磁気浮上

磁気浮上（マグレブ）または磁気サスペンションは、物体を磁場以外の支えなしに吊り下げる方法です。磁力は重力やその他の力の影響を打ち消すために使用されます。 ^[2]

磁気浮上に関する 2 つの主な問題は、揚力(重力に対抗するのに十分な上向きの力を提供すること) と安定性(システムが自発的に滑ったり反転したりして揚力が無効になる構成にならないようにすること) です。

磁気浮上は、磁気浮上式鉄道、非接触溶融、磁気軸受、製品展示などに使用されます。

磁性材料およびシステムは、磁場と磁石の面積に応じた力で互いに引き付けたり反発したりすることができます。たとえば、揚力の最も単純な例は、単純な双極子磁石を別の双極子磁石の磁場内に置き、同じ極が互いに向き合うように配置して、磁石間の力によって2 つの磁石が反発することです。

磁気浮上の揚力を生成するために、基本的にあらゆる種類の磁石が使用されてきました。永久磁石、電磁石、強磁性、反磁性、超伝導磁石、導体の誘導電流による磁気などです。

揚力の量を計算するために、磁気圧力を定義することができます。

たとえば、超伝導体に対する磁場の磁気圧力は次のように計算できます。

${\displaystyle P_{\text{mag}}={\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}}$

ここで、は単位面積あたりの力（パスカル）、は超伝導体の真上の磁場（テスラ）、= 4π × 10${\displaystyle P_{\text{mag}}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mu_{0}}$⁻⁷  N·A ⁻²は真空の透磁率である^{。 [3]}

アーンショーの定理は、常磁性材料（強磁性鉄など）のみを使用すると、静的システムが重力に逆らって安定して浮上することは不可能であることを証明しています。^[4]

たとえば、反発する 2 つの単純な双極子磁石によるリフトの最も単純な例は、上部の磁石が横にスライドしたり反転したりすることがあり、どのような磁石の構成でも安定性が得られないことが判明しているため、非常に不安定です。

ただし、サーボ機構、反磁性材料の使用、超伝導、または渦電流を伴うシステムにより、安定性を実現できます。

場合によっては、揚力は磁気反発力によって得られますが、安定性は負荷がほとんどかからない機械的支持によって得られます。これを擬似浮上と呼びます。

静的安定性とは、安定した平衡状態から少しでもずれると、平衡点に戻す力が生じることを意味します。

アーンショウの定理は、静的で巨視的な常磁性場のみを使用して安定して浮上させることは不可能であることを決定的に証明しました。重力、静電、静磁気場の任意の組み合わせで常磁性物体に作用する力は、物体の位置を、よくても少なくとも 1 つの軸に沿って不安定にし、すべての軸に沿って不安定な平衡状態になる可能性があります。ただし、浮上を実現可能にするためのいくつかの可能性があり、たとえば、電子安定化または反磁性材料の使用 (相対透磁率が 1 未満であるため^[5] )。反磁性材料は少なくとも 1 つの軸に沿って安定しており、すべての軸に沿って安定できることが示されています。導体は交流磁場に対して 1 未満の相対透磁率を持つことができるため、単純な AC 駆動の電磁石を使用するいくつかの構成は自己安定です。

浮上システムが負のフィードバックを使用して、発生する可能性のある振動を減衰させることで平衡を維持すると、動的安定性が達成されます。

静磁場の場合、磁力は保存力であるため、内蔵減衰は示されない。実際には、多くの浮上方式は限界的に安定しており、物理システムの非理想性を考慮すると、負の減衰が生じる。この負の減衰により、磁場の不安定な平衡点の周りで指数関数的に増大する振動が発生し、必然的に浮上物体が磁場から放出される。^[6]

一方、動的安定性は、回転面からわずかにずれた極（傾斜と呼ばれる）を持つ永久磁石を、別の双極子磁石を空中に保持できる範囲内で一定速度で回転させることによって達成される。^{[7] [8]}

磁気浮上方式を安定させるには、外部制御システムからの負のフィードバックを使用してシステムに減衰を追加することもできます。これは、いくつかの方法で実現できます。

• ダッシュポット、空気抵抗などの外部機械的減衰（サポート内）。
• 渦電流減衰（電界の影響を受ける導電性金属）
• 浮上物体の同調質量ダンパー
• 電子機器によって制御される電磁石

6 つの軸 (自由度 3 並進と 3 回転) すべてをうまく浮上させて制御するには、永久磁石と電磁石、反磁性体、超伝導体、および引力場と反発場の組み合わせを使用できます。アーンショウの定理によれば、システムが正常に浮上するには少なくとも 1 つの安定した軸が必要ですが、他の軸は強磁性を使用して安定させることができます。

磁気浮上式列車に主に使用されるものは、サーボ安定化電磁サスペンション（EMS）と電動サスペンション（EDS）です。

安定性のためのわずかな機械的制約があれば、疑似浮上を実現するのは比較的簡単なプロセスです。

たとえば、 2 つの磁石が単一の軸に沿って機械的に拘束され、互いに強く反発するように配置されている場合、磁石の 1 つがもう 1 つの磁石の上に浮かぶように動作します。

別の形状では、磁石は引き付けられるが、紐やケーブルなどの張力のある部材によって接触が防止されます。

もう 1 つの例は、シリンダーが吸引磁石の下に吊り下げられ、下からニードル ベアリングによって安定化される Zippe 型遠心分離機です。

もう 1 つの構成は、強磁性 U 字型プロファイルに永久磁石の配列を設置し、強磁性レールと結合したものです。磁束は、第 1 軸を横切る方向にレールを横切り、U 字型プロファイルに閉ループを作成します。この構成では、第 1 軸に沿って安定した平衡状態が生成され、レールが磁束交差点 (最小磁気抵抗) の中心に維持され、磁気的に負荷を支えることができます。もう 1 つの軸では、システムは車輪などの機械的手段によって拘束され、中心に配置されます。^[9]

