ハウスドルフ空間

位相幾何学や数学の関連分野において、ハウスドルフ空間（/ ˈ h aʊ s d ɔːr f / HOWSS -dorf、/ ˈ h aʊ z d ɔːr f / HOWZ -dorf ^[1]）、T ₂空間、分離空間は、異なる点が互いに交わらない近傍を持つ位相空間である。位相空間に適用できる多くの分離公理のうち、「ハウスドルフ条件」（T _{2 ）が最も頻繁に使用され、議論されている。これは、}シーケンス、ネット、およびフィルターの極限の一意性を意味する。^[2]

ハウスドルフ空間は、位相幾何学の創始者の一人であるフェリックス・ハウスドルフにちなんで名付けられました。ハウスドルフによる位相空間の最初の定義 (1914 年) には、ハウスドルフ条件が公理として含まれていました。

位相空間内の点とが近傍によって分離されるとは、の近傍と の近傍が存在し、とが互いに素である場合を指します。内の任意の 2 つの異なる点が近傍によって分離される場合、 はハウスドルフ空間です。この条件は、T ₀と T _{1に続く 3 番目の}分離公理であり、ハウスドルフ空間がT ₂空間とも呼ばれる理由です。分離空間という名前も使用されます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (U\cap V=\varnothing )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

関連しているが、より弱い概念に、前正則空間の概念があります。は、位相的に区別可能な任意の2 つの点が互いに素な近傍によって分離できる場合、前正則空間です。前正則空間はR ₁空間とも呼ばれます。 ${\displaystyle X}$

これら 2 つの条件の関係は次のとおりです。位相空間がハウスドルフである場合、それはプレレギュラー (つまり、位相的に区別可能な点が近傍によって分離されている) かつコルモゴロフ(つまり、異なる点が位相的に区別可能である)であるときのみです。位相空間がプレレギュラーである場合、そのコルモゴロフ商がハウスドルフである場合のみです。

位相空間の場合、以下は同値である: ^[2]${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$ハウスドルフ空間です。
• ネットの限界は一意である。^[3]${\displaystyle X}$
• フィルターの制限は独特です。^[3]${\displaystyle X}$
• 任意の単独集合は 、のすべての閉近傍の共通集合に等しい。^[4]（ の閉近傍とは、を含む開集合を含む閉集合のことである。）${\displaystyle \{x\}\subset X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$
• 対角線は積空間のサブセットとして閉じています。${\displaystyle \Delta =\{(x,x)\mid x\in X\}}$ ${\displaystyle X\times X}$
• 2 つの点を持つ離散空間から への任意の射影は、2 つの開点と 1 つの閉点を持つ有限位相空間から 1 つの点への写像に関して持ち上げ特性を持ちます。${\displaystyle X}$

解析で遭遇するほとんどすべての空間はハウスドルフです。最も重要なことは、実数（実数上の標準的な計量位相の下で）はハウスドルフ空間であるということです。より一般的には、すべての計量空間はハウスドルフです。実際、位相群や位相多様体など、解析で使用される多くの空間では、定義にハウスドルフ条件が明示的に記載されています。

T ₁だがハウスドルフではない位相の簡単な例としては、無限集合上で定義される余有限位相や、非可算集合上で定義される余可算位相がある。

擬計量空間は典型的にはハウスドルフではないが、前正則であり、解析におけるその使用は通常、ハウスドルフゲージ空間の構築にのみ行われる。実際、解析者が非ハウスドルフ空間に遭遇した場合、それはおそらく少なくとも前正則であり、解析者はそれを単にそのコルモゴロフ商、つまりハウスドルフに置き換えるだけである。^[5]

対照的に、非事前正則空間は抽象代数学や代数幾何学において、特に代数多様体上のザリスキ位相や環のスペクトルとして、より頻繁に遭遇する。また、直観主義論理のモデル理論でも出現する。すべての完全なハイティング代数は何らかの位相空間の開集合の代数であるが、この空間は事前正則である必要はなく、ハウスドルフである必要もなく、実際通常はどちらでもない。関連するスコット領域の概念も、非事前正則空間で構成される。

