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古典力学では、粒子にかかる正味の力がゼロであれば、その粒子は機械的平衡状態にあるとされる。 [1] : 39 拡大解釈すると、多くの部分から構成される物理システムは、その個々の部分にかかる正味の力がゼロであれば、機械的平衡状態にあるとされる。 [1] : 45–46 [2]
力の観点から機械的平衡を定義することに加えて、機械的平衡には数学的に同等な代替定義が多数あります。
- 運動量の観点から見ると、システムの各部分の運動量がすべて一定であれば、システムは平衡状態にあります。
- 速度に関しては、速度が一定であればシステムは平衡状態にあります。 * 回転力学的平衡では、物体の角運動量は保存され、正味トルクはゼロになります。[2]
より一般的には、保存系では、一般化座標に対する位置エネルギーの勾配がゼロになる配置空間の点で平衡が確立されます。
平衡状態にある粒子の速度がゼロの場合、その粒子は静的平衡状態にある。[3] [4]平衡状態にあるすべての粒子は一定の速度を持っているので、粒子がフレームに対して 静止している慣性基準フレームを見つけることは常に可能です。
安定性
機械的平衡状態にあるシステムの重要な特性はその安定性です。
潜在エネルギー安定性テスト
システムの位置エネルギーを表す関数では、微積分を使用してシステムの平衡を決定できます。システムは、システムの位置エネルギーを表す関数の臨界点で機械的平衡状態にあります。これらの点は、関数の導関数がこれらの点でゼロであるという事実を使用して配置できます。システムが安定しているか不安定であるかを判断するには、2 次導関数テストを適用します。自由度が1 つのシステムの静的運動方程式を表すと、次の計算を実行できます。
- 2次導関数 < 0
- 位置エネルギーは局所的に最大であり、これはシステムが不安定な平衡状態にあることを意味します。システムが平衡状態から任意の小さな距離だけずれると、システムの力によってさらに遠くに移動します。
- 2次導関数 > 0
- 位置エネルギーは局所的に最小値にあります。これは安定した平衡です。小さな摂動に対する反応は、平衡を回復しようとする力です。システムで複数の安定した平衡状態が可能な場合、位置エネルギーが絶対最小値よりも高い平衡は準安定状態を表します。
- 2次導関数 = 0
- 状態は最低次に対して中立であり、少し変位するとほぼ平衡状態のままになります。システムの正確な安定性を調べるために、より高次の導関数を調べることができます。最低の非ゼロ導関数が奇数次であるか負の値を持つ場合、状態は不安定であり、最低の非ゼロ導関数が偶数次であり正の値を持つ場合、状態は安定です。すべての導関数がゼロの場合、導関数のみから結論を導き出すことは不可能です。たとえば、関数(x=0 で 0 と定義) のすべての導関数はゼロに等しくなります。同時に、この関数は x=0 で極小値を持つため、安定した平衡状態です。この関数にSign 関数を掛けると、すべての導関数はゼロのままですが、不安定な平衡状態になります。
- 関数は局所的に一定である
- 真に中立な状態では、エネルギーは変化せず、平衡状態の幅は有限です。これは、限界的に安定した状態、無関心状態、または非安定平衡と呼ばれることもあります。
複数の次元を考慮すると、方向によって異なる結果が得られる可能性があります。たとえば、 x方向の変位に関しては安定していますが、 y方向では不安定であり、鞍点と呼ばれるケースです。一般に、平衡はすべての方向で安定している場合にのみ安定していると呼ばれます。
不静定システム
場合によっては、力とモーメントの平衡条件である平衡方程式が、力と反作用を決定するのに不十分なことがあります。このような状況は不静定と呼ばれます。
静的に不確定な状況は、多くの場合、標準的な平衡方程式の外部からの情報を使用することで解決できます。
例
静止した物体（または物体の集合）は「静的平衡」にあり、これは力学的平衡の特殊なケースです。机の上の文鎮は静的平衡の例です。その他の例としては、岩石のバランスの彫刻や、ジェンガのゲームにおける積み木などが挙げられますが、彫刻や積み木が崩壊する状態にない限りは静的平衡にはなりません。
運動している物体も平衡状態にある場合があります。一定の速度で滑り台を滑っている子供は機械的平衡状態にありますが、静的平衡状態（地球または滑り台の基準フレーム内）にはありません。
機械的平衡のもう 1 つの例は、人がバネを特定の点まで押し付けることです。バネを任意の点まで押してそこに保持すると、圧縮荷重とバネの反作用が等しくなります。この状態では、システムは機械的平衡状態にあります。圧縮力が除去されると、バネは元の状態に戻ります。
均質な凸型物体（水平面上で重力を受けて静止しているとき）の静的平衡の最小数は特に興味深い。平面の場合、最小数は4であるが、3次元では、1つの安定したバランスポイントと1つの不安定なバランスポイントだけで物体を構築することができる。[5]このような物体はゴンボクと呼ばれる。
参照
注釈と参考文献
- ^ ab John L Synge & Byron A Griffith (1949). Principles of Mechanics (第2版). McGraw-Hill.
- ^ ab Beer FP、Johnston ER、Mazurek DF、Cornell PJ、およびEisenberg、ER (2009)。エンジニアのためのベクトル力学：静力学と動力学（第9版）。McGraw-Hill。p.158。
{{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク) - ^ ハーバート・チャールズ・コーベン & フィリップ・シュテール (1994)。古典力学 (1960 年第 2 版の再版)。クーリエ・ドーバー出版。p. 113。ISBN 0-486-68063-0。
- ^ ラクシュマナ・C・ラオ; J. ラクシュミナラシンハン。ラジュ・セトゥラマン。スリニヴァサン M. シヴァクマール (2004)。エンジニアリング力学。 PHIラーニングプライベートプライベートLtd. p. 6.ISBN 81-203-2189-8。
- ^ “数学”. Gömböc . 2021年. 2023年11月12日閲覧。
さらに読む
- Marion JB および Thornton ST. (1995)粒子およびシステムの古典的ダイナミクス。第 4 版、Harcourt Brace & Company。