順序埋め込み

数学の一分野である順序理論において、順序埋め込みは特別な種類の単調関数であり、ある半順序集合を別の半順序集合に含める方法を提供します。ガロア接続と同様に、順序埋め込みは順序同型性の概念よりも厳密に弱い概念を構成します。これらの弱化は両方とも、カテゴリ理論の観点から理解できます。

形式的には、2つの半順序集合（poset）とが与えられたとき、関数は順序埋め込みであり、が順序保存かつ順序反映である場合、すなわち、内のすべてのおよびに対して、次が成り立つ。 ${\displaystyle (S,\leq )}$${\displaystyle (T,\preceq )}$ ${\displaystyle f:S\to T}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle x\leq y{\text{ }}f(x)\preceq f(y) のときのみ。}$^[1]

このような関数は、 およびを意味するので、必然的に単射である。^[1] 2つの半順序集合との間に順序埋め込みが存在する場合、 はに埋め込むことができると言われる。 ${\displaystyle f(x)=f(y)}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle y\leq x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$

順序同型は、射影的な順序埋め込みとして特徴付けることができます。その結果、任意の順序埋め込みf は、その定義域 Sとその像 f ( S )の間の同型に制限され、これは「埋め込み」という用語を正当化します。^[1]一方、2 つの (必然的に無限の) poset は、順序同型でなくても、相互に順序埋め込み可能である可能性があります。

実数の開区間 とそれに対応する閉区間がその一例である。関数 は前者を後者のサブセットに、後者を前者のサブセットに写像する (図を参照)。両方の集合を自然な方法で順序付けると、順序が保存され、順序が反映される (アフィン関数であるため)。しかし、eg には最小元があるのに対しにはないので、2 つの poset 間に同型性は存在できない。arctan を使用して実数を区間に順序付けして埋め込む同様の例、および逆方向の恒等写像については、例えば Just and Weese (1996) を参照。^[2]${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle f(x)=(94x+3)/100}$ ${\displaystyle (0.03,0.97)}$${\displaystyle [0.03,0.97]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle (0,1)}$

リトラクトは、合成が恒等写像である一対の順序保存写像である。この場合、はコラクションと呼ばれ、順序埋め込みでなければならない。^[3]しかし、すべての順序埋め込みがコラクションであるわけではない。自明な例として、空の poset から空でない poset への唯一の順序埋め込みには、順序保存写像 がないため、リトラクトがない。より具体的には、xによって部分的に順序付けされた 6 の約数の集合がy を割ることを考えてみよう（図を参照）。埋め込まれたサブ poset を考えてみよう。埋め込みのリトラクトは、との両方の上側のどこかに を送る必要があるが、そのような場所は存在しない。 ${\displaystyle (f,g)}$ ${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:\emptyset \to \{1\}}$${\displaystyle g:\{1\}\to \emptyset }$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{1,2,3\}}$${\displaystyle id:\{1,2,3\}\to S}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle \{1,2,3\}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3}$

poset は多くの観点から簡単に見ることができ、順序埋め込みは基本的なため、どこからでも見ることができます。たとえば、次のようになります。

• (理論的にモデル化) posetは、(反射的、反対称的、推移的な)二項関係を備えた集合です。A → B への順序埋め込みは、AからBの基本部分構造への同型です。
• (グラフ理論的に) posetは (推移的、非巡回的、有向、反射的)グラフです。 A → Bへの順序埋め込みは、AからBの誘導サブグラフへのグラフ同型です。
• (カテゴリ理論的には) poset は、各homset が最大で 1 つの要素を持つ(小さく、薄く、骨格的な)カテゴリです。A → B への順序埋め込みは、オブジェクトに単射なAからBへの完全かつ忠実な関手、または同等に、 AからBの完全なサブカテゴリへの同型です。

• ドゥシュニク・ミラー定理
• レーバーの定理