一様収束

数学の解析学の分野において、一様収束は、点ごとの収束よりも強い関数の収束モードです。関数の列が、関数の定義域として集合上の極限関数に一様収束するとは、任意の小さな正の数 が与えられたときに、内のすべての点で各関数のとの差が を超えないような数を見つけることができる場合です。非公式に説明すると、 がに一様収束する場合、関数がに近づく速さは、次の意味で全体にわたって「一様」です。が から選択した距離 未満しか離れないことを保証するには、 が特定の より大きいか等しいことを確認するだけでよく、これは の値を事前に知らなくても見つけることができます。言い換えると、 に依存するが とは独立である数が存在し、 を選択するとすべての に対して であることが保証されます。対照的に、から への点ごとの収束は、 が事前に与えられた場合、が の範囲内にあるときは常にを見つけることができる(つまり、はと の両方の値に依存できる) ことを保証するだけです(また、 が異なる を保証するために、 のより大きな異なる が必要になる場合があります)。 ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle N}$${\displaystyle f_{N},f_{N+1},f_{N+2},\ldots }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f_{n}(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle N=N(\epsilon )}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle x}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$ ${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle N=N(\epsilon,x)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle f_{n}(x)}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$

一様収束と点収束の違いは、微積分学の歴史の初期には十分に理解されていなかったため、誤った推論の例につながっていました。カール・ワイエルシュトラスによって初めて形式化されたこの概念は、関数の連続性、リーマン積分可能性、および追加の仮定による微分可能性などのいくつかの特性が、収束が一様である場合は極限まで引き継がれますが、収束が一様でない場合は必ずしも引き継がれないため重要です。 ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$

1821年、オーギュスタン＝ルイ・コーシーは 、連続関数の収束する和は常に連続であるという証明を発表したが、 1826年にニールス・ヘンリック・アーベルは、フーリエ級数の文脈で反例とされるものを見つけ、コーシーの証明は間違っていると主張した。当時は完全に標準的な収束の概念は存在せず、コーシーは無限小法を使用して収束を扱った。現代の言葉で言えば、コーシーが証明したのは、一様収束する連続関数の列には連続極限があるということである。連続関数の単なる点収束極限が連続関数に収束しないという事実は、関数の列を扱う際に異なるタイプの収束を区別することの重要性を示している。^[1]

一様収束という用語は、おそらくクリストフ・グーダーマンが1838年に楕円関数に関する論文で初めて使用したもので、彼は級数の「収束モード」が変数に依存しない場合に「一様収束」という語句を使用しました。彼は級数がこのように収束することを「注目すべき事実」と考えましたが、正式な定義は与えず、証明のいずれにもこの特性を使用しませんでした。^[2]${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x,\phi ,\psi )}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \psi .}$

後にグーデルマンの弟子で、 1839年から1840年にかけて楕円関数の講義を受けたカール・ワイエルシュトラスは、gleichmäßig konvergent（ドイツ語：一様収束）という用語を作り出し、1894年に出版された1841年の論文「Zur Theorie der Potenzreihen 」でこの用語を使用しました。これとは別に、フィリップ・ルートヴィヒ・フォン・ザイデル^[3]とジョージ・ゲイブリエル・ストークスも同様の概念を提唱しました。GH ハーディは論文「ジョージ・ストークス卿と一様収束の概念」でこの3つの定義を比較し、「ワイエルシュトラスの発見は最も早く、解析学の基本的な考え方の1つとしてその広範な重要性を完全に認識したのは彼だけだった」と述べています。

ワイエルシュトラスとベルンハルト・リーマンの影響を受けて、この概念と関連する問題は、19世紀末にヘルマン・ハンケル、ポール・デュ・ボワ＝レーモン、ウリッセ・ディーニ、チェーザレ・アルツェラらによって集中的に研究されました。

