ホドグラフ

ホドグラフは、物体または流体の動きをベクトル的に視覚的に表現する図です。これは、可変ベクトルの一方の端の軌跡であり、もう一方の端は固定されています。 ^[1]このような図にプロットされたデータの位置は、移動する粒子の速度に比例します。 ^[2]これは速度図とも呼ばれます。これはジェームズ・ブラッドリーによって使用されたようですが、その実用的な開発は主にウィリアム・ローワン・ハミルトン卿によるもので、 1846年に王立アイルランドアカデミーの紀要でその説明を発表しました。^[2]

これは物理学、天文学、固体および流体力学において、物質の変形、惑星の運動、または物体のさまざまな部分の速度を含むその他のデータをプロットするために使用されます。

気象学では、ホドグラフは地球の大気の探測から風をプロットするために使用されます。これは、風向が中心軸からの角度で示され、風の強さが中心からの距離で示される極座標図です。右の図の下部には、地上の 4 つの高さでの風の値があります。これらは、ベクトルによってプロットされています。方向は、右上隅で述べたようにプロットされていることに注意する必要があります。 ${\displaystyle {\vec {V}}_{0}}$${\displaystyle {\vec {V}}_{4}}$

ホドグラフやテフィグラムのような熱力学図を使用して、気象学者は次のことを計算できます。

• 風せん断: 連続するベクトルの端点を結合する線は、大気層内の風の方向と値の変化を表します。風せん断は、雷雨の発達とこれらのレベルでの風の将来の発展に関する重要な情報です。
• 乱気流: 風のせん断は、航空に危険をもたらす可能性のある乱気流を示します。
• 温度移流:空気層内の温度変化は、そのレベルの風の方向と次のレベルの風のせん断の方向によって計算できます。北半球では、暖かい空気は大気のレベル間の風のせん断ベクトルの右側にあります。南半球ではその逆になります (熱風を参照)。例のホドグラフを使用すると、南西からの風が風のせん断ベクトルの右側にぶつかります。これは暖かい移流が発生し、そのレベルで空気が温まっていることを意味します。${\displaystyle {\vec {V}}_{3}}$

これは、平面運動における点の速度場を表現する方法です。スケールで描かれた速度ベクトルは、点のパスに対して接線ではなく垂直に表示され、通常はパスの曲率中心から離れた方向を向いています。^[4]

ホドグラフ変換は、非線形偏微分方程式を線形バージョンに変換するために使用される手法です。これは、方程式内の従属変数と独立変数を交換して線形性を達成することから成ります。^[5]

• 視覚的計算は、さまざまな積分計算の問題を解決するのに役立つ関連アプローチです。
• ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル、ケプラー問題を解く例

• ハミルトン、ウィリアム・ローワン。「ホドグラフ、またはニュートンの引力の法則を記号言語で表現する新しい方法」、アイルランド王立アカデミー紀要、第3巻（1847年）、344～353ページ。デビッド・R・ウィルキンス編集（2000年）。
• マクスウェルは著書『物質と運動』の中でこう書いている。

  物体の運動を調査する方法としてのホドグラフの研究は、WR ハミルトン卿によって導入されました。ホドグラフは、方向と大きさにおいて、運動する物体の速度を継続的に表すベクトルの端が描く経路として定義できます。ホドグラフの方法を、軌道が 1 つの平面上にある惑星に適用する場合、ホドグラフが原点の周りを直角に回転し、ホドグラフのベクトルがそれが表す速度に対して平行ではなく垂直になるようにすると便利であることがわかります。

  そして彼はこれらの手法をケプラーの第一法則と第二法則の解析に応用しました。
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• フェインマンの失われた講義: 太陽の周りの惑星の運動、著者:デイビッド・グッドスタイン&ジュディス・R・グッドスタイン( ISBN 0-393-03918-8、WW ノートン & カンパニー: ニューヨーク、1996 年)。この本では、ホドグラフを使用して、ニュートンの運動法則と万有引力法則から楕円 (ケプラー) 軌道を幾何学的に導き出します。 

• ホドグラフ - デンバー大学のジェームズ・B・カルバート博士