半局所リング

数学において、半局所環とは、R /J( R ) が半単純環となる環であり、ここで J( R ) はRのヤコブソン根号である。(Lam 2001、p. §20)(Mikhalev & Pilz 2002、p. C.7)

上記の定義は、 R が有限個の極大右イデアル（および有限個の極大左イデアル）を持つ場合に満たされます。Rが可換環である場合、逆の含意も真であり、そのため、可換環の半局所の定義は、多くの場合、「有限個の極大イデアルを持つ」と解釈されます。

いくつかの文献では、一般に可換半局所環を 準半局所環と呼び、半局所環は有限個の極大イデアルを持つ ネーター環を指すために使用されている。

したがって、半局所環は、最大（右/左/両側）イデアルを 1 つだけ持つ 局所環よりも一般的です。

• 任意の右または左アルティン環、任意の直列環、および任意の半完全環は半局所環です。
• 商は半局所環です。特に、が素数冪であれば、 は局所環です。${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$
• 体の有限直和は半局所環です。${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}{F_{i}}}$
• 単位元を持つ可換環の場合、この例は次の意味で原型的である。中国剰余定理は、単位元と最大イデアルm ₁ , ..., m _{n を}持つ半局所可換環Rに対して、

${\displaystyle R/\bigcap _{i=1}^{n}m_{i}\cong \bigoplus _{i=1}^{n}R/m_{i}\,}$。

(写像は自然な投影です)。右辺は体の直和です。ここで、∩ _i m _i =J( R ) であることに注目し、R /J( R ) が確かに半単純環であることがわかります。

• 任意の可換ネーター環の古典的な商環は半局所環である。
• アルティン加群の自己準同型環は半局所環である。
• 半局所環は、例えば代数幾何学において、 （可換）環Rが乗法的に閉じた部分集合S = ∩ (R \ p _i )に関して局所化されるときに発生します。ここで、p _iは有限個の素イデアルです。

• ラム、TY (2001)、「7」、非可換環の初歩、Graduate Texts in Mathematics、第131巻（第2版）、ニューヨーク：Springer-Verlag、pp. xx+385、ISBN 0-387-95183-0、MR  1838439
• ミハレフ、アレクサンダー V。ピルツ、ギュンター F. 編(2002)、The concise handbook of algebra、ドルドレヒト: Kluwer Academic Publishers、pp. xvi+618、ISBN 0-7923-7072-4、MR  1966155