まず実数値関数の一様収束を定義しますが、この概念は距離空間、さらに一般的には一様空間にマッピングする関数に容易に一般化できます(以下を参照)。

が集合で、がそれ上の実数値関数の列であるとする。任意のに対して、すべてのに対して、かつすべてのに対してとなる自然数が存在するとき、その列は極限で一様収束するという。${\displaystyle E}$${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \epsilon >0,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle x\in E}$

${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon .}$

からの一様収束の表記法は標準化されておらず、さまざまな著者がさまざまな記号を使用しています。以下に、一般的な記号の降順で示します。 ${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f,\quad {\underset {n\to \infty }{\mathrm {unif\ lim} }}f_{n}=f,\quad f_{n}{\overset { \mathrm {unif.} }{\longrightarrow }}f,\quad f=\mathrm {u} \!\!-\!\!\!\lim _{n\to \infty }f_{n}.}$

多くの場合、特別な記号は使用されず、著者は単に

${\displaystyle f_{n}\to f\quad \mathrm {一様} }$

収束が一様であることを示します。(対照的に、 についての表現(副詞なし) は、 のすべての場合において として、についての点ごとの収束を意味します。) ${\displaystyle f_{n}\to f}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}$${\displaystyle n\to \infty }$

は完全な計量空間なので、コーシーの判定基準は、一様収束の同等の別の定式化を与えるために使用できます。が（前の意味で）一様収束するためには、任意の に対して、次の自然数が存在する必要があります。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle x\in E,m,n\geq N\implies |f_{m}(x)-f_{n}(x)|<\epsilon }$。

さらに別の同等の定式化では、次のように定義する。

${\displaystyle d_{n}=\sup _{x\in E}|f_{n}(x)-f(x)|,}$

がに一様収束するのは、のときのみである。したがって、 における の一様収束は、 によって定義される一様計量（上限計量とも呼ばれる）に関する関数空間でのの（単純な）収束として特徴付けることができる。 ${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle d_{n}\to 0}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{E}}$

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in E}|f(x)-g(x)|.}$

象徴的に言えば、

${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f\iff d(f_{n},f)\to 0}$。

が距離空間であり、任意の に対して、が一様収束するような が存在する場合、数列はの極限で局所一様収束すると言われます。一様収束は局所一様収束を意味し、局所一様収束は点ごとの収束を意味することは明らかです。 ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle B(x,r)\cap E.}$

直感的には、任意に小さい が与えられた場合、関数のシーケンスがに一様に収束すると、のすべての関数が、関数の ドメイン全体にわたって を中心とする幅 の「チューブ」（つまり、と の間）内に収まるように を見つけることができるようになります。${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle 2\epsilon }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)-\epsilon }$${\displaystyle f(x)+\epsilon }$

一様収束の定義で、「すべての に対して」を「自然数が存在する 」の前に移動して量指定子の順序を入れ替えると、数列の点ごとの収束の定義になることに注意してください。この違いを明確にするために、一様収束の場合、は にのみ依存し、 の選択は、の特定の値が与えられた場合、すべての に対して機能する必要があります。対照的に、点ごとの収束の場合、 はと の両方に依存する可能性があり、 の選択は、 との特定の値が与えられた場合のみ機能する必要があります。したがって、一様収束は点ごとの収束を意味しますが、以下のセクションの例で示すように、その逆は真ではありません。 ${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N=N(\epsilon )}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle N}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle N=N(\epsilon,x)}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle x}$

この概念は、を に置き換えることで、関数E → M（ここで、 ( M , d ) は距離空間）に直接拡張できます。 ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|}$${\displaystyle d(f_{n}(x),f(x))}$

最も一般的な設定は、関数E → Xのネットの一様収束です。ここで、 Xは一様空間です。ネットが極限f  : E → Xで一様収束するとは、 Xのすべての側近Vに対して、 Eのすべてのxとすべてのに対してVに存在する が存在する場合のみであると言えます。この状況では、連続関数の一様極限は連続のままです。 ${\displaystyle (f_{\alpha })}$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$${\displaystyle \alpha \geq \alpha _{0}}$${\displaystyle (f_{\alpha }(x),f(x))}$

