カーメトリック

カー計量またはカー幾何学は、準球状の事象の地平線を持つ回転する非荷電軸対称ブラックホールの周りの空の時空の幾何学を記述します。カー計量は、一般相対性理論のアインシュタイン場の方程式の正確な解です。これらの方程式は高度に非線形であるため、正確な解を見つけるのは非常に困難です。

カー計量は、 1915 年にカール・シュバルツシルトによって発見されたシュバルツシルト計量の回転体への一般化であり、荷電していない球対称の非回転物体の周りの時空の幾何学を記述するものである。荷電した球状の非回転物体に対する対応する解であるライスナー・ノルドストローム計量は、その後まもなく (1916 ～ 1918 年) 発見された。しかし、荷電していない回転するブラックホールに対する厳密な解であるカー計量は、1963 年にロイ・カーによって発見されるまで未解決のままであった。^{[1] [2] : 69～81}荷電した回転するブラックホールへの自然な拡張であるカー・ニューマン計量 は、その後まもなく 1965 年に発見された。これらの関連する 4 つの解は、次の表にまとめることができる。ここで、Qは 物体の電荷、 Jは

カー計量によれば、回転体は一般相対性理論の特徴的な予測であるフレームドラッグ（レンズ・サーリング歳差運動としても知られる）を示すはずである。このフレームドラッグ効果の最初の測定は、2011年に重力プローブB実験によって行われた。大まかに言えば、この効果は、回転する質量に近づく物体は、感じられるような力やトルクではなく、回転体に関連する時空自体の渦巻く曲率のために、その回転に巻き込まれると予測する。回転するブラックホールの場合、十分に近い距離では、すべての物体（光でさえ）がブラックホールと一緒に回転しなければならない。これが成り立つ領域はエルゴ球と呼ばれる。

遠くの光源からの光は、事象の地平線を何度も周回することができます（十分に近い場合）。これにより、同じ物体の複数の像が作られます。遠くから見ると、像間の見かけの垂直距離はe ^{2 π}（約 500）の係数で減少します。ただし、高速で回転するブラックホールでは、多重像間の距離は短くなります。^{[3] [4]}

回転するブラックホールには、計量が見かけ上の特異点を持つように見える表面があります。これらの表面の大きさと形は、ブラックホールの質量と角運動量によって決まります。外表面はエルゴ球を囲み、平らな球に似た形をしています。内表面は事象の地平線を示します。この地平線の内部に入った物体は、その地平線の外側の世界と二度と通信することはできません。ただし、どちらの表面も真の特異点ではありません。なぜなら、それらの見かけ上の特異点は別の座標系で除去できるからです。シュワルツシルト計量を考えるときも同様の状況になります。シュワルツシルト計量も、 ⁠ ⁠${\displaystyle r=r_{\text{s}}}$で特異点をもたらし、r _{s の}上と下の空間を 2 つの分離したパッチに分割するように見えます。別の座標変換を使用すると、拡張された外部パッチを内部パッチに関連付けることができます (シュワルツシルト計量の § 特異点とブラックホールを参照)。このような座標変換により、内表面と外表面が接する見かけ上の特異点が除去されます。上で述べたように、これら 2 つの表面の間にある物体は、回転するブラックホールと一緒に回転する必要があります。この特徴は、原理的には、回転するブラックホールからその不変質量エネルギー Mc ²までのエネルギーを抽出するために使用できます。

2016年に発表された重力波を初めて検出したLIGO実験では、カーブラックホールのペアの初めての直接観測も行われました。 ^[5]

カー計量は、一般的にボイヤー・リンドキスト形式とカー・シルト形式の2つの形式のいずれかで表現されます。これは、ニューマン・ジャニスアルゴリズム^[6]、ニューマン・ペンローズ形式（スピン係数形式としても知られる）^{[7] 、}エルンスト方程式^[8]、または楕円体座標変換^{[9]を使用して、}シュワルツシルト計量から簡単に導くことができます。

カー計量は、角運動量⁠ ⁠で回転する質量⁠ ⁠${\displaystyle M}$の近傍における時空の幾何学を記述する。 ^[10]ボイヤー・リンドキスト座標における計量（またはそれと同等の固有時間に対する線要素）は^{[11] [12]}である。${\displaystyle J}$

