時定数

物理学や工学では、通常ギリシャ文字 $τ$ (タウ)で表される時定数は、一次線形時不変(LTI) システムのステップ入力に対する応答を特徴付けるパラメータです。 ^[¹^]^[^{注 1}^]時定数は、一次 LTI システムの主要な特性単位です。応答速度を示します。たとえば、電圧のステップ変化によって駆動される単純な RC 回路では、時定数 $τ$ = RC によって、コンデンサ電圧が新しい定常状態値に向かって充電される速度が決まります。

時間領域では、時間応答を調べる一般的な方法は、ステップ入力に対するステップ応答、またはディラックデルタ関数入力に対するインパルス応答を用いることです。^[²^]周波数領域（例えば、ステップ応答のフーリエ変換を調べたり、時間の単純な正弦関数である入力を使用したりする場合）では、時定数は一次時不変システムの帯域幅、つまり出力信号のパワーが低周波数での値の半分に低下する周波数も決定します。このような時定数は、電気回路、熱システム、生物物理学における興奮性膜、放射性崩壊、気象センサーの応答など、物理学や工学の多くの分野に現れます。

時定数は、磁気テープ、無線送信機および受信機、レコードのカッティングおよび再生装置、デジタルフィルタなど、さまざまな信号処理システムの周波数応答を特徴付けるためにも使用されます。これらのシステムは、一次線形時不変（LTI）システムによってモデル化または近似することができます。その他の例としては、積分および微分動作コントローラの制御システムで使用される時定数が挙げられます。これらのコントローラは、電気式ではなく空気圧式であることが多いです。

時定数は、熱システムの集中システム解析（集中容量解析法）の特徴であり、物体が対流冷却または加熱の影響を受けて均一に冷却または加熱される場合に使用されます。^{[ 3 ]}

物理的には、時定数は、システムが初期速度で減衰し続けた場合にシステムの応答がゼロに減衰するのに必要な経過時間を表します。減衰速度が徐々に変化するため、この時間内に応答の値は実際に $1 / e \approx 36.8%$ まで減少します(例えば、段階的な減少から)。増加システムでは、時定数は、システムのステップ応答が最終 (漸近) 値の $1 - 1 / e \approx 63.2%$ に達するまでの時間です(例えば、段階的な増加から)。放射性崩壊では、時定数は崩壊定数( λ ) と関連しており、崩壊するシステム (原子など) が崩壊するまでの平均寿命、または原子の 36.8% を除くすべてが崩壊するのにかかる時間の両方を表します。このため、時定数は半減期 (原子の 50% だけが崩壊するのにかかる時間) よりも長くなります。

実際には、時定数とは、一次システムが入力の急激な変化に反応する際の特性的な時間スケールを指します。増加型の一次応答の場合、1つの時定数は出力が最終値の約63%（約63.2%）に達するまでの時間であり、減少型の応答の場合は、初期値の約37%（約36.8%）まで低下するまでの時間です。

微分方程式

1次LTIシステムは、次の微分方程式によって特徴付けられる。 $\tau {\frac {dV}{dt}}+V=f(t)$ ここで $τは$ 指数関数的減衰定数を表し、 $Vは時間$ $t$ の関数である。 $V=V(t).$ 右辺は、時間に関する外部駆動関数を表す強制関数 $f (t)$ であり、これはシステムの入力とみなすことができ、 $V (t)$ はそれに対する応答、つまりシステムの出力です。f $(t)$ の典型的な例は次の $とおり$ です。

ヘヴィサイド階段関数は、しばしば $u (t)$ と表記される。 $u(t)={\begin{cases}0,&t<0\\1,&t\geq 0\end{cases}}$ インパルス関数（しばしば $δ (t)$ で表される）および正弦波入力関数： $f(t)=A\sin(2\pi ft)$ または $f(t)=Ae^{j\omega t},$ ここで、 $A$ は強制関数の振幅、 $f$ はヘルツ単位の周波数、 $ω = 2πf$ はラジアン/秒単位の周波数です。一次システムの場合、この微分方程式は-1/τに単一の実極を持ちます。したがって、τの値が小さいほど、入力の変化に迅速に反応するシステムを表します。