収束ネットとフィルタに一意の極限が存在するということは、空間がハウスドルフであることを意味しますが、すべての収束シーケンスが一意の極限を持つ非ハウスドルフT _{1空間も存在します。} ^{[6]このような空間は}US空間と呼ばれます。^[7]シーケンシャル空間の場合、この概念は弱ハウスドルフであることと同等です。

ハウスドルフ空間の部分空間と積はハウスドルフであるが、ハウスドルフ空間の商空間はハウスドルフである必要はない。実際、あらゆる位相空間は何らかのハウスドルフ空間の商として実現できる。^[8]

ハウスドルフ空間はT ₁であり、各シングルトンが閉集合であることを意味します。同様に、プレレギュラー空間はR ₀です。すべてのハウスドルフ空間はソーバー空間ですが、その逆は一般には成り立ちません。

ハウスドルフ空間のもう 1 つの特性は、各コンパクト集合が閉集合であることです。非ハウスドルフ空間の場合、各コンパクト集合は閉集合である場合 (たとえば、非可算集合上の可算位相) とそうでない場合 (たとえば、無限集合上の可有限位相とシェルピンスキー空間) があります。

ハウスドルフ空間の定義では、点は近傍によって分離できるとされています。これは一見するとより強い意味を持つことが判明しています。ハウスドルフ空間では、互いに素なコンパクト集合のすべてのペアも近傍によって分離できます。^[9]言い換えると、一方の集合の近傍ともう一方の集合の近傍が存在し、2 つの近傍は互いに素です。これは、コンパクト集合はしばしば点のように振る舞うという一般規則の例です。

コンパクト性条件は前正則性と相まって、より強い分離公理を意味することが多い。例えば、任意の局所コンパクト前正則空間は完全に正則である。^{[10] [11]} コンパクト前正則空間は正規である。^[12]つまり、それらはウリゾーンの補題とティーツェの拡大定理を満たし、局所有限開被覆に従属する1 の分割を持つ。これらのステートメントのハウスドルフ版は、すべての局所コンパクト ハウスドルフ空間はチコノフであり、すべてのコンパクト ハウスドルフ空間は正規ハウスドルフ である。

以下の結果は、ハウスドルフ空間との間の 写像（連続写像とそうでない写像）に関するいくつかの技術的な特性です。

が連続関数であり、がハウスドルフであるとします。このとき、 、のグラフはの閉じた部分集合です。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{(x,f(x))\mid x\in X\}}$${\displaystyle X\times Y}$

を関数とし、 をその核としての部分空間とみなします。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle \ker(f)\triangleq \{(x,x')\mid f(x)=f(x')\}}$${\displaystyle X\times X}$

• が連続でハウスドルフの場合、 は閉集合です。${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \ker(f)}$
• が開全射であり、が閉集合である場合、 はハウスドルフです。${\displaystyle f}$${\displaystyle \ker(f)}$${\displaystyle Y}$
• が連続で開いた全射（つまり開いた商写像）である場合、 が閉集合である場合に限り、はハウスドルフです。${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \ker(f)}$

が連続写像で がハウスドルフである場合、イコライザは内の閉集合です。したがって、がハウスドルフであり、とがの稠密な部分集合上で一致する場合、 となります。言い換えると、ハウスドルフ空間への連続関数は、稠密な部分集合上の値によって決まります。 ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mbox{eq}}(f,g)=\{x\mid f(x)=g(x)\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f=g}$

がすべての に対してコンパクトとなるような閉全射であるとします。 がハウスドルフであれば もコンパクトです。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

をコンパクトなハウスドルフ空間を持つ商写像とします。このとき、以下は同値です。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle Y}$ハウスドルフです。
• ${\displaystyle f}$閉じたマップです。
• ${\displaystyle \ker(f)}$閉じた集合です。

