変分不等式

数学において、変分不等式とは、関数を伴う不等式であり、通常は凸集合に属する、与えられた変数のすべての可能な値について解く必要があります。変分不等式の数学理論は、もともと均衡問題、正確にはシニョリーニ問題を扱うために開発されました。そのモデル問題では、関係する関数は、関係する位置エネルギーの最初の変分として得られました。したがって、それは変分起源を持ち、一般抽象問題という名前で思い出されます。理論の適用範囲はそれ以来、経済学、金融、最適化、ゲーム理論の問題を含むように拡大されました。

変分不等式を含む最初の問題はシニョリーニ問題であり、1959年にアントニオ・シニョリーニによって提起され、1963年にガエターノ・フィチェラによって解決されました（参考文献（Antman 1983、pp. 282-284）および（Fichera 1995）によると）。理論の最初の論文は（Fichera 1963）および（Fichera 1964a）、（Fichera 1964b）でした。その後、グイド・スタンパッキアは、偏微分方程式の正則性問題を研究するために、（Stampacchia 1964）でラックス・ミルグラム定理への一般化を証明し、この種の不等式を含むすべての問題に対して「変分不等式」という名前を作りました。ジョルジュ・デュヴォーは、1965年にブリクセンで行われた会議でフィケラがシニョリーニ問題の研究を発表した後、大学院生にフィケラの研究を研究し、発展させるよう奨励した。アントマン（1983年）の283ページには、この理論がフランス全土で広く知られるようになったと報告されている。また、1965年には、スタンパッキアとジャック＝ルイ・リオンズが（スタンパッキア1964）の以前の結果を発展させ、論文（リオンズ＆スタンパッキア1965）で発表した。彼らの結果の完全な証明は、後に論文（リオンズ＆スタンパッキア1967）に掲載された。

Antman (1983, p. 283) によれば、変分不等式の定義は次のようになる。

定義 1.バナッハ空間 、の部分集合、およびから空間 の双対空間への関数が与えられたとき、変分不等式問題とは、次の不等式に属する変数 について解く問題です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$${\displaystyle F\colon {\boldsymbol {K}}\to {\boldsymbol {E}}^{\ast }}$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}^{\ast }}$${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$

${\displaystyle \langle F(x),y-x\rangle \geq 0\qquad \forall y\in {\boldsymbol {K}}}$

双対性ペアリングはどこに ありますか。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon {\boldsymbol {E}}^{\ast }\times {\boldsymbol {E}}\to \mathbb {R} }$

一般に、変分不等式問題は、任意の有限次元または無限次元のバナッハ空間 上で定式化できます。この問題の研究における 3 つの明らかなステップは次のとおりです。

1. 解の存在を証明する: このステップは、問題の数学的正しさを意味し、少なくとも解が存在することを示します。
2. 与えられた解の一意性を証明します。このステップは問題の物理的な正しさを意味し、解が物理現象を表すために使用できることを示します。変分不等式によってモデル化される問題のほとんどは物理的な起源を持つため、これは特に重要なステップです。
3. 解決策を見つけるか、その規則性を証明してください。

これは Antman (1983, p. 283) が報告した標準的な例題です。閉区間 上の微分可能関数の 最小値を求める問題を考えます。を最小値が発生する 内の点とします。次の 3 つのケースが考えられます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I=[a,b]}$${\displaystyle x^{\ast }}$${\displaystyle I}$

1. もしそうなら${\displaystyle a<x^{\ast }<b,}$${\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })=0;}$
2. もしそうなら${\displaystyle x^{\ast }=a,}$${\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })\geq 0;}$
3. もしそうなら${\displaystyle x^{\ast }=b,}$${\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })\leq 0.}$

これらの必要条件は、次のような条件を見つける問題として要約できる 。 ${\displaystyle x^{\ast }\in I}$

${\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })(y-x^{\ast })\geq 0\quad }$のために${\displaystyle \quad \forall y\in I.}$

絶対最小値は、前述の不等式の解（複数ある場合）の間で検索する必要があります。解は実数であることに注意してください。したがって、これは有限次元の変分不等式です。

における一般的な問題の定式化は 次のようになる。の サブセット と写像 が与えられたとき、に関連する有限次元変分不等式問題は、 に属する 次元ベクトル であって、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle F\colon K\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \langle F(x),y-x\rangle \geq 0\qquad \forall y\in K}$

ここで はベクトル空間上の 標準内積です。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

歴史的概観（Fichera 1995）において、ガエターノ・フィチェラは、シニョリーニ問題に対する彼の解法の起源について述べている。この問題は、境界が である三次元ユークリッド空間のサブセットにあり、剛体で摩擦のない表面上にあり、質量力のみを受ける異方性非均質弾性体 の弾性平衡 配置 を見つけることである。この問題の解は、許容変位の集合、すなわち、 あいまいな境界条件のシステムを満たす変位ベクトル の集合内に存在し、（正確な仮定の下で）一意であるためには、次の条件を満たす必要がある。${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=\left(u_{1}({\boldsymbol {x}}),u_{2}({\boldsymbol {x}}),u_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \partial A}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {u}})-F({\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {u}})\geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

ここで 、およびは、アインシュタイン表記法を使用して記述された 次の関数である。${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})}$${\displaystyle F({\boldsymbol {v}})}$

${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\,\mathrm {d} x}$、、    ​    ${\displaystyle F({\boldsymbol {v}})=\int _{A}v_{i}f_{i}\,\mathrm {d} x+\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\,\mathrm {d} \sigma }$${\displaystyle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

