絶対値

任意の実数に対して${\displaystyle x}$絶対値または絶対値${\displaystyle x}$は、${\displaystyle |x|}$量の両側に縦棒があり、次のように定義されます^{[ 12 ]}$${\displaystyle |x|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$

絶対値${\displaystyle x}$したがって、は常に正の数かゼロであり、負の数になることはありません。${\displaystyle x}$それ自体は否定的である（${\displaystyle x<0}$)の場合、その絶対値は必ず正になります(${\displaystyle |x|=-x>0}$) ^{[ 13 ]}

解析幾何学の観点から見ると、実数の絶対値は、実数直線上のその数とゼロとの距離であり、より一般的には、2 つの実数の差の絶対値（それらの絶対差）は、それらの間の距離です。^{[ 13 ]}数学における抽象的な距離関数の概念は、差の絶対値の一般化と見なすことができます。^{[ 14 ]}下記の§距離を参照してください。 

平方根記号は正の数に適用すると唯一の正の平方根を表すので、^{[ 15 ]}$${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}.}$$ これは上記の定義と同等であり、実数の絶対値の代替定義として使用できます。^{[ 16 ]}

絶対値には次の 4 つの基本的な性質があります (${\textstyle a}$、${\textstyle b}$（実数）は、この概念を他の領域に一般化するために使用されます。^{[ 17 ]}

定義から、非負性、正定値性、乗法性は容易に明らかです。劣加法性が成り立つことを確認するには、まず次の点に注目してください。${\displaystyle |a+b|=s(a+b)}$どこ${\displaystyle s=\pm 1}$結果が正になるように符号が選ばれています。${\displaystyle -1\cdot x\leq |x|}$そして${\displaystyle +1\cdot x\leq |x|}$したがって、${\displaystyle \pm 1}$の値は${\displaystyle s}$1つは${\displaystyle s\cdot x\leq |x|}$すべての現実のために${\displaystyle x}$。その結果、${\displaystyle |a+b|=s\cdot (a+b)=s\cdot a+s\cdot b\leq |a|+|b|}$ご希望に応じて。

以下に、その他の有用な特性をいくつか示します。これらは、定義から直接導かれる結果であるか、または上記の4つの基本特性から暗示されるものです。

不等式に関する他の2つの有用な性質は次のとおりです。^{[ 19 ]}

これらの関係式は、絶対値を含む不等式を解くために使用できます。例えば、次のようになります。

絶対値は「ゼロからの距離」として、任意の実数間の絶対差を定義するために使用され、実数における標準的な尺度となる。

複素数は順序付けられていないため、冒頭で述べた実数の絶対値の定義を複素数に直接適用することはできません。しかし、実数の絶対値を0からの距離として幾何学的に解釈することは一般化できます。複素数の絶対値は、複素平面上の対応する点と原点とのユークリッド距離によって定義されます。これは、ピタゴラスの定理を用いて計算できます。任意の複素数に対して、 $${\displaystyle z=x+iy,}$$ どこ${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$は実数であり、絶対値またはモジュラスは${\displaystyle z}$と表記される${\displaystyle |z|}$^{[ 20 ]}で定義される$${\displaystyle |z|={\sqrt {\operatorname {Re} (z)^{2}+\operatorname {Im} (z)^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$$ ピタゴラスの加算${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$、 どこ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)=x}$そして${\displaystyle \operatorname {Im} (z)=y}$実部と虚部を表す${\displaystyle z}$それぞれ。虚数部が${\displaystyle y}$はゼロであり、これは実数の絶対値の定義と一致する。${\displaystyle x}$[ ^{20 ]​}

複素数の場合${\displaystyle z}$極形式 で表すと次のようになる。${\displaystyle z=re^{i\theta },}$その絶対値は${\displaystyle |z|=r.}$

複素数の積は${\displaystyle z}$およびその複素共役${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$絶対値が同じであれば、常に非負の実数となる。${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)}$複素数の絶対値${\displaystyle z}$は平方根です ${\displaystyle z\cdot {\overline {z}},}$そのため、これは絶対二乗または二乗モジュラスと呼ばれます。${\displaystyle z}$: ^{[ 20 ]}$${\displaystyle |z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}。$$ これは、実数に対する別の定義を一般化したものである。${\textstyle |x|={\sqrt {x\cdot x}}}$。

