重ね合わせ原理を満たす物理システム
システム理論 において 、 線形システムは、 線形演算子 の使用に基づく システム の 数学モデル です。線形システムは通常、 非線形の 場合よりもはるかに単純な機能と特性を示します。数学的な抽象化または理想化として、線形システムは 自動制御 理論、 信号処理 、および 電気通信 で重要な用途があります 。たとえば、無線通信システムの伝播媒体は、多くの場合、線形システムでモデル化できます。
意味 決定論的連続時間 SISO システムの加法性プロパティを示すブロック図。システムが加法性プロパティを満たすか、または加法性を持つのは、 すべての時間 およびすべての入力 とに対しての場合のみです 。画像をクリックすると拡大します。
ええ
3
（ t ） =
ええ
1
（ t ） +
ええ
2
（ t ）
{\displaystyle y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)}
t
{\displaystyle t}
x
1
（ t ）
{\displaystyle x_{1}(t)}
x
2
（ t ）
{\displaystyle x_{2}(t)}
決定論的連続時間 SISO システムの同次性プロパティを示すブロック図。システムが同次性プロパティを満たす、つまり同次であるため には、すべての時間 、すべての実定数 、およびすべての入力 に対して、かつその場合に限られます 。画像をクリックすると拡大します。
ええ
2
（ t ） = 1つの
ええ
1
（ t ）
{\displaystyle y_{2}(t)=a\,y_{1}(t)}
t
{\displaystyle t}
1つの
{\displaystyle a}
x
1
（ t ）
{\displaystyle x_{1}(t)}
決定論的連続時間 SISO システムの重ね合わせ原理を示すブロック図。システムは重ね合わせ原理を満たしており、したがって、 すべての時間 、すべての実定数 、 および 、すべての入力 およびに対して である場合に限り線形です 。画像をクリックすると拡大します。
ええ
3
（ t ） =
1つの
1
ええ
1
（ t ） +
1つの
2
ええ
2
（ t ）
{\displaystyle y_{3}(t)=a_{1}\,y_{1}(t)+a_{2}\,y_{2}(t)}
t
{\displaystyle t}
1つの
1
{\displaystyle a_{1}}
1つの
2
{\displaystyle a_{2}}
x
1
（ t ）
{\displaystyle x_{1}(t)}
x
2
（ t ）
{\displaystyle x_{2}(t)}
一般的な 決定論的システムは 、入力 x ( t )を t の関数として 出力 y ( t ) にマッピングする演算子 H によって記述できます。これは、ブラックボックス 記述
の一種です。
システムが線形であるためには、それが 重ね合わせ原理 を満たすか、または加法性と同次性の両方の性質を制約なしに（つまり、すべての入力、すべてのスケーリング定数、すべての時間に対して）満たす必要がある。 [1] [2] [3] [4]
重ね合わせ原理とは、システムへの入力の線形結合が、個々の入力に対応する個々のゼロ状態出力（つまり、初期条件をゼロに設定する出力）の線形結合を生成することを意味する。 [5] [6]
均質性を満たすシステムでは、入力をスケーリングすると、常に同じ係数でゼロ状態応答がスケーリングされます。 [6] 加法性を満たすシステムでは、2つの入力を追加すると、個々の入力による対応する2つのゼロ状態応答が常に追加されます。 [6]
数学的には、連続時間システムの場合、任意の 2 つの入力
とそれぞれのゼロ状態出力
が与えられた
とき、線形システムは
任意の スカラー 値 α と β 、任意の入力信号 x 1 ( t ) と x 2 ( t ) 、およびすべての時間 t に対してを満たす必要があります。
x
1
（ t ）
x
2
（ t ）
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{aligned}}}
ええ
1
（ t ）
= H
{
x
1
（ t ）
}
ええ
2
（ t ）
= H
{
x
2
（ t ）
}
{\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}(t)&=H\left\{x_{1}(t)\right\}\\y_{2}(t)&=H\left\{x_{2}(t)\right\}\end{aligned}}}
α
ええ
1
（ t ） + β
ええ
2
（ t ） = H
{
α
x
1
（ t ） + β
x
2
（ t ）
}
{\displaystyle \alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}}