一様収束は、超実数の設定で簡略化された定義が可能です。つまり、の領域内のすべての超実数xとすべての無限大nに対して、がに無限に近い場合、シーケンスはfに一様収束します(一様連続性の同様の定義については、ミクロ連続性を参照してください)。対照的に、点ごとの連続性では、実数xに対してのみこれが要求されます。 ${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle f_{n}^{*}(x)}$${\displaystyle f^{*}(x)}$

の場合、一様収束の基本的な例は次のように表すことができます。数列は一様収束しますが、 は収束しません。具体的には、 と仮定します。各関数は、の値に関係なく、のときに以下になります。一方、の値が 1 に近づくにつれて選択される場合、の値がどんどん増えていくときのみ、は 以下になります(詳細は後述)。 ${\displaystyle x\in [0,1)}$${\displaystyle (1/2)^{x+n}}$${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle \epsilon =1/4}$${\displaystyle (1/2)^{x+n}}$${\displaystyle 1/4}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle 1/4}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$

位相空間 Xが与えられたとき、 X上の有界 実数値関数または複素数値関数の空間に一様ノルム位相を与えることができ、一様計量は次のように定義される。

${\displaystyle d(f,g)=\|fg\|_{\infty }=\sup _{x\in X}|f(x)-g(x)|.}$

したがって、一様収束は単に一様ノルム位相における収束を意味します。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0}$。

関数のシーケンス${\displaystyle (f_{n})}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:[0,1]\to [0,1]\\f_{n}(x)=x^{n}\end{cases}}}$

は、関数に点ごとに収束するが一様ではない関数列の典型的な例である。これを示すために、まず、 の点ごとの極限が関数であり、 次のように表されることに注目する。${\displaystyle f}$${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)={\begin{cases}0,&x\in [0,1);\\1,&x=1.\end{cases}}}$

各点の収束: および については、すべての について および であるため、収束は自明です。および が与えられた場合、を選択することにより、が到達するかそれを下回ることを許容するの最小の整数指数 となるときはいつでも となることを保証できます(ここで、上の角括弧は切り上げを示します。天井関数を参照してください)。したがって、すべての について各点が成立します。 の選択はおよびの値に依存することに注意してください。さらに、 を固定して選択すると、(これより小さく定義することはできません) は1 に近づくにつれて無制限に増大します。これらの観察結果により、一様収束の可能性が排除されます。 ${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle f_{n}(0)=f(0)=0}$${\displaystyle f_{n}(1)=f(1)=1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x\in (0,1)}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle N=\lceil \log \epsilon /\log x\rceil }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle f_{n}\to f}$${\displaystyle x\in [0,1]}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle N}$${\displaystyle x}$

収束の非一様性:収束は一様ではありません。なぜなら、をどれだけ大きくしてもとの値が存在するからです。これを確認するには、 をどれだけ大きくしてもとなる が常に存在することを観察してください。したがって、 を選択した場合、すべてのおよびに対してとなるを見つけることは決してできません。明示的に、 にどのような候補を選択しても、におけるの値を検討します。 ${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle N,}$${\displaystyle x\in [0,1]}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\geq \epsilon .}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{0}\in [0,1)}$${\displaystyle f_{n}(x_{0})=1/2.}$${\displaystyle \epsilon =1/4,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$${\displaystyle x\in [0,1]}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f_{N}}$${\displaystyle x_{0}=(1/2)^{1/N}}$

${\displaystyle \left|f_{N}(x_{0})-f(x_{0})\right|=\left|\left[\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {1}{N}}\right]^{N}-0\right|={\frac {1}{2}}>{\frac {1}{4}}=\epsilon ,}$

候補が不合格になるのは、すべてのについて を内に「限定」しようとする試みから「逃れた」の例が見つかったためです。実際、 ${\displaystyle x\in [0,1]}$${\displaystyle f_{n}\ (n\geq N)}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in [0,1]}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=1,}$

という要件に反します。 ${\displaystyle \|f_{n}-f\|_{\infty }\to 0}$${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$