固定強度の磁石による引力は距離が増すにつれて減少し、距離が近づくにつれて増加します。これは不安定です。安定したシステムには、その逆が必要です。つまり、安定した位置からの変化によって、目標位置に戻る必要があります。

安定した磁気浮上は、浮上する物体の位置と速度を測定し、物体の動きを修正するために 1 つまたは複数の電磁石を継続的に調整するフィードバック ループを使用してサーボ機構を形成することで実現できます。

多くのシステムでは、このようなシステムでは重力に逆らって上向きに引っ張る磁気引力を利用しており、これによりある程度の横方向の安定性が得られますが、磁気引力と磁気反発力を組み合わせて上向きに押し上げるシステムもあります。

どちらのシステムも電磁サスペンション (EMS) の例です。非常に単純な例として、テーブルトップの浮上デモでこの原理が使われており、物体が光線をカットしたり、ホール効果センサー方式を使用して物体の位置を測定したりします。電磁石は浮上する物体の上にあります。物体が近づきすぎると電磁石はオフになり、物体が遠ざかると再びオンになります。このような単純なシステムはあまり堅牢ではありません。はるかに効果的な制御システムもありますが、これは基本的な考え方を示しています。

EMS磁気浮上列車は、次のような浮上方式を採用しています。列車は線路の周囲を回り、下から上方に引っ張られます。サーボ制御により、列車は線路から一定の距離を安全に保たれます。

これらの方式は、レンツの法則による反発力によって機能します。導体に時間とともに変化する磁場が加わると、導体内に電流が発生し、反発効果を引き起こす磁場が生成されます。

こうした種類のシステムは通常、固有の安定性を示しますが、追加の減衰が必要になる場合もあります。

銅、アルミニウム、銀などの非常に優れた電気伝導体でできたベースを磁石の近くに動かすと、導体に（渦）電流が誘導され、磁場の変化に対抗して磁石を反発する反対の磁場が生成されます（レンツの法則）。十分に速い動きであれば、吊り下げられた磁石は金属の上で浮上し、吊り下げられた金属の場合は逆のことが起こります。金属が感知する周波数の表皮深さよりも細い線で作られたリッツ線は、固体導体よりもはるかに効率的に機能します。8の字コイルを使用して、何かを整列させることができます。^[10]

特に技術的に興味深いのは、単極永久磁石の代わりにハルバハ配列を使用した場合です。これにより磁場の強さがほぼ 2 倍になり、渦電流の強さもほぼ 2 倍になります。最終的な効果は揚力の 3 倍以上になります。2 つの対向するハルバハ配列を使用すると、磁場はさらに増加し​​ます。^[11]

ハルバッハアレイは、電気モーターや発電機のジャイロスコープやスピンドルの磁気浮上と安定化にも適しています。

導体は交流電流を流すことで電磁石の上に浮かぶことができます（またはその逆） 。これにより、導体に発生する渦電流により、通常の導体は反磁性体のように動作します。 ^{[12] [13]}渦電流は磁場に反対する独自の磁場を生成するため、導電性物体は電磁石から反発され、磁場のほとんどの磁力線は導電性物体を貫通しなくなります。

この効果には、アルミニウムや銅などの非強磁性だが導電性の高い材料が必要です。強磁性の材料も電磁石に強く引き付けられるため (高周波では磁場が放出される可能性はありますが)、抵抗率が高くなり、渦電流が低くなる傾向があるためです。ここでも、リッツ線が最良の結果をもたらします。

この効果は、電話帳の中にアルミ板を隠して電話帳を浮かせるなどのスタントに使用できます。

高周波（数十キロヘルツ程度）とキロワットの電力では、金属がるつぼによって汚染されるリスクなしに、浮上溶解法を使用して少量の金属を浮上させて溶かすことができる。 ^[14]

振動磁場の発生源として使用されるものの 1 つに、リニア誘導モーターがあります。これは、推進力を提供するだけでなく、浮上させるためにも使用できます。

アーンショウの定理は反磁性体には適用されません。反磁性体は、比透磁率μ _r < 1 (つまり、負の磁化率)のため、通常の磁石とは逆の挙動を示します。反磁性浮上は本質的に安定している可能性があります。

永久磁石は、強力な永久磁石と強力な反磁性体のさまざまな構成によって安定して浮上させることができます。超伝導磁石を使用する場合、永久磁石の浮上は、人間の指の水の小さな反磁性によっても安定させることができます。^[15]

反磁性とは、物体が外部から加えられた磁場と反対の磁場を生成し、その結果物質が磁場に反発する性質のことです。反磁性物質は、磁束線を物質から遠ざける方向に曲げます。具体的には、外部磁場は電子の原子核の周りの軌道速度を変え、磁気双極子モーメントを変化させます。

レンツの法則によれば、これは外部磁場と反対になります。反磁性体とは、透磁率が μ ₀未満(相対透磁率が 1 未満) の物質です。したがって、反磁性は、外部から印加された磁場が存在する場合にのみ物質が示す磁性の一種です。これは一般にほとんどの物質では非常に弱い効果ですが、超伝導体は強い効果を示します。

反磁性の物質は磁場をはじきます。すべての物質は反磁性を持っていますが、その効果は非常に弱く、通常は反対に作用する物体の常磁性または強磁性によって打ち消されます。反磁性成分が強い物質は磁石によってはじかれます。

反磁性浮上は、非常に軽い熱分解グラファイトまたはビスマスを中程度の強さの永久磁石の上に浮かせるのに使用できます。水は主に反磁性であるため、この技術は水滴や、バッタ、カエル、ネズミなどの生きた動物を浮かせるのに使用されています。^[16]しかし、これに必要な磁場は非常に高く、通常は16テスラの範囲であるため、強磁性体が近くにあると重大な問題を引き起こします。カエルの浮上実験で使用されたこの電磁石の動作には、 4MW（4000000ワット）の電力が必要でした。 ^{[16] : 5}