ここで、すべての に対して、 ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}\in A}$

• ${\displaystyle \Sigma }$は接触 面（またはより一般的には接触集合）であり、
• ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}})=\left(f_{1}({\boldsymbol {x}}),f_{2}({\boldsymbol {x}}),f_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$物体に作用する力である。
• ${\displaystyle {\boldsymbol {g}}({\boldsymbol {x}})=\left(g_{1}({\boldsymbol {x}}),g_{2}({\boldsymbol {x}}),g_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$は、に作用する表面力であり、${\displaystyle \partial A\!\setminus \!\Sigma }$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}})=\left(\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {u}})\right)=\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\right)\right)}$は無限小ひずみテンソルであり、
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left(\sigma _{ik}\right)}$はコーシー応力テンソルであり、次のように定義される。

${\displaystyle \sigma _{ik}=-{\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ik}}}\qquad \forall i,k=1,2,3}$

ここで は弾性ポテンシャルエネルギー であり、 は弾性テンソルです。${\displaystyle W({\boldsymbol {\varepsilon }})=a_{ikjh}({\boldsymbol {x}})\varepsilon _{ik}\varepsilon _{jh}}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}({\boldsymbol {x}})=\left(a_{ikjh}({\boldsymbol {x}})\right)}$

• 相補性理論
• 微分変分不等式
• 均衡問題のための拡張数理計画法
• 均衡制約を伴う数理計画法
• 障害の問題
• 投影された力学システム
• シニョリーニ問題
• 一方的な接触

• アントマン、スチュアート（1983）、「解析における弾性の影響：現代の発展」、アメリカ数学会報、9（3）：267–291、doi：10.1090 / S0273-0979-1983-15185-6、MR  0714990、Zbl  0533.73001弾性理論と数学的解析の有益な相互作用に関する歴史的な論文、ガエターノ・フィチェラによる変分不等式理論の創成については、§5、282～284ページで説明されています。
• Duvaut、Georges (1971)、「Problèmes unilatéraux en mécanique des milieux continus」、Actes du Congrès international des mathématiciens、1970 年、ICM Proceedings、vol. Mathématiques appliquées (E)、Histoire et Enseignement (F) – Volume 3、Paris : Gauthier-Villars、pp. 71–78、オリジナル(PDF)から2015 年 7 月 25 日にアーカイブ、 2015 年 7 月 25 日に取得変分不等式の分野、正確には一方向制約を伴う連続体力学の問題のサブ分野を説明する簡単な研究調査。
• Fichera、Gaetano (1995)、「La nascita della teoria delle disequazioni variazionali ricordata dopo trent'anni」、Incontro Scientifico italo-spagnolo。ローマ、1993 年 10 月 21 日、Atti dei Convegni Lincei (イタリア語)、vol. 114、ローマ:国立アカデミー大学、47–53 ページ『30年後に思い出される変分不等式理論の誕生』（タイトルの英訳）は、変分不等式理論の創始者の視点からその始まりを記述した歴史的な論文です。

• ファッキネイ、フランシスコ; パン、ジョンシ (2003)、有限次元変分不等式と相補性問題、第 1 巻、Springer オペレーションズ リサーチ シリーズ、ベルリン–ハイデルベルク–ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 0-387-95580-1、Zbl  1062.90001
• ファッキネイ、フランシスコ; パン、ジョンシ (2003)、有限次元変分不等式と相補性問題、第2巻、Springerシリーズインオペレーションズリサーチ、ベルリン-ハイデルベルク-ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 0-387-95581-X、Zbl  1062.90001
• Fichera, Gaetano (1963)、「Sul questiona elastostatico di Signorini con ambigue condizioni al contorno」[曖昧な境界条件を持つシニョリーニの弾性問題について]、Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei、Classe di Scienze Fisiche、Matematiche e Naturali、8 (イタリア語)、34 (2): 138–142、MR  0176661、Zbl  0128.18305シニョリーニ問題の解決法を発表し、説明する（証明なし）短い研究ノート。
• フィケラ、ガエターノ(1964a)、「問題は、一方向の弾性的弾性問題: イル 問題、シニョリーニの曖昧な条件」 Fisiche、Matematiche e Naturali、8 (インチ)イタリア語)、7 (2): 91–140、Zbl  0146.21204シニョリーニ問題の存在定理と一意性定理が証明された最初の論文。
• Fichera、Gaetano (1964b)、「一方的な制約による弾性静的問題: 曖昧な境界条件を伴うシニョリーニ問題」、Seminari dell'istituto Namionale di Alta Matematica 1962–1963、ローマ: Edizioni Cremonese、pp. 613–679（Fichera 1964a）の英訳。
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• デイビッド・キンダーラー、グイド・スタンパッキア（1980）変分不等式とその応用入門、純粋応用数学、第88巻、ボストン・ロンドン・ニューヨーク・サンディエゴ・シドニー・東京・トロント：アカデミック・プレス、ISBN 0-89871-466-4、ZBL  0457.35001。
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• Roubíček, Tomáš (2013)、「非線形偏微分方程式とその応用」、ISNM。国際数値数学シリーズ、第153巻（第2版）、バーゼル・ボストン・ベルリン：ビルクハウザー出版社、pp. xx+476、doi：10.1007/978-3-0348-0513-1、ISBN 978-3-0348-0512-4、MR  3014456、Zbl  1270.35005。
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• パナギオトポロス、PD (2001) [1994]、「変分不等式」、数学百科事典、EMS プレス
• アレッシオ・フィガッリ、「シニョリーニ問題に対する大域的均質解について」