指数関数的減衰の例

$初期値V 0$ で強制関数がない場合の微分方程式の解の例は次のとおりです。 $V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }$ どこ $V_{0}=V(t=0)$ $はV$ の初期値です。したがって、応答は時定数 $τ$ の指数関数的減衰となります。時定数は、この減衰の特性時間スケールを決定します。1 つの時定数後には、応答は初期値の約 37% まで減衰し、数回の時定数後には、実質的にゼロに近くなります。

時間経過に伴う減衰値の例

させて $t=0$ ; それから $V=V_{0}e^{0}$ 、など $V=V_{0}$
させて $t=\tau$ ; それから $V=V_{0}e^{-1}\approx 0.37V_{0}$ つまり、1つの時定数の期間が経過すると、関数は初期値の約37%である $e -1$ に達し、これは全体の減衰の約63%が発生したことを意味します。
させて $t=5\tau$ ; それから $V=V_{0}e^{-5}\approx 0.0067V_{0}$ これは元の値の1%未満です。多くのアプリケーションでは、この1%の閾値は、約5つの時定数後に指数関数的応答が実質的に最終値に達したことを意味すると解釈されます。
させて $t→∞$ ; それから ${\textstyle \lim _{t\to \infty }[V_{0}e^{-t/\tau }]=0}$ したがって、この関数は漸近的に0に収束するものの、実際に0に到達するには無限の時間が必要となる。

時定数と帯域幅の関係

強制関数を正弦波として選択したと仮定すると、次のようになります。 $\tau {\frac {dV}{dt}}+V=f(t)=Ae^{j\omega t}.$

（実数のコサイン波またはサイン波の入力に対する応答は、オイラーの公式を用いて最終結果の実部または虚部を取ることで得られます。） $V$ $($ $t$ $=0) =$ $V0$ と仮定した場合の、時刻 $t \geq 0 秒$ におけるこの方程式の一般解は $次$ のようになります。 ${\begin{aligned}V(t)&=V_{0}e^{-t/\tau }+{\frac {Ae^{-t/\tau }}{\tau }}\int _{0}^{t}\,dt'\ e^{t'/\tau }e^{j\omega t'}\\[1ex]&=V_{0}e^{-t/\tau }+{\frac {\frac {1}{\tau }}{j\omega +{\frac {1}{\tau }}}}A\left(e^{j\omega t}-e^{-t/\tau }\right).\end{aligned}}$

長時間経過すると、減衰指数関数は無視できるほど小さくなり、定常状態解または長時間解は次のようになります。 $V_{\infty }(t)={\frac {1/\tau }{j\omega +1/\tau }}Ae^{j\omega t}.$

この反応の大きさは以下のとおりです。 $|V_{\infty }(t)|=A{\frac {1}{\tau \left(\omega ^{2}+(1/\tau )^{2}\right)^{1/2}}}=A{\frac {1}{\sqrt {1+(\omega \tau )^{2}}}}.$ $慣例として、このシステムの帯域幅は、$ $| V\infty | 2 が$ 半分の値に低下する周波数、つまり $ωτ = 1$ となる周波数です。これは、電力の低下が半分未満（最大で -3 dB）となる周波数範囲として定義される、一般的な帯域幅の慣例です。周波数 $をラジアン/秒（$ $ω$ $= 2πf$ ）ではなくヘルツで表すと次のようになります。 $f_{\mathrm {3dB} }={\frac {1}{2\pi \tau }}.$

$f 3dB$ という表記は、電力をデシベルで表すことと、半電力 $が$ $| V\infty |$ の値が1/√2、つまり3デシベル低下することに対応するという観察に基づいています。