反磁性浮上の最小基準は であり、ここで: ${\displaystyle B{\frac {dB}{dz}}=\mu _{0}\,\rho \,{\frac {g}{\chi }}}$

• ${\displaystyle \chi}$磁化率です
• ${\displaystyle \rho}$物質の密度である
• ${\displaystyle g}$は局所的な重力加速度（地球上では−9.8 m / s ^{2 ）である。}
• ${\displaystyle \mu_{0}}$自由空間の透過性である
• ${\displaystyle B}$磁場は
• ${\displaystyle {\frac {dB}{dz}}}$垂直軸に沿った磁場の変化率です。

ソレノイド磁石の Z方向に沿った理想的な条件を想定すると、

• 水は浮く${\displaystyle B{\frac {dB}{dz}}\approx 1400\ \mathrm {T^{2}/m} }$
• グラファイトは${\displaystyle B{\frac {dB}{dz}}\approx 375\ \mathrm {T^{2}/m} .}$

超伝導体は完全な反磁性体とみなされ、超伝導が最初に形成されるときにマイスナー効果により磁場を完全に排除します。したがって、超伝導浮上は反磁性浮上の特別な例とみなすことができます。タイプ II 超伝導体では、磁石の浮上は超伝導体内の磁束ピンニングによりさらに安定化されます。これにより、浮上システムが反転しても、超伝導体が磁場に対して動かなくなる傾向があります。

これらの原理は、EDS（電気力学的サスペンション）、超伝導ベアリング、フライホイールなど によって活用されています。

列車を浮上させるには非常に強い磁場が必要です。超電導磁気浮上式鉄道には超電導磁気コイルが搭載されていますが、超電導磁気浮上式鉄道の浮上はマイスナー効果によるものではありません。

磁石または適切に組み立てられた磁石の配列は、磁石のベースリングによって生成されるトロイダル磁場内で回転させることによってジャイロ的に安定化されると、重力に対して安定して浮上することができます。ただし、これは歳差運動の速度が上限と下限の両方の臨界しきい値の間にある場合にのみ機能します。つまり、安定領域は空間的にも必要な歳差運動速度においても非常に狭いのです。

この現象を最初に発見したのは、バーモント州の発明家ロイ・M・ハリガンで、彼は1983年にこの現象を基に浮遊装置の特許を取得しました。^{[17]回転安定化を使用したいくつかの装置（人気の}レビトロンブランドの浮遊コマのおもちゃなど）は、この特許を引用して開発されました。大学の研究室向けに非商用の装置が作られており、一般的には一般の人が安全に操作するには強力すぎる磁石を使用しています。

アーンショーの理論は厳密には静的磁場にのみ適用されます。交流磁場、純粋に交流の引力場であっても^[18]安定性を誘発し、磁場を通る軌道を制限して浮上効果を与えることができます。

これは粒子加速器で荷電粒子を閉じ込めて持ち上げるために使われており、磁気浮上式鉄道にも提案されている。^[18]

磁気浮上の既知の用途としては、磁気浮上式鉄道、非接触溶融、磁気軸受、製品展示などがあります。さらに、最近では磁気浮上はマイクロロボットの分野でも研究されています。^[19]

磁気浮上式鉄道（マグレブ）は、多数の磁石による磁気浮上を利用して揚力と推進力を得て、車両（主に列車）を吊り下げ、誘導、推進する輸送システムである。この方法は、車輪付きの 大量輸送システムよりも高速で、静かで、スムーズな運行が可能となる。この技術は、真空トンネル内で運行すれば時速6,400 km（時速4,000マイル）を超える可能性がある。^[20]真空トンネル内で運行しない場合、浮上に必要な電力は通常それほど大きな割合を占めず、他の高速列車と同様に、必要な電力のほとんどは空気抵抗を克服するために使用される。2015～2016年のハイパーループポッドコンペティションの一環として、いくつかの磁気浮上式ハイパーループプロトタイプ車両が開発されており、2016年後半に真空トンネル内で最初のテスト走行が行われる予定である。^[21]

磁気浮上式鉄道の最高速度は、2015年4月21日に日本で記録された時速603キロメートル（時速374.69マイル）で、従来のTGVの速度記録より28.2キロメートル速い。磁気浮上式鉄道は世界中に存在し、計画されている。アジアの注目すべきプロジェクトには、東海旅客鉄道の超電導磁気浮上式鉄道や、現在も運行されている最古の商業用磁気浮上式鉄道である上海の磁気浮上式鉄道がある。他の地域では、ヨーロッパ各地でさまざまなプロジェクトが検討されており、Northeast MaglevはJR東海の超電導磁気浮上式鉄道技術を使用して北米の北東回廊を刷新することを目指している。

• 磁気軸受
• フライホイール
• 遠心分離機
• 磁気リング紡績

1923年にムックが特許を取得した電磁浮上（EML）^[22]は、容器を使用しない実験に使用される最も古い浮上技術の1つです。^[23]この技術は、電磁石を使用して物体を浮上させます。典型的なEMLコイルは、無線周波数電源によって通電される上部と下部のセクションが逆巻きになっています。

マイクロロボットの分野では、磁気浮上を利用した戦略が研究されてきた。特に、このような技術によって、定義された作業空間内で複数のマイクロスケールのエージェントを制御できることが実証されている。^[24]いくつかの研究では、マイクロロボットの望ましい制御を適切に得るために、さまざまなカスタム設定を実現したと報告されている。ハンブルクのフィリップス研究所では、永久磁石と電磁石の両方を統合したカスタム臨床スケールシステムを使用して、単一の磁性体の磁気浮上と3Dナビゲーションを実行した。^[25]別の研究グループは、より多くの電磁石を統合して磁気自由度を高め、磁気浮上による複数のオブジェクトの3D独立制御を実現した。^[26]