複素絶対値は、実絶対値について上述した4つの基本的な性質を共有している。${\displaystyle |z|^{n}=|z^{n}|}$これは乗法性の特殊なケースであり、それ自体で有用な場合が多い。^{[ 20 ]}

実数の絶対値関数は、符号に関係なくその値を返しますが、符号関数（または符号）は、値に関係なくその数の符号を返します。次の式は、これら2つの関数の関係を示しています。

${\displaystyle |x|=x\operatorname {sgn}(x),}$

または

${\displaystyle |x|\operatorname {sgn}(x)=x,}$

そしてx ≠ 0 の場合、

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {x}{|x|}}.}$

させて${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$すると、最小値関数と最大値関数に関して以下の関係が成り立つ。

${\displaystyle |ts|=-2\min(s,t)+s+t}$

そして

${\displaystyle |ts|=2\max(s,t)-st.}$

それぞれのケースを考慮することで、公式を導き出すことができる。${\displaystyle s>t}$そして${\displaystyle t>s}$別々に。

最後の式から、次の式も導き出せる。${\displaystyle |t|=\max(t,-t)}$。

実絶対値関数は、 x ≠ 0のすべてのxに対して導関数を持ち、絶対値関数が微分可能でないx = 0を除いて、符号関数に等しい階段関数で与えられます。^{[ 23 ] [ 24 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\left|x\right|}{dx}}&={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0\end{cases}}\\[7mu]&=\operatorname {sgn} x\quad {\text{for }}x\neq 0.\end{aligned}}}$$

実絶対値関数は、導関数が存在しないような大域的最小値をとる連続関数の例である。

x = 0における| x |の劣微分は区間[ −1, 1 ]である。^{[ 25 ]}   

複素絶対値関数は至るところで連続ですが、コーシー・リーマン方程式に違反するため、複素微分はどこにもありません。^{[ 23 ]}

| x |のxに関する2 階微分は、0 以外ではゼロになります。0 では存在しません。一般化された関数として、2 階微分はディラックのデルタ関数の2 倍として考えることができます。  

実絶対値関数の原始関数（不定積分）は

${\displaystyle \int \left|x\right|dx={\frac {x\left|x\right|}{2}}+C,}$

ここで、Cは任意の積分定数です。これは複素原始関数ではありません。なぜなら、複素原始関数は複素微分可能な（正則な）関数にのみ存在し、複素絶対値関数はそうではないからです。

以下の３つの公式は、連鎖律の特殊な場合である。

${\displaystyle {{\text{d}}^{n} \over {\text{d}}x^{n}}f(|x|)=(\operatorname {sgn} x)^{n}f^{(n)}(|x|)\quad {\text{for }}x\neq 0\,,}$

絶対値が関数の中にある場合、

${\displaystyle {{\text{d}}^{n} \over {\text{d}}x^{n}}|f(x)|=\operatorname {sgn}(f(x))f^{(n)}(x)\quad {\text{for }}f(x)\neq 0\,,}$

絶対値の中に別の関数が含まれている場合。両方を組み合わせると、結果は次のようになります。

${\displaystyle {{\text{d}}^{n} \over {\text{d}}x^{n}}|f(|x|)|=(\operatorname {sgn} x)^{n}\operatorname {sgn}(f(|x|))f^{(n)}(|x|)\quad {\text{for }}x\neq 0,f(|x|)\neq 0\,.}$

これらの公式から部分積分を用いることで、原始関数も求めることができる。

${\displaystyle \int {f(|x|){\text{d}}x}=\operatorname {sgn}(x)F(|x|)\quad {\text{for }}x\neq 0\,,}$

${\displaystyle \int {|f(x)|{\text{d}}x}=\int {{|f(x)| \over f(x)}f(x){\text{d}}x}=\operatorname {sgn}(f(x))F(x)\quad {\text{for }}f(x)\neq 0\,,}$

${\displaystyle \int {|f(|x|)|{\text{d}}x}=\int {{|f(|x|)| \over f(|x|)}f(|x|){\text{d}}x}=\operatorname {sgn}(x)\operatorname {sgn}(f(|x|))F(|x|)\quad {\text{for }}x\neq 0,f(|x|)\neq 0\,,}$

符号関数の導関数が0であると仮定する。

連鎖律と積の法則を用いると、次の式のべき乗法則は次のようになる。${\displaystyle x^{n}|x|^{m}}$次のように書くことができます。

${\displaystyle {{\text{d}} \over {\text{d}}x}x^{n}|x|^{m}=(n+m)x^{n-1}|x|^{m}\,.}$

