中の渦の中心は、中心部の低圧によって断熱冷却が起こり、水蒸気が凝結するため、目に見えることがあります。竜巻の漏斗はその一例です。渦線が境界面で終わると、圧力の低下によってその面から物質が中心部に引き込まれることもあります。例えば、塵旋風は、地面に付着した空気渦の中心によって巻き上げられた塵の柱です。水面の自由表面で終わる渦（浴槽の排水口の上によくできる渦など）は、中心部に向かって空気の柱を引き込むことがあります。駐機中の飛行機のジェットエンジンから伸びる前方の渦は、水や小石を中心部に吸い込み、エンジン内部に送り込むことがあります。

渦は定常状態である必要はなく、移動したり形状を変えたりすることもあります。移動する渦では、粒子の経路は閉じた曲線ではなく、らせんやサイクロイドのような開いたループ状の曲線になります。渦流は、放射状または軸方向の流れパターンと組み合わされることもあります。その場合、流線と経路線は閉じた曲線ではなく、それぞれ螺旋またはらせん状になります。これは竜巻や排水路の渦巻きに当てはまります。らせん状の流線を持つ渦は、ソレノイド渦と呼ばれます。

粘性や拡散の影響が無視できる限り、移動する渦の中の流体は渦と共に運ばれます。特に、渦の中心部にある流体（および渦に閉じ込められた物質）は、渦が移動しても中心部に留まる傾向があります。これはヘルムホルツの第2定理の結果です。したがって、渦は（表面波や圧力波とは異なり）その大きさに比べてかなりの距離にわたって質量、エネルギー、運動量を輸送することができ、驚くほど分散が少ないのです。この効果は煙の輪で実証されており、渦輪のおもちゃや銃に利用されています。

ほぼ平行で同じ方向に回転する2つ以上の渦は引き合い、最終的に合体して1つの渦を形成します。その渦の循環は、構成する渦の循環の合計に等しくなります。例えば、揚力を発生させている飛行機の翼は、後縁に小さな渦のシートを作り出します。これらの小さな渦は合体して、後縁から翼弦1本分下流に1つの翼端渦を形成します。この現象は、プロペラブレードなどの他の能動翼型でも発生します。一方、逆方向に回転する2つの平行な渦（飛行機の2つの翼端渦など）は、分離したままになる傾向があります。

渦は流体の円運動によって相当量のエネルギーを蓄えています。理想的な流体では、このエネルギーは決して散逸せず、渦は永遠に存在し続けます。しかし、実際の流体は粘性を示し、この粘性によって渦の中心からエネルギーが非常にゆっくりと散逸します。渦線が流体の境界ではなく、流体内部で終端するのは、この粘性によるエネルギー散逸によってのみ可能なのです。

• Loper, David E. (1966年11月).閉じ込められた磁気流体力学的渦流の解析(PDF) (NASA契約報告書 NASA CR-646). ワシントン: 米国航空宇宙局. LCCN 67060315 . 
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• ファルコヴィッチ、G. (2011).流体力学：物理学者のための短期講座. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1-107-00575-4。
• De La Fuente Marcos, C.; Barge, P. (2001). "原始惑星系円盤の中央面における塵粒子のダイナミクスに対する長寿命渦状循環の影響" .Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 323 (3): 601–614 . Bibcode : 2001MNRAS.323..601D . doi : 10.1046/j.1365-8711.2001.04228.x .