磁気浮上を伴うマイクロロボットは、SRIインターナショナル（スタンフォード研究所）によって長年研究されてきました。^[27]この小規模なマルチエージェントロボットシステムは、反磁性マイクロマニピュレーションまたはDM3システムと呼ばれています。^{[28] [29] [30]} DM3には、PCB駆動プラットフォームの表面で浮上して移動する磁石を備えたマイクロロボットが含まれています。このシステムのマイクロロボットは、図File:Microrobot Magnet Disposition.pngに示すNdFeB磁石の配列を使用して構築されました。磁石の寸法はバージョンによって異なりますが、通常は高さが低く、1.4 ^[29] -2 ^[28] mmの正方形の範囲です。磁石の極は、PCBプラットフォームによって生成された磁場に合わせてチェッカーボード配列として配置されました。 SRIの論文でテストされたプロトタイプは主に2×2、^{[28] [29] [31]} 3×3、^[29] 5×5 ^[31]の正方形です。

駆動プラットフォームのPCBは、ボイスコイルアクチュエーションのような多層の配線トレースで構築されています。図[1]に示すように、PCBボードには4層の配線があり、互いに垂直に配置された2セットを表し、X方向とY方向の動きを表しています。上から下に向かって、XYXYの順序で均等に交差し、同じ軸が織り交ぜられてアクチュエーションを制御します。すべての層で生成される力は回路上で同じでなければならないため、より深い層では、上部のロボットに同じ磁力を伝達するために、より高い電流が必要です。SRIでは、0.25A、0.33A、0.5A、および0.7Aの電流セットが使用されました。^[28]上記の4層システムの1つの正方形は、駆動プラットフォーム上のゾーンとして機能します。^[29]これにより、回路は同じゾーン内の複数のロボットを簡単に制御できますが、各ロボットを個別に移動することはできません。ただし、プラットフォームを複数のゾーンに分割して、異なるゾーンのロボットを個別に制御することができます。

最後に、薄い熱分解グラファイト層（500μm）が反磁性層として機能し、安定した浮上を実現するために上部に配置されます。グラファイトの上に配置された薄い銅（15μm）は、システムの 以前のバージョン^{[28]で渦電流減衰のために使用されていました。}

1DOF動作の基本システムは、個別に作動する2つの蛇行したトレースで構成されています。^{[32] [33]}図は、トレースパスの概略図と、その上の3x3磁石マイクロロボットを示しています。位置番号1では、磁石は、同じトレースパスからの2つの反対の電流の間にある、磁束密度が最も高い平衡位置にあります。

1 から 2 に移行すると、最初のトレース パスはオフになり、2 番目のトレース パスはオンになります。これにより、磁石は新しい平衡状態、つまりより高い磁束密度に向かって移動します。

この手順を同じトレース経路上で反対の電流で繰り返すと、目的の方向への動きが生成されます。^[34]

速度を求めるには、マイクロロボットにかかる力を分析する必要があります（図[2]）。マイクロロボットは浮上することになっているため、空気抵抗を除いて摩擦力は発生しませんが、空気抵抗も考慮されていません。

マイクロロボットの磁気モーメントと蛇行トレースの磁束密度の相互作用によって生成される力は次のとおりです。

${\displaystyle F=\nabla ({\overrightarrow {m}}\cdot {\overrightarrow {B}})}$

反磁性浮上の方向要件を考慮すると、磁気モーメント ベクトルは次のようになります。

${\displaystyle {\overrightarrow {m}}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&0&{\frac {B_{r}V_{m}}{\mu _{0}}}\\\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$

一方、最も近い 2 つのトレースによる B フィールドへの寄与は次のようになります。

${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {B}}_{1}+{\vec {B}}_{2}=\ \mu _{0}{\frac {{\vec { I_{1}}}\time {\vec {r}}_{1}}{2\pi \left|{\vec {r}}_{1}\right|^{2}}}+\mu _{0}{\frac {{\vec {I_{2}}}\times {\vec {r}}_{2}}{2\pi \left|{\vec {r}}_{2} \右|^{2}}}}$

この近似は y や z に依存しないため、それらの導関数はゼロになり、x 方向の力のみが生成されます。 ${\displaystyle {\overrightarrow {m}}\cdot {\overrightarrow {B}}}$

${\displaystyle F_{x}={\frac {B_{r}V_{m}I}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {x-\Delta x_{0}}{(x-\Delta x_{0})^{2}+d^{2}}}+{\frac {x+\Delta x_{0}}{(x+\Delta x_{0})^{2}+d^{2}}}\right)}$

これは磁石に作用する唯一の力であり、ロボットの質量と加速度を掛け合わせたものに相当します。この式を積分すると、マイクロロボットの速度が求められます。

${\displaystyle F_{x}=mv{\frac {dv}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {B_{r}V_{m}I}{2\pi m}}\left({\frac {2\Delta x_{0}}{4\Delta x_{0}^{2}+d^{2}}}\right)={\frac {1}{2}}v_{max}^{2}}$

前の式に磁石の体積、質量、密度の関係を導入すると質量が打ち消され、磁石をさらに追加すると（磁石の数 N）、力が直線的に増加することを意味します。 ${\displaystyle V_{m}={\frac {m}{\rho _{m}}}}$

${\displaystyle v_{max}={\sqrt {N{\frac {B_{r}I}{\pi \rho _{m}}}\left({\frac {2\Delta x_{0}}{4\Delta x_{0}^{2}+d^{2}}}\right)}}}$

これは、電流の関数としてのロボットの速度を表す式です。

2 番目の DOF の場合、さらにトレースを追加する必要があります。Y 方向の力を生成するには、既存のトレースの下に 2 つの絡み合った蛇行トレースを追加し、90 度回転させる必要があります。距離が長いため、これらのトレースの強度を高くする必要があります。

反磁性浮上ミリロボットおよびマイクロロボットは、その力のノイズがほぼゼロで制御および移動することができ、本質的に安定させることができます。このようにして、ゾーン制御またはエリア制御を使用する高度に最適化された制御が行われます。^[35]