このように、時定数はこのシステムの帯域幅を決定します。時定数が小さいほど-3dB帯域幅が広くなり（入力のより速い変化にシステムが追従できるようになります）、時定数が大きいほど帯域幅が狭くなり、応答が遅くなります。

任意の初期条件におけるステップ応答

2つの異なる初期値V₀ _（ 1つは最終値より大きい値、もう1つはゼロ）に対するシステムのステップ応答。長時間応答は定数V∞_である。時間軸は時定数の単位で表される。 $\displaystyle \tau }$ 。

強制関数がステップ入力として選択されたと仮定すると、次のようになります。 ${\frac {dV}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}V=f(t)=Au(t),$ ここで、 $u$ $(t) は$ 単位ステップ関数である。V $($ $t$ $=0)=$ $V0$ と仮定した場合の、 $t\geq0 秒$ におけるこの方程式の一般解は $次$ のようになる。 $V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }+A\tau \left(1-e^{-t/\tau }\right).$

$（この応答は、上記の正弦波入力に対する応答のω \to0$ 極限であることに留意されたい。）

長時間解は時間にも初期条件にも依存しない。 $V_{\infty }=A\tau .$

同じシステムであれば、初期条件に関わらず時定数は一定です。簡単に言えば、システムは任意の初期状態においてその値にどれだけ近いかに関わらず、一定の速度で最終的な定常状態に近づきます。

例えば、起動が一次LTIシステムで適切にモデル化される電気モーターを考えてみましょう。静止状態から起動すると、モーターが定格速度100 RPMの63%、つまり63 RPMに達するまでに1/8秒かかるとします。これは37 RPMの不足です。次に、1 / 8秒後には、モーターはさらに23 RPM加速し、これは37 RPMの差の63%に相当します。これにより、モーターは86 RPMになりますが、まだ14 RPM低いままです。3回目の1/8秒後には、モーターはさらに9 RPM（14 RPMの差の63%）加速し、95 RPMになります。

実際、初期速度s ≤ 100 RPM の場合、1 / 8秒後にはこのモーターはさらに0.63 × (100 − s ) RPM増加します。

例

電気回路における時定数

単一の抵抗器とインダクタで構成される RL回路では、時定数は $\displaystyle \tau }$ （秒単位）は $\tau ={\frac {L}{R}}$ ここで、Rは抵抗（オーム）、Lはインダクタンス（ヘンリー）です。

同様に、単一の抵抗器とコンデンサで構成されるRC回路では、時定数は $\displaystyle \tau }$ （秒単位）は： $\tau =RC$ ここで、Rは抵抗（オーム単位）、Cは静電容量（ファラッド単位）です。

電気回路はこれらの例よりも複雑な場合が多く、複数の時定数を示すことがあります（ステップ応答と極分割の例を参照）。フィードバックが存在する場合、システムは不安定で増大する振動を示す可能性があります。さらに、非常に振幅の小さい励起を除いて、実際の電気回路は真の線形システムであることはほとんどありませんが、線形性の近似は広く用いられています。

デジタル電子回路では、別の単位としてFO4（ファンアウト4）がよく用いられます。これは、次の式を用いて時定数単位に変換できます。 $5\tau ={\text{FO4}}$ [ ⁴^]

例えば、R = 100 kΩ、C = 10 µF の場合、時定数はτ = RC = 1 秒となるため、印加電圧がステップ変化してから 1 秒後にはコンデンサ電圧は最終値の約 63% に達します。

