シャウダーの推定

数学、より正確には関数解析学と偏微分方程式において、シャウダー推定値は、線形 で一様楕円型の偏微分方程式の解の正則性に関するユリウス・シャウダー(1934, 1937)の結果の集合である。推定値によれば、方程式が適切に滑らかな項と適切に滑らかな解を持つ場合、解のヘルダーノルムは係数項とソース項のヘルダーノルムによって制御できる。これらの推定値は解の存在を仮定するため、事前推定値と呼ばれる。

境界から離れた内部領域での解の Hölder 条件を与える内部結果と、領域全体の解の Hölder 条件を与える境界結果の両方があります。前者の境界は空間次元、方程式、境界までの距離のみに依存し、後者は境界の滑らかさにも依存します。

シャウダー推定は、連続法を使用して楕円型偏微分方程式のディリクレ問題の解の存在と正則性を証明するために必要な前提条件です。この結果は、方程式の係数と境界条件の性質が十分に滑らかな場合、偏微分方程式の滑らかな古典的解が存在することを示しています。

Schauder 推定値は加重 Hölder ノルムで与えられ、表記法は D. Gilbarg とNeil Trudinger  (1983) のテキストで示されているものに従います。

連続関数の上限ノルムは次のように与えられる。 ${\displaystyle f\in C(\Omega )}$

${\displaystyle |f|_{0;\Omega }=\sup _{x\in \Omega }|f(x)|}$

指数 でヘルダー連続な関数、つまり の場合、通常のヘルダー半ノルムは次のように与えられる。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle f\in C^{0,\alpha }(\Omega )}$

${\displaystyle [f]_{0,\alpha ;\Omega }=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|xy|^{\alpha }}}.}$

2つの合計はfの完全なヘルダーノルムである。

${\displaystyle |f|_{0,\alpha ;\Omega }=|f|_{0;\Omega }+[f]_{0,\alpha ;\Omega }=\sup _{x\in \Omega }|f(x)|+\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|xy|^{\alpha }}}.}$

微分可能な関数uについては、導関数を含む高次のノルムを考慮する必要がある。k個の連続導関数を持つ関数の空間におけるノルムは、次のように与えられる。 ${\displaystyle C^{k}(\Omega )}$

${\displaystyle |u|_{k;\Omega }=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }u(x)|}$

ここで、 は適切な次数の多重インデックスすべてにわたって存在します。指数 でヘルダー連続であるk次の導関数を持つ関数の場合、適切な半ノルムは次のように与えられます。 ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle [u]_{k,\alpha ;\Omega }=\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}}$

これは、

${\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }=|u|_{k;\Omega }+[u]_{k,\alpha ;\Omega }=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}$

内部推定では、基準は境界までの距離によって重み付けされる。

${\displaystyle d_{x}=d(x,\partial \Omega )}$

導関数と同じべき乗で、半ノルムは次のように重み付けされる。

${\displaystyle d_{x,y}=\min(d_{x},d_{y})}$

適切なべき乗で求められた関数の重み付き内部ノルムは次のように表される。

${\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }^{*}=|u|_{k;\Omega }^{*}+[u]_{k,\alpha ;\Omega }^{*}=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |}D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}d_{x,y}^{k+\alpha }{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}}$

時々、重みの「余分な」累乗を加える必要がある。

${\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }^{(m)}=|u|_{k;\Omega }^{(m)}+[u]_{k,\alpha ;\Omega }^{(m)}=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |+m}D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}d_{x,y}^{m+k+\alpha }{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}$

このセクションの定式化は、D. Gilbarg とNeil Trudinger  (1983) のテキストから引用したものです。

楕円型2階偏微分方程式の 領域上の有界解を考える${\displaystyle u\in C^{2,\alpha }(\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \sum _{i,j}a_{i,j}(x)D_{i}D_{j}u(x)+\sum _{i}b_{i}(x)D_{i}u(x)+c(x)u(x)=f(x)}$

ここで、ソース項は を満たす。が厳密に楕円 となる定数が存在する場合、${\displaystyle f\in C^{\alpha }(\Omega )}$${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle a_{i,j}}$

${\displaystyle \sum a_{i,j}(x)\xi _{i}\xi _{j}\geq \lambda |\xi |^{2}}$全ての${\displaystyle x\in \Omega ,\xi \in \mathbb {R} ^{n}}$

そして関連するノルム係数はすべて別の定数によって制限される${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle |a_{i,j}|_{0,\alpha ;\Omega },|b_{i}|_{0,\alpha ;\Omega }^{(1)},|c|_{0,\alpha ;\Omega }^{(2)}\leq \Lambda .}$

すると、 uの加重ノルムはuの上限とfのホルダーノルムによって制御されます。 ${\displaystyle C^{2,\alpha }}$

${\displaystyle |u|_{2,\alpha ;\Omega }^{*}\leq C(n,\alpha ,\lambda ,\Lambda )(|u|_{0,\Omega }+|f|_{0,\alpha ;\Omega }^{(2)}).}$

を領域（つまり、領域の境界上の任意の点について、座標を適切に回転すると、関数として境界超曲面を実現できる）とし、ディリクレ境界データは、やはり少なくとも である関数と一致するものとします。この場合、内部推定の場合と同様の係数の条件に従って、uの重み付けされていないヘルダーノルムは、ソース項、境界データ、およびuの上限ノルムの重み付けされていないノルムによって制御されます。 ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle C^{2,\alpha }}$${\displaystyle C^{2,\alpha }}$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle C^{2,\alpha }}$

${\displaystyle |u|_{2,\alpha ;\Omega }\leq C(n,\alpha ,\lambda ,\Lambda ,\Omega )(|u|_{0,\Omega }+|f|_{0,\alpha ;\Omega }+|\phi |_{2,\alpha ;\partial \Omega }).}$

解u が最大原理を満たす場合、右側の最初の因子は削除できます。

• ギルバーグ、D.;トルディンガー、ニール(1983)、楕円型2次偏微分方程式、ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 3-540-41160-7
• Schauder、Juliusz (1934)、「Über Lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung」、Mathematische Zeitschrift (ドイツ語)、vol. 38、いいえ。 1、ベルリン、ドイツ: Springer-Verlag、pp. 257–282、doi :10.1007/BF01170635、S2CID  120461752 MR1545448​
• Schauder, Juliusz (1937)、「Numerische Abschätzungen in elliptischen lineen Differentialgleichungen」(PDF)、Studia Mathematica (ドイツ語)、vol. 5、ポーランド、ルヴフ：Polska Akademia Nauk。マテマティチヌイ研究所、34–42 ページ

• クーラント、リチャード、ヒルベルト、デイヴィッド（1989）、数理物理学の方法、第2巻（第1英語版）、ニューヨーク：ワイリー・インターサイエンス、ISBN 0-471-50439-4
• ハン・チン、リン・ファンフア（1997）、楕円偏微分方程式、ニューヨーク：クーラント数学研究所、ISBN 0-9658703-0-8、OCLC  38168365 MR1669352​