反磁性浮上はマイクロロボットに2つの効果をもたらします。1つ目は滑り摩擦の低減、2つ目はマイクロロボットの完全浮上です。完全浮上システムが焦点となります。受動浮上を実現するには、反磁性層（グラファイトなど）が強磁性体（NdFeBなど）の存在下で存在する必要があります。^[36]反磁性材料は、負の磁化率、つまり外部磁場と反対の磁気モーメントを誘導する特性があります。そのため、外部磁場によって反発され、磁場最小値に向かって移動する傾向があります。この反発力は、反磁性体が外部磁場と反平行の磁化方向を持つために生じます。

反磁性体の磁化は印加磁場によって変化し、次のように表されます。

${\displaystyle M=\chi _{p}H}$

ここで は磁場の強さ、は無次元の磁化率です。体積 の物体の場合、誘導磁気モーメント m は次のように表されます。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle \chi_{p}}$${\displaystyle V_{p}}$

${\displaystyle {\overrightarrow {m}}=\chi _{p}{\frac {V_{p}}{\mu _{0}}}{\overrightarrow {B}}}$

物体に作用する磁力は次のように説明されます。

${\displaystyle F_{m}={\frac {\chi _{p}V_{p}}{\mu _{0}}}\nabla ({\overrightarrow {B}}\cdot {\overrightarrow {B}})}$

物体が密度を持ち、密度と磁化率を持つ媒体内で浮遊している場合、磁気項と重力項を含む物体の全エネルギーは次のようになります。 ${\displaystyle \rho _{p}}$${\displaystyle \rho _{m}}$${\displaystyle \chi _{m}}$

${\displaystyle E={\frac {\chi _{p}-\chi _{m}}{2\mu _{0}}}V_{p}({\overrightarrow {B}}\cdot {\overrightarrow {B}})+(\rho _{p}-\rho _{m})V_{p}gz}$

結果として生じる力は次のようになります。

${\displaystyle \sum F={\frac {\chi _{p}-\chi _{m}}{2\mu _{0}}}V_{p}\nabla ({\overrightarrow {B}}\cdot {\overrightarrow {B}})+(\rho _{p}-\rho _{m})V_{p}g{\overrightarrow {k}}}$

安定性のために必要な条件は次のとおりです。

${\displaystyle \chi _{p}-\chi _{m}<0}$

浮上した物質に作用する反磁性力全体を計算するには、反磁性物質のそれぞれの双極子を考慮する必要があります。全体の体積に対する反磁性力は次のように表すことができます。

${\displaystyle F_{m}={\frac {\chi _{p}}{\mu _{0}}}\iiint _{V_{p}}\nabla ({\overrightarrow {B}}\cdot {\overrightarrow {B}})dv}$

反磁性反発力は反磁性材料の磁化率に比例します。磁場内で重力に対抗するには、反磁性が強く軽量な材料が適しています。

反磁性マイクロロボットのパワーと積載量を増やすために、強磁性流体を使った実験がいくつか行われてきました。 反磁性浮上は、正確な制御、摩擦ゼロ、摩耗ゼロであることから有望に思えますが、最大ベアリング圧力が 102 のオーダーであるため、積載量が増えると信頼性が低下します。そのため、最大ベアリング圧力が 2 x 104 のオーダーである強磁性流体が、磁力で引っ張ることができる重量を増やすために研究されてきました。 Hsu 氏 [2] の研究によると、強磁性流体制御のマイクロロボットは、磁石のみのロボットの 130 倍の質量を運ぶことができました。これは、より重い積載量を運ぶ必要があるマクロスケールのロボット (5～15 g) に適用できます。 ただし、強磁性流体を使用する場合は、濡れや蒸発による流体の影響を考慮する必要があります。 強磁性流体の動きと蒸発率は、それが置かれている表面の種類によって影響を受けます。ある研究[2]では、テフロン表面を滑る強磁性流体はグラファイト表面よりも強磁性流体の液滴が少なくなることが示されました。

磁気アクチュエーションのもう 1 つの例は、電磁コイルを使用して磁場を生成することです。磁場を生成することで、電磁コイルは周囲の磁石を反発/引き寄せるツールとして使用され、動きを生み出します。平面コイルは、MEMS デバイスで力を生成するために使用されるコイルの別の構成であり、センサーやマイクロポンプで使用されます。これらのコイルは平らであるため、デバイスの容積を減らすことができます。スピーカーは、電磁コイルを使用したアクチュエーションの日常的な例です (図 2)。交流電流がコイルを通過し、磁場を生成します。この磁場は永久磁石と相互作用してスピーカーの振動板を振動させ、周囲の空気を振動させて音を作ります。

永久磁石は外部電源を必要としないため、エネルギー効率が非常に高く、磁気浮上などの用途に最適です。永久磁石の相対透磁率は1 に非常に近いため、外部で生成される磁場を大幅に歪ませることはありません。特定のポイントにおける磁場は、すべての電流源によって生成される磁場の重ね合わせです。永久磁石の磁場は、次のように定義される等価表面電流密度を使用して計算できます。 ${\displaystyle \mu _{r}}$

${\displaystyle I'={\frac {dI}{ds}}={\frac {B_{r}}{\mu _{0}}}}$

ここで、I' は等価表面電流密度、B_r は磁石の残留磁場、μ_0 は自由空間の透磁率で、次のように表されます。${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}\,{\text{(A/Tm)}}}$

