ホップの補題

数学において、ホップの補題は、エバーハルト・ホップにちなんで名付けられ、十分に滑らかな境界を持つユークリッド空間の領域内の連続した実数値関数が内部で調和的であり、境界上の点における関数の値が領域内の近くの点の値よりも大きい場合、外向きの法線の方向への関数の導関数は厳密に正になることを定義します。この補題は、最大値原理の証明や偏微分方程式の理論において重要なツールです。ホップの補題は、楕円問題に対する解が境界上の最大値に達する点に近づくときの挙動を記述するために一般化されています。

ラプラシアンの特殊なケースでは、ホップ補題は1910年にスタニスワフ・ザレンバによって発見された。^[1]楕円方程式のより一般的な設定では、ホップとオルガ・オレイニクが1952年に独立に発見したが、オレイニクの研究はホップほど西側諸国では広く知られていない。^{[2] [3]}角のある領域を許容する拡張もある。^[4]

Ω を滑らかな境界を持つR ⁿ内の有界領域とする。 f をΩ の閉包上で連続で Ω 上で調和的な実数値関数とする。 xが境界点であり、 Ω 内のすべてのyがxに十分近い場合、 f ( x ) > f ( y ) が成り立つ場合、 xにおける境界の外向き法線の方向へのfの（片側）方向微分は厳密に正である。

定数を減算すると、f ( x ) = 0 で、x付近の内部点でf が厳密に負であると仮定できます。 Ω の境界は滑らかなので、 Ω には小さな球体が含まれており、その閉包はxで境界に接し、 xでのみ境界と交差します。 次に、 Ω をこの球体に置き換えて結果を確認すれば十分です。 スケーリングと変換を行うと、ある単位ベクトルxに対してf ( x ) がゼロであり、 | y | < 1 の場合はf ( y ) < 0であると仮定して、R ^{nの単位球体の結果を確認すれば十分です。}

ハルナックの不等式を−fに適用すると、

${\displaystyle \displaystyle {-f(rx)\geq -{1-r \over (1+r)^{n-1}}f(0),}}$

r < 1 の 場合。したがって

${\displaystyle \displaystyle {{f(x)-f(rx) \over 1-r}={-f(rx) \over 1-r}\geq -{1 \over (1+r)^{n-1}}f(0)>-{f(0) \over 2^{n-1}}>0.}}$

したがって、 xにおける方向微分は、右側の厳密に正の定数によって下に制限されます。

2次の 一様楕円演算子を考える。

${\displaystyle Lu=a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+b_{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+c(x)u,\qquad x\in \Omega .}$

特に、実対称行列の最小の固有値は、 に依存しない正の定数によって下から制限されます。ここでは、 の開いた有界部分集合であり、 であると仮定します。 ${\displaystyle a_{ij}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle c\leq 0}$

弱最大原理は、における方程式の解が境界 上のある点で閉包の最大値に達することを述べています。をそのような点とすると、必然的に ${\displaystyle Lu=0}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle {\overline {\オメガ }}}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle x_{0}\in \partial \Omega }$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x_{0})\geq 0,}$

ここで、 は外法線微分を表す。これは、 がに近づくにつれて が非減少でなければならないという事実から単純に導かれる。ホップの補題は、とに関する軽い仮定のもとで、次式が成り立つ ことを証明することでこの観察を補強する。${\displaystyle \partial /\partial \nu }$ ${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x_{0})>0.}$

補題の正確な記述は次のようになる。 が の有界領域であり、 が上記の演算子であるとする。がクラスであり、 が微分不等式を満たすとする。 ${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle u}$${\displaystyle C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})}$

${\displaystyle Lu\geq 0,\qquad {\textrm {in}}~\Omega .}$

が となるように与えられます。(i)がであり、(ii) である場合、 は定数であるか、 であり、ここで は上記のように外向きの単位法線です。 ${\displaystyle x_{0}\in \partial \Omega }$${\displaystyle 0\leq u(x_{0})=\max _{x\in {\overline {\Omega }}}u(x)}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle c\leq 0}$${\displaystyle u}$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x_{0})>0}$${\displaystyle \nu}$

上記の結果は、いくつかの点で一般化できます。 の正則性の仮定は、内部球の条件に置き換えることができます。つまり、の開球が存在する場合に、補題が成立します。の場合には、正の値を取る関数を考えることもできます。証明とその他の議論については、以下の参考文献を参照してください。 ${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle B\subset \Omega }$${\displaystyle x_{0}\in \partial B}$${\displaystyle c}$${\displaystyle u(x_{0})=0}$

• ホップ最大原理

• エヴァンス、ローレンス（2000）、偏微分方程式、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-0772-2
• フランケル、LE（2000）、楕円問題における最大原理と対称性入門、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-461955
• クランツ、スティーブン G. (2005)、幾何関数理論：複素解析の探究、シュプリンガー、pp. 127-128、ISBN 0817643397
• テイラー、マイケル E. (2011)、偏微分方程式 I. 基礎理論、応用数学科学、第 115 巻 (第 2 版)、Springer、ISBN 9781441970541(ホップの補題はテイラーによって「ザレンバの原理」と呼ばれています。)

• Hayk Mikayelyan、Henrik Shahgholian 特異/退化偏微分方程式のクラスに対するホップの補題
• 分数特異/退化偏微分方程式のクラスに対するホップの補題
• DE Apushkinskaya、AI Nazarov ホップ-オレイニク補題の反例（楕円の場合）