熱時定数

時定数は、対流冷却または対流加熱の影響下で物体が均一に冷却または加熱される場合に使用される熱システムの集中システム解析（集中容量解析法）の特徴です。この場合、ある時点での物体から周囲への熱伝達は、物体と周囲との温度差に比例します。^[⁵^] $F=hA_{s}\left(T(t)-T_{a}\right),$ ここで、 hは熱伝達係数、A _sは表面積、Tは温度関数、すなわちT ( t ) は時刻tにおける体温、T _{a は}一定の周囲温度です。正の符号は、体温が周囲温度よりも高いため、熱が体から放出されるときにFが正になるという慣例を示しています( Fは外向きの熱流束です)。周囲に熱が失われると、この熱伝達により、体の温度が低下します。^[⁵^] $\rho c_{p}V{\frac {dT}{dt}}=-F,$ ここで、ρは密度、cp_は比熱、Vは体積です。負の符号は、熱伝達が物体から外向きに行われるとき（つまり、F > 0のとき）に温度が低下することを示しています。熱伝達に関するこれら2つの式を等しいとおくと、 $\rho c_{p}V{\frac {dT}{dt}}=-hA_{s}\left(T(t)-T_{a}\right).$

明らかに、これは次の形式で表せる一次LTIシステムである。 ${\frac {dT}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}T={\frac {1}{\tau }}T_{a},$ と $\tau ={\frac {\rho c_{p}V}{hA_{s}}}.$

言い換えれば、質量ρVが大きく熱容量c _pが高いほど温度変化は遅くなり（時定数τが長くなる）、表面積A _sが大きく熱伝達hが高いほど温度変化は速くなる（時定数τが短くなる）。

この集中定数モデルは、内部温度勾配が小さい場合、例えばビオ数が約0.1未満の場合などに一般的に有効です。

導入微分方程式との比較から、時間的に変化する周囲温度T _aへの一般化の可能性が示唆される。しかし、単純な一定の周囲温度の例を維持し、変数 Δ T ≡ ( T − T _a )を代入すると、次のようになる。 ${\frac {d\Delta T}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}\Delta T=0.$

冷却が上記の指数関数式を満たすシステムは、ニュートンの冷却法則を満たすと言われます。この方程式の解は、そのようなシステムにおいて、システムの温度と周囲の温度の差 ΔTが時間tの関数として次のように表されることを示唆しています。 $\Delta T(t)=\Delta T_{0}e^{-t/\tau },$ ここで、ΔT₀は_時刻t =0における初期温度差である。言い換えれば、物体は時定数によって決まる指数関数的に遅い速度で周囲温度と同じ温度になる。

生物物理学における時間定数

筋肉やニューロンなどの興奮性細胞では、膜時定数は膜電位がどれだけ速く変化するかを特徴づける時定数であり、 $\displaystyle \tau =r_{m}c_{m}}$ ここで、r _mは膜の抵抗、c _mは膜の静電容量である。

膜抵抗は開いているイオンチャネルの数に依存し、静電容量は脂質二重層の特性に依存する。

時定数は膜電位の上昇と下降を記述するために使用され、上昇は次のように記述されます。 $V(t)=V_{\max }\left(1-e^{-t/\tau }\right)$ そして落下は次のように説明される $V(t)=V_{\max }e^{-t/\tau }$ ここで、電圧はミリボルト単位、時間は秒単位であり、 $\displaystyle \tau }$ 秒単位です。

Vmax_は静止電位からの最大電圧変化として定義され、 $V_{\max }=r_{m}I$ ここで、r _mは膜抵抗、Iは膜電流である。

tの設定= $\displaystyle \tau }$ 立ち上がりセットでは、V ( t )は0.63Vmaxに等しくなります。これは_、時定数がVmaxの63%に達した後の経過時間であることを意味します_。

tの設定= $\displaystyle \tau }$ 落下の場合、V(t)は_0.37Vmaxに等しくなります。これは_、時定数がVmaxの37%まで落下してから経過した時間であることを意味します。

時定数が大きいほど、ニューロンの電位の上昇または下降は遅くなります。時定数が長いと、時間的加算が生じ、繰り返されるシナプス入力が時間的に代数的に加算されます。一方、時定数が短い場合は、空間的加算による同時検出が促進されます。これは、入力が強い複合効果を発揮するためには、狭い時間窓内に到達する必要があるためです。