表面電流密度 I^' は残留磁場 B_r に正比例します。残留磁場 B_r は、外部磁場が除去された後の磁石の残留磁化の尺度です。この特性は、安定した強力な磁場を維持することが不可欠な磁気浮上などの用途における磁石の性能にとって非常に重要です。永久磁石によって生成される磁場を計算するには、有限サイズの長方形の電流シートに適用されたビオ・サバールの法則に基づくアプローチを使用できます。この方法では、磁石をそのようなシートのアセンブリとしてモデル化し、空間内の任意のポイントで磁場 B ⃗_z の 3 つの成分を計算できます。この法則を有限サイズの長方形の電流シートに適用すると、シート内のすべての電流要素からの寄与を積分して磁場を計算できます。表面電流密度 I' を持つ長方形のシートの場合、ポイント z ⃗ での磁場は、シートの各微小セグメントからの寄与を合計することで決定できます。永久磁石をモデル化するには、このような電流シートのスタックとして考えます。任意のポイントでの合計磁場 B _z は、各シートによって生成される磁場の重ね合わせです。この重ね合わせは、数学的には次のように表されます。

${\displaystyle {\vec {B}}_{z}=\sum _{i}{\vec {B}}_{z,i}}$

ここで、はi 番目の電流シートからの磁場の寄与を表します。この方法は、永久磁石の磁場成分を計算する包括的な方法を提供し、正確な磁場分布が安定性と性能にとって非常に重要である磁気浮上などのさまざまなアプリケーションにおける永久磁石の磁気挙動の正確なモデル化を可能にします。 ${\displaystyle {\vec {B}}_{z,i}}$

電流Iが流れ、位置 から始まり、位置 で終わるフィラメントによる点 の磁場は、 ビオ・サバールの法則によって与えられる（図3）。 ${\displaystyle {\vec {r}}_{2}}$${\displaystyle {\vec {r}}_{a}}$${\displaystyle {\vec {r}}_{b}}$

${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}}_{2})={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int {\frac {d{\vec {r}}_{1}\times ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}}$

ここで、(フィラメント上の点 0<t<1) であり、 である。この式は次のように整理できる。 ${\displaystyle {\vec {r}}_{1}=(1-t){\vec {r}}_{a}+t{\vec {r}}_{b}}$${\displaystyle {\frac {d{\vec {r}}_{1}}{dt}}=-{\vec {r}}_{a}+{\vec {r}}_{b}}$

${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}}_{2})={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int {\frac {d{\vec {r}}_{1}\times ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}}$

次のように記述できます。 ${\displaystyle ({\vec {B}}({\vec {r}}_{2})}$

${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}}_{2})={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}({\vec {r}}_{b}-{\vec {r}}_{a})\times ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{a})\int _{0}^{1}{\frac {1}{[A-2tB+t^{2}C]^{3/2}}}\,dt}$

と、、${\displaystyle A=({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{a})^{2}}$${\displaystyle B=({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{a})\cdot ({\vec {r}}_{b}-{\vec {r}}_{a})}$${\displaystyle C=({\vec {r}}_{b}-{\vec {r}}_{a})^{2}}$

最後に、直線状の電流を流すフィラメントの磁場は次のように導かれます。${\displaystyle {B}({\vec {r}}_{2})={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {{\vec {r}}_{b}-{\vec {r}}_{a}\times {\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{a}}{AC-B^{2}}}(C-B-A-2B+C+B-A)}$

シートの磁場を計算するには（図4）、ベクトルによって横方向に変位したフィラメントによって生成される磁場を考慮します。

${\displaystyle {\vec {p}}=\alpha ({\vec {r}}_{b}-{\vec {r}}_{a})\times {\vec {n}}}$

${\displaystyle {\vec {p}}}$はフィラメントに対して垂直で、αはシートのアスペクト比です。シートの幅は:${\displaystyle w=\alpha ({\vec {r}}_{b}-{\vec {r}}_{a})=\alpha C}$

変位したフィラメントからの磁場は、パラメータ A、B、C を次のように表される s 依存の対応するパラメータに置き換えることによって与えられます。

${\displaystyle A(s)=({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{a}-s{\vec {p}})^{2}}$

${\displaystyle B_{s}=({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{a}-s{\vec {p}})\cdot ({\vec {r}}_{b}-{\vec {r}}_{a})}$

${\displaystyle C_{s}=({\vec {r}}_{b}+s{\vec {p}}-{\vec {r}}_{a}-s{\vec {p}})^{2}=C}$

次に、シートの幅全体に電流を均等に分散させます。

${\displaystyle I=I'w={\frac {B_{r}}{\mu _{0}}}\alpha C}$

有限電流シートの磁場は次のように導出できる。

${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}}_{2})={\frac {B_{r}\alpha C}{4\pi }}\int _{-1/2}^{1/2}{\frac {({\vec {r}}_{b}-{\vec {r}}_{a})\times ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{a}-s{\vec {p}})}{[A(s)C-B(s)^{2}]^{3/2}}}ds}$

次のように記述できます。 ${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}}_{2})}$

${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}}_{2})={\frac {B_{r}\alpha C}{4\pi }}\int _{-1/2}^{1/2}\left[{\frac {({\vec {r}}_{b}-{\vec {r}}_{a})\times ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{a}+\alpha C{\vec {n}})}{R_{1}+P_{1}}}+{\frac {({\vec {r}}_{b}-{\vec {r}}_{a})\times ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{a}+\alpha C{\vec {n}})}{R_{2}+P_{2}}}\right]ds}$

どこ、、、、、${\displaystyle R_{1}=a_{1}+b_{1}s+c_{1}s^{2}}$${\displaystyle a_{1}=AC-2BC+C^{2}}$${\displaystyle b_{1}=-2CD}$${\displaystyle c_{1}=\alpha ^{2}C^{2}}$${\displaystyle R_{2}=a_{2}+b_{2}s+c_{2}s^{2}}$${\displaystyle a_{2}=AC,b_{2}=-2CD=b_{1},c_{2}=\alpha ^{2}C^{2}=c_{1},P_{1}=-(B-C)^{2},P_{2}=-B^{2}}$

