線形安定性

数学において、微分方程式と力学系の理論では、非線形システムの特定の定常または準定常解は、この解での方程式の線形化が の形をとる場合、線形不安定と呼ばれます。ここで、 rは定常状態への摂動、A はスペクトルに正の実部を持つ固有値を含む線形演算子です。すべての固有値の実部が負の場合、解は線形安定と呼ばれます。線形安定性の他の名前に は、指数安定性または第 1 近似による安定性があります。^{[1] [2]実部が}ゼロの固有値が存在する場合、安定性に関する問題は第 1 近似に基づいて解決できず、いわゆる「中心と焦点の問題」に近づきます。^[3]${\displaystyle dr/dt=Ar}$

微分方程式 には、 x  = 0 とx = 1 という 2 つの定常（時間に依存しない）解があります。x = 0 での線形化は という形式になります 。線形化された演算子は A 0 = 1 です。唯一_の 固有値は です。この方程式の解は指数関数的に増加します。定常点x  = 0 は線形的に不安定です。 $${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=xx^{2​​}}$$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x}$${\displaystyle \lambda =1}$

x = 1における線形化を導くには、 と書きます 。ここでr = x − 1です。線形化された方程式は です。線形化された演算子はA ₁ = −1で、唯一の固有値は であるため、この定常点は線形安定です。 ${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-rr^{2}}$${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=-r}$${\displaystyle \lambda =-1}$

u ( x , t ) ∈ Cかつk > 0である非線形シュレーディンガー方程式には、孤立波 解がの形をとります。^[4] 孤立波での線形化を導くには、 の形の解を考えます 。 上の線形化方程式は で与えられ 、 ここ で および微分演算子 です。Vakhitov–Kolokolov の安定性基準によれば、^[5] k > 2 のとき、 Aのスペクトルは正の点固有値をもつため、線形化方程式は線形（指数）不安定です。0 < k ≤ 2のとき、 Aのスペクトルは純虚数であるため、対応する孤立波は線形安定です。 $${\displaystyle i{\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-|u|^{2k}u,}$$${\displaystyle \phi (x)e^{-i\omega t}}$${\displaystyle u(x,t)=(\phi (x)+r(x,t))e^{-i\omega t}}$${\displaystyle r(x,t)}$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{bmatrix}{\text{Re}}\,r\\{\text{Im}}\,r\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}{\text{Re}}\,r\\{\text{Im}}\,r\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&L_{0}\\-L_{1}&0\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle L_{0}=-{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}-k\phi ^{2}-\omega }$$$${\displaystyle L_{1}=-{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}-(2k+1)\phi ^{2}-\omega }$$

線形安定性は必ずしも安定性を意味するわけではないことに注意する必要がある。特にk = 2のとき、孤立波は不安定である。一方、0 < k < 2のとき、孤立波は線形安定であるだけでなく、軌道安定でもある。^[6]

• 漸近安定性
• 線形化（安定性解析）
• リャプノフ安定性
• 軌道安定性
• 安定性理論
• ヴァヒトフ・コロコロフ安定性基準