すべての正則空間は、すべてのハウスドルフ空間がそうであるように、前正則です。正則空間とハウスドルフ空間の両方に当てはまる位相空間の結果は多数あります。ほとんどの場合、これらの結果はすべての前正則空間に当てはまります。前正則空間の考え方は後から出てきたため、これらは正則空間とハウスドルフ空間について別々にリストされています。一方、本当に正則性に関する結果は、通常、非正則ハウスドルフ空間には適用されません。

位相空間の別の条件 (準コンパクト性や局所コンパクト性など) が、前正則性が満たされる場合に正則性を意味する状況は数多くあります。このような条件には、正則バージョンとハウスドルフバージョンの 2 つのバージョンがあることがよくあります。ハウスドルフ空間は一般に正則ではありませんが、任意のハウスドルフ空間が前正則であるため、(たとえば) 局所コンパクトでもあるハウスドルフ空間は正則になります。したがって、ある観点からは、これらの状況で重要なのは正則性ではなく前正則性です。ただし、定義は通常、正則性の観点から表現されます。これは、この条件が前正則性よりもよく知られているためです。

この問題の詳細については、 「分離公理の歴史」を参照してください。

「ハウスドルフ」、「分離」、「プレレギュラー」という用語は、一様空間、コーシー空間、収束空間などの位相空間の変形にも適用できます。これらすべての例の概念を統一する特徴は、ネットとフィルターの極限（存在する場合）が一意（分離空間の場合）であるか、位相的な区別不可能性まで一意（プレレギュラー空間の場合）であることです。

結局のところ、一様空間、そしてより一般的にはコーシー空間は常に前正則なので、これらの場合のハウスドルフ条件は T _{0条件に簡約されます。これらは}完全性が意味をなす空間でもあり、これらの場合のハウスドルフ性は完全性と自然に結びついています。具体的には、空間が完全であるためには、すべてのコーシー ネットに少なくとも1つの極限が必要ですが、空間がハウスドルフであるためには、すべてのコーシー ネットに最大で1 つの極限が必要です (そもそもコーシー ネットだけが極限を持つことができるため)。

コンパクト ハウスドルフ空間上の連続（実または複素）関数の代数は可換C*-代数であり、逆にバナッハ-ストーンの定理により、連続関数の代数の代数的性質から空間の位相を復元できます。これは非可換幾何学につながり、非可換 C*-代数は非可換空間上の関数の代数を表すものと見なされます。

• ハウスドルフ条件は、ハウスドルフ空間では任意の2点が開集合によって互いに「隔離」されるという語呂合わせで説明される。^[13]
• フェリックス・ハウスドルフが研究と講義を行ったボン大学の数学研究所には、ハウスドルフ・ラウムと呼ばれる部屋があります。これは、ドイツ語で「ラウム」が部屋と空間の両方を意味することから生まれた語呂合わせです。

• 不動点空間 – すべての関数が不動点を持つ空間。すべての連続関数f  : X → Xが不動点を持つようなハウスドルフ空間X。
• ローカルハウスドルフスペース
• 非ハウスドルフ多様体 – 多様体の一般化Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 準位相空間 – あらゆるコンパクトハウスドルフ空間Kに、特定の自然条件を満たす写像K→Cの集合を関連付ける関数を備えた集合XPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 分離公理 – 「分離」の概念を定義する位相幾何学の公理
• 弱いハウスドルフ空間 – 代数位相幾何学の概念Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

• アルハンゲルスキー、AV。ポントリャギン、LS (1990)。一般的なトポロジ I。スプリンガー。ISBN 3-540-18178-4。
• ブルバキ(1966)。『数学の要素: 一般位相幾何学』、アディソン・ウェズリー。
• 「ハウスドルフ空間」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• シェクター、エリック（1996）。分析とその基礎ハンドブック。サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミックプレス。ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• ウィラード、スティーブン (2004)。一般位相幾何学。ドーバー出版。ISBN 0-486-43479-6。