最後に、有限の電流シートの磁場は次のように構成されます。

${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}}_{2})={\frac {B_{r}\alpha C}{4\pi }}\left[{\frac {({\vec {r}}_{b}-{\vec {r}}_{a})\times ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{a})}{C-B}}J_{1}+BJ_{3}\right]+{\frac {B_{r}\alpha ^{2}C^{2}}{4\pi }}\left[{\frac {C-B}{J_{2}+BJ_{4}}}\right]{\vec {n}}}$

どこ${\displaystyle J_{1}=\int _{-1/2}^{1/2}{\frac {1}{R_{1}+P_{1}}}ds,J_{2}=\int _{-1/2}^{1/2}{\frac {s}{R_{1}+P_{1}}}ds,J_{3}=\int _{-1/2}^{1/2}{\frac {1}{R_{2}+P_{2}}}ds,J_{4}=\int _{-1/2}^{1/2}{\frac {s}{R_{2}+P_{2}}}ds}$

磁石から磁場を抽出したので、今度はそれを浮上アプリケーションで使用しようとします。反磁性材料は、磁場をはじき、磁場強度が最小の領域を探すというユニークな特性を持っています。この動作により、反磁性材料を強い磁場よりも上で浮上させることができ、これは浮上したカエル実験で鮮明に実証された現象です。これらの基本原理を理解することで、マイクロロボットの磁気浮上などの革新的な技術への道が開かれました。反磁性浮上したミリロボットとマイクロロボットは、正確な制御と最小限の力ノイズを提供し、固有の安定性と効率的なゾーン制御を保証します。反磁性浮上を利用することで、これらのロボットは滑り摩擦が減少し、NdFeBなどの強磁性体が存在する状態でグラファイトなどの反磁性層と組み合わせると完全な浮上を実現できます。負の磁化率と外部磁場に反対する誘導磁気モーメントを特徴とする反磁性材料は、磁場によって反発され、自然に磁場の最小値に向かって引き寄せられます。この反発は、反磁性体の磁化方向が外部磁場と反平行であることによって発生し、受動的な浮上を可能にし、高度な制御戦略を促進します。

磁石を浮上させるには、Z 方向に作用する正味の力がゼロである必要があります。自由体図を以下に示します。

反磁性粒子を浮遊させるには、以下の式が適用されます。

${\displaystyle \ F={\frac {\chi _{p}-\chi _{m}}{2\mu _{0}}}V_{p}\nabla ({\vec {B}}\cdot {\vec {B}})+(\rho _{p}-\rho _{m})V_{p}gz}$

密度と磁化率を持つ反磁性粒子は、密度と磁化率を持つ媒体内で浮遊しています。この場合、正味の力がゼロになる唯一の方法は、次の場合です。私たちの問題の違いは、磁石を反磁性表面シート上に浮遊させようとしているのであって、その逆ではないことです。そのため、上記の定式化には正当性があるはずです。 ${\displaystyle \rho _{p}}$${\displaystyle \chi _{p}}$${\displaystyle \rho _{m}}$${\displaystyle \chi _{m}}$${\displaystyle \chi _{p}-\chi _{m}<0}$

${\displaystyle F={\frac {\chi _{\text{dia}}}{2\mu _{0}}}V_{\text{dia}}\nabla ({\vec {B}}\cdot {\vec {B}})+(\rho _{\text{mag}}-\rho _{\text{air}})V_{\text{mag}}gz}$

このパラメータは議論の余地があり、実際の値を割り当てるにはさらなる調査が必要です。磁石が浮遊する物体である場合、磁石によって生成される磁場は反磁性表面シートの全体積をカバーすることはないからです。浸透の深さと有効表面を計算する必要があります。(χ_dia は負であるため、方程式には少なくとも 1 つの解があることに注意してください)。 ${\displaystyle V_{\text{dia}}}$

上記の自由体図では、他の 2 つの力 Fx と Fy が見られます。これを説明するために、項 ∇(B ⃗⋅B ⃗ ) を展開してみましょう。磁場密度は、以下のように表示されるベクトル関数です。

${\displaystyle {\vec {B}}(x,y,z)=B_{x}(x,y,z){\hat {x}}+B_{y}(x,y,z){\hat {y}}+B_{z}(x,y,z){\hat {z}}}$

${\displaystyle {\vec {B}}\cdot {\vec {B}}=B_{x}^{2}(x,y,z)+B_{y}^{2}(x,y,z)+B_{z}^{2}(x,y,z)}$

${\displaystyle \nabla ({\vec {B}}\cdot {\vec {B}})=\left({\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {\partial }{\partial z}}\right)(B_{x}^{2}(x,y,z)+B_{y}^{2}(x,y,z)+B_{z}^{2}(x,y,z))}$

${\displaystyle =2\left(B_{x}{\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}+B_{y}{\frac {\partial B_{y}}{\partial x}}+B_{z}{\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}\right){\hat {x}}+\left(B_{x}{\frac {\partial B_{x}}{\partial y}}+B_{y}{\frac {\partial B_{y}}{\partial y}}+B_{z}{\frac {\partial B_{z}}{\partial y}}\right){\hat {y}}+\left(B_{x}{\frac {\partial B_{x}}{\partial z}}+B_{y}{\frac {\partial B_{y}}{\partial z}}+B_{z}{\frac {\partial B_{z}}{\partial z}}\right){\hat {z}}}$

3 番目の項は重力と比較する必要があります。磁石が安定して浮上するには、1 番目と 2 番目の項がゼロである必要があります。さらに調査が必要です。 ${\displaystyle B_{x}{\frac {\partial B_{x}}{\partial z}}+B_{y}{\frac {\partial B_{y}}{\partial z}}+B_{z}{\frac {\partial B_{z}}{\partial z}}}$

磁石が浮上している距離を求めるには、次の式を解く必要があります。

${\displaystyle \left|{\frac {\chi _{\text{dia}}}{2\mu _{0}}}V_{\text{dia}}\left(B_{x}{\frac {\partial B_{x}}{\partial z}}+B_{y}{\frac {\partial B_{y}}{\partial z}}+B_{z}{\frac {\partial B_{z}}{\partial z}}\right)\right|=(\rho _{\text{mag}}-\rho _{\text{air}})V_{\text{mag}}g}$