指数関数的減衰

放射性同位体などの指数関数的崩壊では、時定数は平均寿命と解釈できます。半減期T _HLまたはT _1/2は指数関数的崩壊定数と関連しています。 $\displaystyle \tau }$ による $T_{1/2}=T_{\text{HL}}=\tau \ln 2.$ 時定数の逆数は減衰定数と呼ばれ、と表記されます。 $\lambda =1/\tau$ 。

気象センサー

気象センサーの場合、時定数とは、実際の環境条件が急激に変化した後、測定値が全変化量の約63%に達するまでの時間のことである。

これは主に、気温、露点温度、湿度、気圧の測定に当てはまります。ラジオゾンデは高度が急激に上昇するため、特に影響を受けやすいです。時定数が大きいほど急激な変動が平滑化され、短期間の極端な値を過小評価する傾向がありますが、時定数が小さいほど、機器は急激な変化をより正確に追跡できます。

注記

↑具体的には、一次LTIシステムとは、時間に関する単一の一次微分方程式でモデル化できるシステムのことです。例としては、最も単純な単段電気RC回路やRL回路などが挙げられます。

参考文献

↑ Béla G. Lipták (2003). Instrument Engineers' Handbook: Process control and optimization (4 ed.). CRC Press. p. 100. ISBN 978-0-8493-1081-2。
↑ Bong Wie (1998).宇宙機の力学と制御.アメリカ航空宇宙学会. p. 100. ISBN 978-1-56347-261-9。
↑ GR North (1988). 「エネルギー収支モデルからの教訓」 . Michael E. Schlesinger (編)『気候と気候変動の物理ベースモデリングとシミュレーション』（NATO物理ベースモデリングに関する先端研究機関編）. Springer. p. 627. ISBN 978-90-277-2789-3。
↑ Harris, D.; Sutherland, I. (2003). 「キャリー伝播加算器の論理的努力」。第37回アシロマ信号・システム・コンピュータ会議、2003年。pp . 873–878。doi : 10.1109 /ACSSC.2003.1292037。ISBN 0-7803-8104-1. S2CID 7880203 .
1 2ローランド・ウィン・ルイス;ペルマル・ニティアラス。 KN シータラム (2004)。熱と流体の流れに対する有限要素法の基礎。ワイリー。 p. 151.ISBN 978-0-470-84789-3。

外部リンク

時定数τからカットオフ周波数fcへの変換、およびその逆の変換
回路のすべて – 電圧と電流の計算
建物のエネルギーと熱時定数

[2] 具体的には、一次LTIシステムとは、時間に関する単一の一次微分方程式でモデル化できるシステムのことです。例としては、最も単純な単段電気RC回路やRL回路などが挙げられます。

[Lipták-1] Béla G. Lipták (2003). Instrument Engineers' Handbook: Process control and optimization (4 ed.). CRC Press. p. 100. ISBN 978-0-8493-1081-2。

[Wie-3] Bong Wie (1998).宇宙機の力学と制御.アメリカ航空宇宙学会. p. 100. ISBN 978-1-56347-261-9。

[NATO-4] GR North (1988). 「エネルギー収支モデルからの教訓」 . Michael E. Schlesinger (編)『気候と気候変動の物理ベースモデリングとシミュレーション』（NATO物理ベースモデリングに関する先端研究機関編）. Springer. p. 627. ISBN 978-90-277-2789-3。

[5] Harris, D.; Sutherland, I. (2003). 「キャリー伝播加算器の論理的努力」。第37回アシロマ信号・システム・コンピュータ会議、2003年。pp . 873–878。doi : 10.1109 /ACSSC.2003.1292037。ISBN 0-7803-8104-1. S2CID 7880203 .

[Lewis-6] 1 2ローランド・ウィン・ルイス;ペルマル・ニティアラス。 KN シータラム (2004)。熱と流体の流れに対する有限要素法の基礎。ワイリー。 p. 151.ISBN 978-0-470-84789-3。

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