下限トポロジー

数学において、下限位相または右半開区間位相は、実数の集合上で定義される 位相です。これは、 (開区間によって生成される)上の標準位相とは異なり、いくつかの興味深い特性を持ちます。これは、すべての半開区間[ a , b )の基底によって生成される位相です。ここで、 aとbは実数です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

結果として得られる位相空間は、ロバート ・ソルゲンフリーにちなんでソルゲンフリー直線、または矢印と呼ばれ、 と書かれることもある。カントール集合や長い直線と同様に、ソルゲンフリー直線は、一般位相幾何学における、それ以外はもっともらしく聞こえる多くの予想に対する有用な反例として役立つことが多い。 と 自身の積も有用な反例であり、ソルゲンフリー平面として知られる。 ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$

完全に類推して、上限位相、または左半開区間位相を定義することもできます。

• 下限位相は、実数上の標準位相（開区間によって生成される）よりも細かく（開集合が多く）なっています。その理由は、すべての開区間は半開区間の（可算無限の）和集合として表すことができるからです。
• 任意の実数およびに対して、区間 はにおいて閉開区間です（つまり、 は開区間であり、は閉区間です）。さらに、任意の実数 に対して、集合およびも閉開区間です。これは、ソルゲンフライ直線 が完全に不連続 であることを示しています。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle [a,b)}$${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x<a\}}$${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x\geq a\}}$
• の任意のコンパクト部分集合は、最大でも可算集合でなければなりません。これを確認するには、空でないコンパクト部分集合を考えます。 を固定し、 の次の開被覆を考えます。${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} _{l}}$${\displaystyle x\in C}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\bigl \{}[x,+\infty ){\bigr \}}\cup {\Bigl \{}{\bigl (}-\infty ,x-{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}\,{\Big |}\,n\in \mathbb {N} {\Bigr \}}.}$

はコンパクトなので、この被覆には有限の部分被覆があり、したがって、を除いての点が区間に含まれないような実数が存在します。これはすべての に対して当てはまります。次に、有理数 を選びます。によってパラメータ化された区間 は、一対一で互いに素であるため、関数 は単射であり、したがって はせいぜい可算です。${\displaystyle C}$${\displaystyle a(x)}$${\displaystyle (a(x),x]}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\in C}$${\displaystyle q(x)\in (a(x),x]\cap \mathbb {Q} }$${\displaystyle (a(x),x]}$${\displaystyle x\in C}$${\displaystyle q:C\to \mathbb {Q} }$${\displaystyle C}$

• 「下限位相」という名前は、次の事実に由来しています。内のシーケンス（またはネット）がに収束するのは、それが「右から近づく」場合のみであり、つまり、任意の に対して となるようなインデックスが存在することを意味します。 したがって、ソルゲンフライ線は右側の極限を調べるために使用できます。 が関数である場合、におけるの通常の右側の極限（共役領域が標準位相を持つ場合）は、領域に下限位相が備わっていて共役領域が標準位相を持つ場合の におけるの通常の極限と同じです。${\displaystyle (x_{\alpha })}$${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \alpha _{0}}$${\displaystyle \forall \alpha \geq \alpha _{0}:L\leq x_{\alpha } } は、$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$
• 分離公理の観点から見ると、は完全に正規のハウスドルフ空間です。${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$
• 可算性公理によれば、は第一可算かつ分離可能ですが、第二可算ではありません。${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$
• コンパクト性特性の点では、はリンデレーフかつパラコンパクトですが、σ コンパクトでも局所コンパクトでもありません。${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$は距離化可能ではありません。なぜなら、可分距離空間は第二可算だからです。しかし、ソルゲンフライ直線の位相は準距離によって生成されます。
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$はベール空間である。^[1]
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$連結コンパクト化は存在しない。^[2]

• トポロジのリスト

• スティーン、リン・アーサー;シーバッハ、J.アーサー・ジュニア(1995) [1978]、位相幾何学における反例( 1978年版のドーバー再版)、ベルリン、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-486-68735-3、MR  0507446