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数学の分野である微分幾何学において、オッサーマン・ザビエル・藤本の定理は、3 次元ユークリッド空間の極小曲面のガウス写像に関する定理です。この定理によれば、極小曲面が浸漬され測地線的に完全である場合、ガウス写像の像は単一の点 (つまり面が平面) で構成されるか、最大で 4 点を除く球面全体が含まれます。
バーンスタインの定理によれば、測地線的に完全なR 3の極小グラフは平面でなければならない。これは、R 3の完全な極小面のガウス写像は定数であるか、開いた半球面内に含まれていないと言い換えることができる。ルイス・ニーレンバーグによって推測され、1959 年にロバート・オッサーマンによって証明されたように、この形式でバーンスタインの定理は、 R 3の完全な極小面のガウス写像の像が単一の点から構成されるか、球面内に密であるかのいずれかであると一般化できる。 [1]
オッサーマンの定理は、1980年代にフレデリコ・ザビエルと藤本博隆によって改良されました。彼らは、R 3の完全浸漬極小曲面のガウス写像の像が球面の4点以上を省略する場合、その面は平面であることを証明しました。[2]これは最適です。なぜなら、1960年代にコンラッド・フォスによって、0、1、2、3、または4点からなる球面の任意の部分集合Aに対して、ガウス写像が像Aを持つR 3の完全浸漬極小曲面が存在することが示されたからです。[3]具体的な例としては、ガウス写像が射影的なリーマンの極小面、ガウス写像が1点を省略するエネパー面、ガウス写像が2点を省略するカテノイドとヘリコイド、ガウス写像が4点を省略するシェルクの第一面などがあげられる。
高次元ユークリッド空間における高次元極小曲面のガウス写像を研究することも可能です。この設定で研究できるオッサーマン、ザビエル、藤本の結果のさまざまなバリエーションがあります。[4]
参考文献
- ^ Lawson 1980、セクション III.5; Nitsche 1965、セクション V.1; Osserman 1986、セクション 8。
- ^ ディアークスら。 1992 年、定理 3.7.1。
- ^ ディアークスら。 1992 年、提案 3.7.4;ニッチェ 1965、セクション V.1.5;オッサーマン、1986 年、セクション 8。
- ^ Chen 2000、セクション5.6.2。
出典
- Chen, Bang-yen (2000). 「リーマン部分多様体」。Dillen, FJE; Verstraelen, LCA (編)。微分幾何学ハンドブック、第 1 巻。アムステルダム: 北ホラント。pp. 187–418。arXiv : 1307.1875。doi : 10.1016 / S1874-5741 (00)80006-0。MR 1736854。Zbl 0968.53002 。
- ディアークス、U.ヒルデブラント、S.キュスター、A.ウォールラブ、O. (1992)。最小表面 I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 295. ベルリン、ハイデルベルク: Springer-Verlag。土井：10.1007/978-3-662-02791-2_3。MR 1215267。Zbl 0777.53012 。
- Lawson, H. Blaine Jr. (1980)。極小部分多様体に関する講義。第 1 巻。数学講義シリーズ。第 9 巻 (1977 年初版の第 2 版)。デラウェア州ウィルミントン: Publish or Perish, Inc. ISBN 0-914098-18-7. MR 0576752. Zbl 0434.53006.
- Nitsche, Johannes CC (1965). 「極小曲面理論における新たな結果について」(PDF) .アメリカ数学会報. 71 : 195–270. doi : 10.1090/S0002-9904-1965-11276-9 . MR 0173993. Zbl 0135.21701.
- オッサーマン、ロバート(1986)。極小曲面の概観(1969 年初版の第 2 版)。ニューヨーク: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-64998-9. MR 0852409. Zbl 0209.52901.
外部リンク
- Weisstein、Eric W. 「Nirenberg の予想」。MathWorld – Wolfram Web リソースより。