円筒周りのポテンシャル流

数学において、円筒の周りのポテンシャル流は、流れに直交する円筒の周りの非粘性、非圧縮性流体の流れに対する古典的な解法である。円筒から離れたところでは、流れは一方向で均一である。流れには渦がなく、したがって速度場は非回転であり、ポテンシャル流としてモデル化できる。実際の流体とは異なり、この解は物体に対する正味の抗力がゼロであることを示しており、これはダランベールのパラドックスとして知られている。

半径 Rの円筒（または円板）を 2 次元の非圧縮性非粘性流れの中に置きます。目標は、円筒から離れた速度ベクトル（単位ベクトルiとjに対する相対速度ベクトル）が次の式で表されるという条件のもとで、平面内の定常速度ベクトルVと圧力 p を見つけることです。 ^[1]

${\displaystyle \mathbf {V} =U\mathbf {i} +0\mathbf {j} \,,}$

ここでUは定数であり、円筒の境界では

${\displaystyle \mathbf {V} \cdot \mathbf {\hat {n}} =0\,,}$

ここで、n̂ は円筒面の法線ベクトルです。上流の流れは均一で渦はありません。流れは非粘性、非圧縮性で、一定の質量密度 ρ を持ちます。したがって、流れは渦がなく、非回転であると言われ、どこでも∇ × V = 0です。非回転であるため、速度ポテンシャル φ が存在する必要があります。

${\displaystyle \mathbf {V} =\nabla \phi \,.}$

非圧縮性なので、∇ · V = 0であり、φ はラプラスの方程式を満たす必要があります。

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0\,.}$

φの解は、極座標 rとθで最も簡単に得られます。これは、従来の直交座標とx = r cos θおよびy = r sin θで関連しています。極座標では、ラプラス方程式は次のようになります (円筒座標と球面座標の Del を参照)。

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \phi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \theta ^{2}}}=0\,.}$

境界条件を満たす解は^[2]である。

${\displaystyle \phi (r,\theta )=Ur\left(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)\cos \theta \,.}$

極座標における速度成分は、極座標における∇φの成分から得られます 。

${\displaystyle V_{r}={\frac {\partial \phi }{\partial r}}=U\left(1-{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)\cos \theta }$

そして

${\displaystyle V_{\theta }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}=-U\left(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta \,.}$

ベルヌーイの方程式は非粘性かつ非回転であるため、圧力場の解を速度場から直接得ることができます。

${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}\rho \left(U^{2}-V^{2}\right)+p_{\infty },}$

ここで定数Uとp _∞は、シリンダーから離れたところでp → p _∞となるように現れ、 V = Uとなる。V 2 = Vを用いると^、2
_r+ V^2θ
_​、

${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}\rho U^{2}\left(2{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\cos(2\theta )-{\frac {R^{4}}{r^{4}}}\right)+p_{\infty }\,.}$

図では、「圧力」と呼ばれる色付きのフィールドは、

${\displaystyle 2{\frac {p-p_{\infty }}{\rho U^{2}}}=2{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\cos(2\theta )-{\frac {R^{4}}{r^{4}\,}}.}$

円筒の表面、つまりr = Rでは、圧力は、 θ = 0およびθ = πの停滞点での最大値 1 (図では赤で表示) から、円筒の側面のθ = ⁠での最小値 -3 (青で表示)まで変化します。π/2⁠そしてθ = ⁠3π/2同様に、 Vはよどみ点のV = 0から側面の低圧部のV = 2 U^{まで変化します。 [1]}

流れは非圧縮性であるため、流れ関数は次のように求められる。

${\displaystyle \mathbf {V} =\nabla \psi \times \mathbf {k} \,.}$

この定義から、ベクトルの恒等式を用いると、

${\displaystyle \mathbf {V} \cdot \nabla {\psi }=0\,.}$

したがって、 ψの一定値の等高線も流線、つまりVに接する線になります。円柱を過ぎる流れについては、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle \psi =U\left(r-{\frac {R^{2}}{r}}\right)\sin \theta \,.}$