システムは方程式 H ( x ( t )) = y ( t ) で定義されます。ここで、 y ( t ) は時間の任意の関数であり、 x ( t ) はシステムの状態です。 y ( t ) と H が与えられれば、 システムは x ( t ) について解くことができます。
複雑な入力を受ける結果として得られるシステムの挙動は、より単純な入力に対する応答の合計として記述できます。非線形システムでは、そのような関係はありません。この数学的特性により、モデリング方程式の解は多くの非線形システムよりも簡単になります。 時間不変システムの場合、これが インパルス応答法 または 周波数応答 法の基礎となります ( LTI システム理論 を参照)。これらの方法では、一般的な入力関数 x ( t )を 単位インパルス または 周波数成分 で記述します 。
線形 時間不変 システムの典型的な 微分方程式は、 連続的な 場合には ラプラス変換 、 離散的な 場合には Z 変換を 使用した解析に適しています (特にコンピュータ実装の場合)。
別の観点では、線形システムの解は、幾何学的な意味で
ベクトル のように動作する 関数 のシステムで構成されているというものです。
線形モデルの一般的な用途は、非線形システムを 線形化 によって記述することです。これは通常、数学的な便宜のために行われます。
線形システムのこれまでの定義は、 SISO（単入力単出力）システムに適用できます。MIMO（多入力多出力）システムの場合、入力信号と出力信号（、、、、）の代わりに、入力信号ベクトル と 出力 信号ベクトル（ 、、、、 ） が考慮されます。 [2] [4 ]
x
1
（ t ）
{\displaystyle {\mathbf {x} }_{1}(t)}
x
2
(
t
)
{\displaystyle {\mathbf {x} }_{2}(t)}
y
1
(
t
)
{\displaystyle {\mathbf {y} }_{1}(t)}
y
2
(
t
)
{\displaystyle {\mathbf {y} }_{2}(t)}
x
1
(
t
)
{\displaystyle x_{1}(t)}
x
2
(
t
)
{\displaystyle x_{2}(t)}
y
1
(
t
)
{\displaystyle y_{1}(t)}
y
2
(
t
)
{\displaystyle y_{2}(t)}
この線形システムの定義は、微積分学 における 線形微分方程式 の定義 や、 線型代数 における 線形変換 の定義に類似しています。
例 単純な調和振動子は 次 の微分方程式に従います。
m
d
2
(
x
)
d
t
2
=
−
k
x
.
{\displaystyle m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx.}
すると
、 H は 線形演算子になります。y ( t ) = 0 とすると 、微分方程式を H ( x ( t ) ) = y ( t ) と 書き直す こと が でき 、 これ は単純な調和振動子が線形システムであることを示します。
H
(
x
(
t
)
)
=
m
d
2
(
x
(
t
)
)
d
t
2
+
k
x
(
t
)
,
{\displaystyle H(x(t))=m{\frac {d^{2}(x(t))}{dt^{2}}}+kx(t),}
線形システムの他の例としては 、、、、 および常線形微分方程式によって記述されるシステムが挙げられる。 [ 4] 、、、、、、、、、および線形領域と飽和（定数 ）領域からなる奇対称出力を持つシステム によって記述されるシステムは 、重ね合わせ原理 を 常に満たすとは限らないため、非線形である。 [ 7 ] [8] [9] [10]
y
(
t
)
=
k
x
(
t
)
{\displaystyle y(t)=k\,x(t)}
y
(
t
)
=
k
d
x
(
t
)
d
t
{\displaystyle y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}}
y
(
t
)
=
k
∫
−
∞
t
x
(
τ
)
d
τ
{\displaystyle y(t)=k\,\int _{-\infty }^{t}x(\tau )\mathrm {d} \tau }
y
(
t
)
=
k
{\displaystyle y(t)=k}
y
(
t
)
=
k
x
(
t
)
+
k
0
{\displaystyle y(t)=k\,x(t)+k_{0}}
y
(
t
)
=
sin
[
x
(
t
)
]
{\displaystyle y(t)=\sin {[x(t)]}}
y
(
t
)
=
cos
[
x
(
t
)
]
{\displaystyle y(t)=\cos {[x(t)]}}
y
(
t
)
=
x
2
(
t
)
{\displaystyle y(t)=x^{2}(t)}
y
(
t
)
=
x
(
t
)
{\textstyle y(t)={\sqrt {x(t)}}}
y
(
t
)
=
|
x
(
t
)
|