この例では、点ごとの収束が微分可能性や連続性を保存しないことが簡単にわかります。シーケンスの各関数は滑らかですが、つまり、すべてのn、に対して、極限は連続ではありません。 ${\displaystyle f_{n}\in C^{\infty }([0,1])}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}}$

指数関数の級数展開は、ワイエルシュトラスのM検定を用いて、任意の有界部分集合上で一様収束することを示すことができます。 ${\displaystyle S\subset \mathbb {C} }$

定理 (ワイエルシュトラスの M テスト)。 が 関数の列であり、がすべての に対してとなる正の実数の列であるとします。 が収束する場合、 は に絶対かつ一様に収束します。${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {C} }$${\displaystyle M_{n}}$${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$${\textstyle \sum _{n}M_{n}}$${\textstyle \sum _{n}f_{n}}$${\displaystyle E}$

複素指数関数は次の級数として表すことができます。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

任意の有界部分集合は、複素平面の原点を中心とする半径 の円板の部分集合です。ワイエルシュトラスの M テストでは、円板の位置に関係なく 、級数の項の上限を見つける必要があります。${\displaystyle D_{R}}$${\displaystyle R,}$${\displaystyle M_{n}}$${\displaystyle M_{n}}$

${\displaystyle \left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq M_{n},\forall z\in D_{R}.}$

これを実現するために、私たちは

${\displaystyle \left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq {\frac {|z|^{n}}{n!}}\leq {\frac {R^{n}}{n!}}}$

そして取る${\displaystyle M_{n}={\tfrac {R^{n}}{n!}}.}$

が収束する場合、M テストは元の級数が一様収束することを主張します。 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}}$

比率テストはここで使用できます:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {M_{n+1}}{M_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R^{n+1}}{R^{n}}}{\frac {n!}{(n+1)!}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R}{n+1}}=0}$

これは、級数が収束することを意味します。したがって、元の級数はすべての に対して一様収束し、 であるため、級数は に対しても一様収束します。${\displaystyle M_{n}}$${\displaystyle z\in D_{R},}$${\displaystyle S\subset D_{R}}$${\displaystyle S.}$

• すべての一様収束するシーケンスは局所的に一様収束します。
• すべての局所一様収束する数列はコンパクト収束します。
• 局所コンパクト空間では、局所一様収束とコンパクト収束は一致します。
• 距離空間上の連続関数の列は、像距離空間が完備である場合、一様コーシーである場合に限り、一様収束します。
• がコンパクトな区間（または一般にコンパクトな位相空間）であり、が連続な点ごとの極限を持つ連続関数の単調増加列（すべてのnとxに対して意味）である場合、収束は必然的に一様になります（ディニの定理）。 がコンパクトな区間であり、が点ごとに収束する等連続列である場合にも、一様収束が保証されます。${\displaystyle S}$${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (f_{n})}$

およびが位相空間である場合、関数 の連続性について話すことは意味があります。さらに、 が距離空間であると仮定すると、 の (一様) 収束も明確に定義されます。次の結果は、一様収束によって連続性が維持されることを示しています。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f_{n},f:E\to M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$

この定理は「 ε/3トリック」によって証明され、このトリックの典型的な例です。与えられた不等式 ( ε ) を証明するには、連続性と一様収束の定義を使用して 3 つの不等式 ( ε/3 ) を作成し、次に三角不等式を介してそれらを組み合わせて目的の不等式を作成します。

この定理は、実解析とフーリエ解析の歴史において重要な定理です。18 世紀の数学者の多くは、連続関数の列は常に連続関数に収束するという直感的な理解を持っていたからです。上の図は反例を示しており、多くの不連続関数は、実際には連続関数のフーリエ級数として記述できます。連続関数の列の点ごとの極限が連続であるという誤った主張 (元々は連続関数の収束級数として述べられた) は、「コーシーの誤った定理」として悪名高いです。一様極限定理は、極限関数の連続性を確実に維持するには、より強力な収束形式である一様収束が必要であることを示しています。