これは、${\displaystyle n=0}$:

${\displaystyle {{\text{d}} \over {\text{d}}x}|x|^{m}=mx^{-1}|x|^{m}\,.}$

上で述べた実数に対する絶対値の定義は、任意の順序環に拡張できる。すなわち、a が順序環Rの要素である場合、aの絶対値(| a |で表される) は次のように定義される。    $${\displaystyle |a|=\left\{{\begin{array}{rl}a,&{\text{if }}a\geq 0\\-a,&{\text{if }}a<0.\end{array}}\right.}$$ ここで、−aはaの加法逆元、0 は加法単位元、< および ≥ は環の順序に関して通常の意味を持つ。^{[ 26 ]} 

実数の絶対値の4つの基本的な性質を用いることで、絶対値の概念を任意の体へと一般化することができる。その方法は以下のとおりである。

体F上の実数値関数vは、次の 4 つの公理を満たす場合、絶対値(モジュラス、大きさ、値、または評価とも呼ばれる) ^{[ 27 ] [ c ]}と呼ばれる。  

ここで、0 はFの加法単位元を表します。正定値性と乗法性から、v ( 1 ) = 1が成り立ちます。ここで、1 はFの乗法単位元を表します。上記で定義した実数および複素数の絶対値は、任意の体に対する絶対値の例です。  

vがF上の絶対値である場合、 d ( a , b ) = v ( a − b )で定義されるF × F上の関数d は距離関数であり、以下は同等である。  

• dは超距離不等式を満たす${\displaystyle d(x,y)\leq \max(d(x,z),d(y,z))}$Fのすべてのx、y、zについて。 
• ${\textstyle \left\{v\left(\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} \right):n\in \mathbb {N} \right\}}$R内で有界である。 
• ${\displaystyle v\left({\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} \right)\leq 1\ }$すべての${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$。
• ${\displaystyle v(a)\leq 1\Rightarrow v(1+a)\leq 1\ }$すべての人々のために${\displaystyle a\in F}$。
• ${\displaystyle v(a+b)\leq \max\{v(a),v(b)\}\ }$すべての人々のために${\displaystyle a,b\in F}$。

上記の条件のいずれか（したがってすべて）を満たす絶対値は非アルキメデス的であると言われ、そうでない場合はアルキメデス的であると言われる。^{[ 28 ]}

ここでも、実数の絶対値の基本的な性質を少し修正することで、その概念を任意のベクトル空間に一般化することができる。

体F上のベクトル空間V上の実数値関数は、 ‖ · ‖と表され、次の公理を満たす場合、絶対値、またはより一般的にはノルムと呼ばれます。    

FのすべてのaとVのすべてのv、uについて、   

ベクトルのノルムは、その長さまたは大きさとも呼ばれます。

ユークリッド空間の場合${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$、定義される関数

${\displaystyle \|(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$

はユークリッドノルムと呼ばれるノルムです。実数が${\displaystyle \mathbb {R} }$1次元ベクトル空間とみなされる${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$絶対値はノルムであり、任意のpに対してpノルム ( L ^p空間を参照)である。実際、絶対値は 上の「唯一の」ノルムである。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$、つまり、すべてのノルム‖ · ‖  に対して、${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$、‖ x ‖ = ‖ 1 ‖ ⋅ | x |。

複素絶対値は、内積空間におけるノルムの特殊な場合であり、複素平面をユークリッド平面と同一視した場合、ユークリッドノルムと同一となる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$。

すべての合成代数Aには、共役と呼ばれる対合x → x *が存在する。Aにおける要素xとその共役x * の積はN ( x ) = xx * と表記され、 x のノルムと呼ばれる。

実際の数字${\displaystyle \mathbb {R} }$複素数${\displaystyle \mathbb {C} }$、および四元数${\displaystyle \mathbb {H} }$これらはすべて、定値二次形式でノルムが与えられる合成代数である。これらの可除代数における絶対値は、合成代数のノルムの平方根によって与えられる。

一般に、合成代数のノルムは、正定値でない二次形式であり、零ベクトルを持つ場合があります。ただし、除算代数の場合と同様に、要素x がゼロでないノルムを持つ場合、x はx */ N ( x )で与えられる乗法逆元を持ちます。