ラプラス方程式は線形であり、最も基本的な偏微分方程式の1つです。この単純な方程式は、非回転性と非圧縮性の制約により、Vとp の両方の完全な解をもたらします。V と pの解が得られたら、圧力勾配と加速度の一貫性がわかります。

上流のよどみ点における動圧の値は⁠1/2⁠ ρU ² 。速度Uの自由流を減速するために必要な値。この同じ値が下流のよどみ点に現れ、この高圧は流れをゼロ速度に減速するために再び必要です。この対称性は、流れが完全に摩擦なしであるためにのみ生じます。

流れの 求心加速を実現するためには、シリンダー側面の低圧が必要です。

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial r}}={\frac {\rho V^{2}}{L}}\,,}$

ここでLは流れの曲率半径である。^[3]しかしL≈R、V≈Uである。したがって、求心加速度の式を距離Δr≈Rにわたって積分すると 、

${\displaystyle p-p_{\infty }\approx -\rho U^{2}\,.}$

正確な解は、最低圧力の場合、

${\displaystyle p-p_{\infty }=-{\tfrac {3}{2}}\rho U^{2}\,.}$

求心加速度を与えるために存在しなければならない低圧は、流体が高圧から低圧へ移動するとき、流速も増加させます。したがって、流れの最大速度V = 2 Uは、シリンダーの側面の低圧部分にあります。

V > Uの値は、流体の体積保存則と一致します。シリンダーが流れの一部をブロックしているため、シリンダーの中心を通り流れを横切る平面のどこかで、 V がUより大きくなければなりません。

この理想的なソリューションの対称性により、シリンダーの前面だけでなく背面にもよどみ点が存在します。前面と背面の圧力分布は同一であるため、シリンダーの抗力がゼロになるという特異な特性が生じます。この特性はダランベールのパラドックスとして知られています。理想的な非粘性流体とは異なり、シリンダーを通過する粘性流は、粘度がどれだけ小さくても、シリンダーの表面に隣接して薄い境界層を形成します。境界層の剥離が発生し、シリンダーの後ろの流れに後流が残ります。シリンダーの後流側の各ポイントの圧力は上流側よりも低くなり、下流方向に抗力が生じます。

円筒上の圧縮性流れのポテンシャルの問題は、1913年にO. Janzen ^[4]によって、また1916年にLord Rayleigh ^[5]によって、小さな圧縮性効果を伴って初めて研究されました。ここで、小さなパラメータはマッハ数 の2乗であり、cは音速です。すると、速度ポテンシャルに関する一次近似の解は次のようになります。 ${\displaystyle \mathrm {M} ^{2}=U^{2}/c^{2}\ll 1}$

${\displaystyle \phi (r,\theta )=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\cos \theta -\mathrm {M} ^{2}{\frac {Ur}{12}}\left[\left({\frac {13a^{2}}{r^{2}}}-{\frac {6a^{4}}{r^{4}}}+{\frac {a^{6}}{r^{6}}}\right)\cos \theta +\left({\frac {a^{4}}{r^{4}}}-{\frac {3a^{2}}{r^{2}}}\right)\cos 3\theta \right]+\mathrm {O} \left(\mathrm {M} ^{4}\right)\,}$

円柱の半径は ここです。${\displaystyle a}$

構成にわずかな摂動を加えた円筒周りの流れの通常の摂動解析は、ミルトン・ヴァン・ダイク（1975）に載っています。^[6]以下では、ε は小さな正のパラメータ、 a は円筒の半径を表します。より詳細な解析と議論については、ミルトン・ヴァン・ダイクの 1975 年の著書「流体力学における摂動法」を参照してください。^[6]

ここで、円筒の半径はr = aではなく、わずかに歪んだ形r = a (1 − ε sin ² θ )です。すると、一次近似の解は次のようになります。

${\displaystyle \psi (r,\theta )=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta +\varepsilon {\frac {Ur}{2}}\left({\frac {3a^{2}}{r^{2}}}\sin \theta -{\frac {a^{4}}{r^{4}}}\sin 3\theta \right)+\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)}$