選択した磁石に基づいて、空間における磁場の挙動を導き出すことができます。方程式を数値的に解き、磁場をベクトル関数として使用すると（実際そうなります）、az=d となり、次のようになります。 ${\displaystyle {\vec {B}}(x,y,z)}$

${\displaystyle \left(B_{x}{\frac {\partial B_{x}}{\partial z}}+B_{y}{\frac {\partial B_{y}}{\partial z}}+B_{z}{\frac {\partial B_{z}}{\partial z}}\right)_{x,y,d}=(\rho _{\text{mag}}-\rho _{text{air}})V_{\text{mag}}g}$

この |B_(x,y) |≪|B_z |、|(∂B_z)/∂x|≪ |(∂B_z)/∂z| 、|(∂B_z)/∂y|≪ |(∂B_z)/∂z| を簡略化するために、これを解く前に、論文 (R. Engel–Herbert と T. Hesjedal、「単軸磁区の磁気漂遊磁場の計算」) で次のように報告されています。

これにより計算が軽くなります:

${\displaystyle \left|{\chi _{\text{dia}}}{V_{\text{dia}}}\right|B_{z}{\frac {\partial B_{z}}{\partial z}}_{x,y,d}=(\rho _{\text{mag}}-\rho _{\text{air}})V_{\text{mag}}g}$

最後に、先ほど説明した式で Bz を計算し、これに代入すると、上記の式がどの高さで機能するかを突き止めて、浮上の問題を解決できます。

反磁性浮上は、マイクロロボットに 2 つの効果をもたらします。滑り摩擦の低減とマイクロロボットの完全な浮上です。受動浮上を実現するには、グラファイトなどの反磁性層がネオジム鉄ホウ素 (NdFeB) などの強磁性材料と組み合わされて存在する必要があります。これらの材料の相互作用により、マイクロロボットに作用する重力やその他の力を打ち消す反発力が生成されます。

シミュレーションパラメータと結果

それぞれの極サイズが 1 mm、厚さが 0.4 mm の NdFeB 磁石の 3x3 配列を考えてみましょう。磁石表面からの距離の関数としての反磁性力のシミュレーションを図 5 に示します。これらのシミュレーションは、磁石配列上のさまざまな高さでマイクロロボットが受ける力のプロファイルに関する重要な洞察を提供します。

また、図6は磁石表面の成分（Z方向の磁束密度）を示しています。この成分は磁場分布を理解するためのもので、マイクロロボットの浮上と安定性に直接影響します。 ${\displaystyle B_{z}}$

磁気浮上の伝説は古代および中世には一般的であり、そのローマ世界から中東、後にインドへの広がりは古典学者ダンスタン・ロウによって文書化されている。^{[37] [38]}最も古い情報源は大プリニウス（紀元1世紀）であり、アレクサンドリアの寺院の天井から磁石で吊るされる鉄像の建築計画について記述している。その後の多くの報告では、浮遊する像、聖遺物、その他の象徴的に重要な物体について記述されており、この伝説のバージョンはキリスト教、イスラム教、仏教、ヒンズー教など、さまざまな宗教的伝統に現れている。場合によっては神の奇跡として解釈され、他の場合には奇跡的であると誤って主張された自然現象として説明された。後者の一例は聖アウグスティヌスによるもので、彼は著書『神の国』 （紀元 410年頃）の中で磁気で吊るされた像について言及している。ロウ氏によると、これらの伝説に共通するもう 1 つの特徴は、物体の消失の説明であり、不信心な者が不敬虔な行為で物体を破壊することがしばしば関係している。この現象自体は、 1842 年にサミュエル アーンショー氏によって初めて認識されたように、現在では物理的に不可能であると理解されているが、磁気浮上の物語は現代まで続いており、その顕著な例の 1 つが、インド東部の コナーラク太陽神殿にある吊り下げられた記念碑の伝説である。

• 1839年、アーンショーの定理は静電浮上が安定しないことを示した。後に定理は他の研究者によって静磁気浮上に拡張された。
• 1913エミール・バシュレは1912年3月に電磁サスペンションシステム用の「浮上伝達装置」（特許番号1,020,942）の特許を取得した。
• 1933 超反磁性 ヴァルター・マイスナーとロバート・オクセンフェルト(マイスナー効果)
• 1934年ヘルマン・ケンパー「車輪のないモノレール車両」 ライヒ特許番号643316
• 1939年ブラウンベックの拡張により、反磁性材料でも磁気浮上が可能であることが示された。
• 1939年、ベッドフォード、ピア、トンクスは2つの同心円筒コイル上にアルミニウム板を配置し、6軸の安定した浮上を実現した。^[39]
• 1961年ジェームズ・R・パウエルとBNLの同僚ゴードン・ダンビーが超伝導磁石と「ヌルフラックス」8の字コイルを使った電気力学的浮上を実現^[10]
• 1970年代スピン安定化磁気浮上ロイ・M・ハリガン
• 1974マグネティック・リバー エリック・レイスウェイト他
• 1979年トランスラピッド列車が乗客を運んだ
• 1981年、初のシングルテザー磁気浮上システムが公開されました（トム・シャノン『愛のコンパス』、パリ市立近代美術館所蔵）
• 1984 バーミンガムの低速磁気浮上シャトル エリック・レイスウェイト他
• 1997 反磁性で浮遊する生きたカエルアンドレ・ガイム^[16]
• 1999インダクトラック永久磁石電気力学的浮上装置（ゼネラル・アトミックス）
• 2000年、中国で世界初の有人HTS磁気浮上試験車両「センチュリー」の開発に成功した。^[40]
• 2024年、イタリアのヴェローナで初の受動型磁気浮上列車が発表され、実演された。^[41]