{\displaystyle y(t)=|x(t)|}
線形システムの出力対入力グラフは、必ずしも原点を通る直線である必要はありません。たとえば、 (定容量 コンデンサ や定インダクタンス インダクタ など ) で記述されるシステムを考えてみましょう。これは重ね合わせの原理を満たすため線形です。ただし、入力が正弦波の場合、出力も正弦波であるため、その出力対入力のグラフは、原点を通る直線ではなく、原点を中心とする楕円になります。
y
(
t
)
=
k
d
x
(
t
)
d
t
{\displaystyle y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}}
また、線形システムの出力は、 入力が正弦波であっても、 高調波 を含む（そして基本周波数が入力より小さくなる）ことがあります。たとえば、 によって記述されるシステムを考えます。これは重ね合わせの原理を満たすので線形です。しかし、入力が という形式の正弦波である場合 、 積和三角関数の恒等 式を使用すると、出力が であることが簡単に示されます。つまり、出力は入力と同じ周波数（ 3 rad/s ）の正弦波だけでなく、周波数 2 rad/s と 4 rad/s の正弦波も含まれています 。さらに、出力の正弦波の基本周期の 最小公倍数を取ると、出力の基本角周波数が 1 rad/s であり、入力とは異なることが
示されます。
y
(
t
)
=
(
1.5
+
cos
(
t
)
)
x
(
t
)
{\displaystyle y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)}
x
(
t
)
=
cos
(
3
t
)
{\displaystyle x(t)=\cos {(3t)}}
y
(
t
)
=
1.5
cos
(
3
t
)
+
0.5
cos
(
2
t
)
+
0.5
cos
(
4
t
)
{\displaystyle y(t)=1.5\cos {(3t)}+0.5\cos {(2t)}+0.5\cos {(4t)}}
時間変動インパルス応答 線形システムの時間 変動インパルス応答 h ( t 2 , t 1 )は、時刻 t = t 1 に適用された 単一の インパルスに対する時刻 t = t 2 でのシステムの応答として定義されます 。 言い換えると、 線形システムへの
入力 x ( t ) が
、 δ( t ) が ディラックのデルタ関数 を表し 、 システムの
対応する応答 y ( t ) がである場合、
関数 h ( t 2 , t 1 ) はシステムの時間変動インパルス応答です。入力が適用される前にシステムが応答できないため、次の 因果関係条件を満たす 必要があります。
x
(
t
)
=
δ
(
t
−
t
1
)
{\displaystyle x(t)=\delta (t-t_{1})}
y
(
t
=
t
2
)
=
h
(
t
2
,
t
1
)
{\displaystyle y(t=t_{2})=h(t_{2},t_{1})}
h
(
t
2
,
t
1
)
=
0
,
t
2
<
t
1
{\displaystyle h(t_{2},t_{1})=0,t_{2}<t_{1}}
畳み込み積分 一般的な連続時間線形システムの出力は、因果条件により二重無限範囲にわたって記述できる積分によって入力に関連付けられます。
y
(
t
)
=
∫
−
∞
t
h
(
t
,
t
′
)
x
(
t
′
)
d
t
′
=
∫
−
∞
∞
h
(
t
,
t
′
)
x
(
t
′
)
d
t
′
{\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t,t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,t')x(t')dt'}
システムの特性が、それが操作される時間に依存しない場合、それは 時間不変 であると言われ、 h は時間差 τ = t − t' のみの関数であり、 τ < 0 (つまり t < t' ) の場合はゼロになります 。h を再定義すると、入力と出力の関係を次のいずれの方法でも同等に記述できます。
y
(
t
)
=
∫
−
∞
t
h
(
t
−
t
′
)
x
(
t
′
)
d
t
′
=
∫
−
∞
∞
h
(
t
−
t
′
)
x
(
t
′
)
d
t
′
=
∫
−
∞
∞
h
(
τ
)
x
(
t
−
τ
)
d
τ
=
∫
0
∞
h
(
τ
)
x
(
t
−
τ
)
d
τ
{\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau =\int _{0}^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau }
線形時間不変システムは、一般的には、伝達関数 と
呼ばれるインパルス応答関数のラプラス変換によって特徴付けられます。
H
(
s
)
=
∫
0
∞
h
(
t
)
e
−
s
t
d
t
.