より正確には、この定理は、一様連続関数の一様極限は一様連続であると述べています。局所コンパクト空間の場合、連続性は局所一様連続に等しく、したがって連続関数の一様極限は連続です。

が区間で、すべての関数が微分可能で極限 に収束する場合、導関数を数列 の極限で決定することが望ましい場合が多い。しかし、これは一般には不可能である。収束が一様であっても、極限関数は微分可能である必要はなく（数列 がどこでも解析的な関数で構成されていても微分可能である必要はない。ワイエルシュトラス関数を参照）、微分可能であるとしても、極限関数の導関数は導関数の極限に等しい必要はない。たとえば、一様極限 の場合を考えてみよう。明らかに、も常にゼロである。しかし、関数数列の導関数は で与えられ、数列はに収束せず、またいかなる関数にもまったく収束しない。微分可能な関数数列の極限と導関数数列の極限との関係を保証するためには、導関数数列の一様収束と、少なくとも 1 点における関数数列の収束が必要である。^[4]${\displaystyle S}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f'_{n}}$${\displaystyle f_{n}(x)=n^{-1/2}{\sin(nx)}}$${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f\equiv 0}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f'_{n}(x)=n^{1/2}\cos nx,}$${\displaystyle f'_{n}}$${\displaystyle f',}$

が 上の微分可能関数の列であり、が何らかの に対して存在し（かつ有限であり）、 列が上で一様収束する場合、は上の関数に一様収束し、に対しても収束します。${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})}$${\displaystyle x_{0}\in [a,b]}$${\displaystyle (f'_{n})}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f'(x)=\lim _{n\to \infty }f'_{n}(x)}$${\displaystyle x\in [a,b]}$

同様に、積分と極限過程を交換したい場合もよくあります。リーマン積分の場合、一様収束を仮定すればこれを実行できます。

が、極限 で一様収束するコンパクトな区間で定義されたリーマン積分可能関数の列である場合、 はリーマン積分可能であり、その積分は の積分の極限として計算できます。${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{n}}$ $${\displaystyle \int _{I}f=\lim _{n\to \infty }\int _{I}f_{n}.}$$

実際、区間上の有界関数の一様収束族では、上リーマン積分と下リーマン積分は極限関数の上リーマン積分と下リーマン積分に収束します。これは、n が十分に大きい場合、 のグラフがfのグラフのεの範囲内にあり、そのため の上和と下和がそれぞれ の上和と下和の値の範囲内にあるためです。 ${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle \varepsilon |I|}$${\displaystyle f}$

この点に関して、リーマン積分を放棄して代わりにルベーグ積分を使用すると、点ごとの収束以上のものを必要としない、はるかに強力な定理が得られます。

モレラの定理を使用すると、解析関数の列が複素平面の領域 S で一様収束する場合、その極限は S で解析的であることを示すことができます。この例は、実区間上の解析関数の一様極限は微分可能である必要さえないため、複素関数の方が実関数よりも動作が適切であることを示しています (ワイエルシュトラス関数を参照)。

は収束すると言う: ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$

この定義により、次の結果が得られます。

x _{0 が}集合Eに含まれ、各f _{n が}x ₀で連続であるとします。が E 上で一様収束する場合、 fはEでx 0_で連続です。であり、各f _{n が}E上で積分可能であると仮定します。がE上で一様収束する場合、fはE上で積分可能であり、 f _nの積分級数はf _nの級数の積分に等しくなります。${\textstyle f=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$${\displaystyle E=[a,b]}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$

関数の定義域が測度空間 Eである場合、関連する概念であるほぼ一様収束を定義できます。関数列がE上でほぼ一様収束するとは、任意の に対して、測度が 未満の測定可能な集合が存在し、関数列が上で一様収束する場合をいいます。言い換えると、ほぼ一様収束とは、関数列がその補集合上で一様収束するような、任意の小さな測度の集合が存在することを意味します。 ${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle E_{\delta }}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle E\setminus E_{\delta }}$