ここで、円筒の半径は時間とともにわずかに変化するので、r = a (1 + ε  f ( t ))となる。すると、一次近似の解は次のようになる。

${\displaystyle \psi (r,\theta ,t)=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta +\varepsilon Ur\left({\frac {a^{2}}{Ur}}\theta f'(t)-{\frac {2a^{2}}{r^{2}}}f(t)\sin \theta \right)+\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)}$

一般に、自由流の速度Uは均一、つまりψ = Uyですが、ここでは外側の流れに小さな渦度が加わります。

ここで速度の線形せん断が導入されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=U\left(y+{\frac {1}{2}}\varepsilon {\frac {y^{2}}{a}}\right)\,,\\[3pt]\omega &=-\nabla ^{2}\psi =-\varepsilon {\frac {U}{a}}\quad {\text{as }}x\rightarrow -\infty \,,\end{aligned}}}$

ここでεは小さなパラメータである。支配方程式は

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =-\omega (\psi )\,.}$

すると、一次近似の解は

${\displaystyle \psi (r,\theta )=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta +\varepsilon {\frac {Ur}{4}}\left({\frac {r}{a}}(1-\cos 2\theta )+{\frac {a^{3}}{r^{3}}}\cos 2\theta -{\frac {a}{r}}\right)+\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)\,.}$

ここで、外側の速度に放物線状のせん断が導入されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=U\left(y+{\tfrac {1}{6}}\varepsilon {\frac {y^{3}}{a^{2}}}\right)\,,\\\omega &=-\nabla ^{2}\psi =-\varepsilon U{\frac {y}{a^{2}}}\quad {\text{as }}x\rightarrow -\infty \,.\end{aligned}}}$

すると、一次近似の解は

${\displaystyle \psi (r,\theta )=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta +\varepsilon {\frac {Ur}{6}}\left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}\sin ^{2}\theta -3r\ln r\sin \theta +\chi \right)+\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)\,,}$

ここで、χ は境界条件を復元するラプラス方程式の同次解です。

不浸透性円筒の表面圧力係数を C _psとします。

${\displaystyle C_{\mathrm {ps} }={\frac {p_{s}-p_{\infty }}{{\tfrac {1}{2}}\rho U^{2}}}=1-4\sin ^{2}\theta =2\cos 2\theta -1\,,}$

ここで、p _{s は}不浸透性円筒の表面圧力である。ここで、C _{pi を}円筒内部の圧力係数とすると、わずかな多孔性によるわずかな法線速度は次のように表される。

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}=\varepsilon U\left(C_{\mathrm {pi} }-C_{\mathrm {ps} }\right)=\varepsilon U\left(C_{\mathrm {pi} }+1-2\cos 2\theta \right)\quad {\text{at }}r=a\,,}$

しかし、ゼロネットフラックス条件

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\,\mathrm {d} \theta =0}$

C _pi = −1となる。したがって、

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}=-2\varepsilon rU\cos 2\theta \quad {\text{at }}r=a\,.}$

すると、一次近似の解は

${\displaystyle \psi (r,\theta )=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta -\varepsilon U{\frac {a^{3}}{r^{2}}}\sin 2\theta +\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)\,.}$

円筒が軸方向（z軸）に可変半径を持つ場合、 r = a ( 1 + ε sin ⁠ず/b⁠ ）の場合、3次元速度ポテンシャルによる一次近似の解は

${\displaystyle \phi (r,\theta ,z)=Ur\left(1+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\cos \theta -2\varepsilon Ub{\frac {K_{1}\left({\frac {r}{b}}\right)}{K_{1}'\left({\frac {r}{b}}\right)}}\cos \theta \sin {\frac {z}{b}}+\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)\,,}$

ここでK ₁ ( ⁠r/b⁠ ）は、第1種の1次の修正ベッセル関数です。

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