{\displaystyle H(s)=\int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,dt.}
応用上、これは通常s の有理代数関数です 。負の tに対して h ( t ) はゼロなので 、積分は二重無限大の範囲にわたって同様に記述でき、 s = iω と置くと周波数応答関数 の式に従います 。
H
(
i
ω
)
=
∫
−
∞
∞
h
(
t
)
e
−
i
ω
t
d
t
{\displaystyle H(i\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-i\omega t}dt}
離散時間システム 離散時間線形システムの出力は、時間変動畳み込み和によって入力に関連付けられます。
または、 h を
再定義すると、時間不変システムの場合と同等になります。
ここで、 は 、
時間 mでの刺激と時間 n での応答と の間の遅延時間を表します 。
y
[
n
]
=
∑
m
=
−
∞
n
h
[
n
,
m
]
x
[
m
]
=
∑
m
=
−
∞
∞
h
[
n
,
m
]
x
[
m
]
{\displaystyle y[n]=\sum _{m=-\infty }^{n}{h[n,m]x[m]}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{h[n,m]x[m]}}
y
[
n
]
=
∑
k
=
0
∞
h
[
k
]
x
[
n
−
k
]
=
∑
k
=
−
∞
∞
h
[
k
]
x
[
n
−
k
]
{\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{\infty }{h[k]x[n-k]}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}}
k
=
n
−
m
{\displaystyle k=n-m}
参照
参考文献
^ フィリップス、チャールズ L.、パー、ジョン M.、 リスクイン、イブ A. (2008)。 シグナル、システム、および変換 (第 4 版)。ピアソン。p. 74。ISBN 978-0-13-198923-8 。 ^ ab Bessai, Horst J. (2005). MIMO信号とシステム . Springer. pp. 27– 28. ISBN 0-387-23488-8 。 ^ Alkin, Oktay (2014). 信号とシステム: MATLAB 統合アプローチ . CRC Press. p. 99. ISBN 978-1-4665-9854-6 。 ^ abc Nahvi, Mahmood (2014). 信号とシステム . McGraw-Hill. pp. 162– 164, 166, 183. ISBN 978-0-07-338070-4 。 ^ Sundararajan, D. (2008). 信号とシステムへの実践的アプローチ . Wiley. p. 80. ISBN 978-0-470-82353-8 。 ^ abc Roberts, Michael J. (2018). 信号とシステム: 変換法とMATLAB®を使用した解析 (第3版). McGraw-Hill. pp. 131, 133– 134. ISBN 978-0-07-802812-0 。 ^ Deergha Rao, K. (2018). 信号とシステム . Springer. pp. 43– 44. ISBN 978-3-319-68674-5 。 ^ チェン・チ・ツォン（2004年）。 信号 とシステム （ 第3版）。オックスフォード大学出版局 。pp.55-57。ISBN 0-19-515661-7 。 ^ ElAli, Taan S.; Karim, Mohammad A. (2008). MATLAB による連続信号とシステム (第 2 版). CRC Press. p. 53. ISBN 978-1-4200-5475-0 。 ^ Apte, Shaila Dinkar (2016). 信号とシステム: 原理と応用 . ケンブリッジ大学出版局. p. 187. ISBN 978-1-107-14624-2 。
![{\displaystyle y(t)=\sin {[x(t)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c3de0656c4ed604dbf832e01a95c83a747fb4a)
![{\displaystyle y(t)=\cos {[x(t)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8791deb6e4a1c0cf4c0d6c9c4cc7951647bec5cc)
![{\displaystyle y[n]=\sum _{m=-\infty }^{n}{h[n,m]x[m]}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{h[n,m]x[m]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8de98ac398c3891590682a4fa7ffe2b38e09263)
![{\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{\infty }{h[k]x[nk]}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[ k]x[nk]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05629aebe6564c41b4c709875918593e99f0bcbd)