ここで、座標は標準偏球座標であり、${\displaystyle r,\theta ,\phi }$直交座標[ ^{13] [14]と同等である。}

シュワルツシルト半径はどこにあるか${\displaystyle r_{\text{s}}}$

簡潔にするために、長さスケール⁠ ⁠${\displaystyle a,\Sigma }$と⁠ ⁠ は${\displaystyle \Delta }$次のように導入されている。

上記の測定基準で注目すべき重要な特徴は、交差項⁠ ⁠${\displaystyle dt\,d\phi }$です。これは、回転面内で時間と運動の間に結合があり、ブラックホールの角運動量がゼロになるとそれが消えることを意味します。

⁠ ⁠${\displaystyle M}$（または、同等に、⁠ ⁠${\displaystyle r_{\text{s}}}$ ）がゼロになる非相対論的極限では、カー計量は扁平回転楕円体座標の直交計量になる。

カー計量は、次のように特定の直交座標系を使用して「カー・シルト」形式で表すことができます。^{[15] [16] [17]これらの解は、1965年に}カーとシルトによって提案されました。

k は単位 3 ベクトルであり、4 ベクトルはgとη の両方に関してヌルベクトル となることに注意してください。^[18]ここで、Mは回転する物体の一定質量、ηはミンコフスキーテンソル、aは回転する物体の一定回転パラメータです。ベクトル⁠ ⁠ は正の z 軸に沿っていることがわかります。量r は半径ではなく、次のように暗黙的に定義されます。 ${\displaystyle {\vec {a}}}$

rの量が通常の半径Rになることに注意してください。

${\displaystyle r\to R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

回転パラメータ⁠ ⁠ が${\displaystyle a}$ゼロに近づくと、光速は ⁠ ⁠ になります。この形式の解法では、光速が 1 ( ⁠ ⁠${\displaystyle c=1}$ ) になるように単位が選択されます。光源からの距離が大きい場合 ( R ≫ a )、これらの方程式はシュワルツシルト計量の エディントン-フィンケルシュタイン形式に簡約されます。

カー計量のカー・シルト形式では、計量テンソルの行列式は、源の近くであってもどこでも負の1に等しい。^[19]

カー計量（カー-NUT計量と同様）は軸対称であるため、ベリンスキー-ザハロフ変換を適用できる形に変換できる。これはカーブラックホールが重力ソリトンの形をしていることを意味する。^[20]

ブラックホールの回転エネルギーがすべて抽出された場合、たとえば${\displaystyle E_{\rm {rot}}=c^{2}\left(M-M_{\rm {irr}}\right)}$ペンローズ過程^{[21] [22]}では、残りの質量は減少不可能な質量以下に縮小することはできません。したがって、ブラックホールがスピン⁠ ⁠${\displaystyle a=M}$とともに回転する場合、その総質量当量は、 ⁠ ⁠${\displaystyle M}$が⁠ ⁠に等しい対応するシュワルツシルトブラックホールと比較して⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {2}}}$倍高くなります。これは、静止した物体を回転させるためには、システムにエネルギーを適用する必要があるためです。質量エネルギーの等価性のため、この${\displaystyle M}$エネルギーにも質量当量があり、システムの総質量エネルギー⁠ ⁠に追加されます。 ${\displaystyle M_{\text{irr}}}$${\displaystyle M}$

物体の全質量相当量⁠ ⁠ （重力質量）（${\displaystyle M}$回転エネルギーを含む）と不可減質量⁠ ⁠${\displaystyle M_{\text{irr}}}$は次のように関係付けられている^{[23] [24]}

${\displaystyle 2M_{\rm {irr}}^{2}=M^{2}+{\sqrt {M^{4}-J^{2}c^{2}/G^{2}}}\Longrightarrow M^{2}=M_{\rm {irr}}^{2}+{\frac {J^{2}c^{2}}{4M_{\rm {irr}}^{2}G^{2}}}.}$

カー計量を直接チェックするだけでも面倒な計算が必要になるため、ボイヤー・リンドキスト座標における計量テンソルの反変成分は、4次勾配演算子の2乗の式で以下のように示される。^[21]${\displaystyle g^{ik}}$

カー計量（1）を次の形に書き直すことができる。

このメトリックは、半径rと余緯度 θの両方に依存する角速度 Ω で回転する共回転参照フレームと同等です。ここで、 Ω はキリング地平線と呼ばれます。

このように、慣性基準フレームは回転する中心質量に引き込まれ、中心質量の回転に加わります。これはフレームドラッグと呼ばれ、実験的にテストされています。^[25] 質的に、フレームドラッグは電磁誘導の重力類似物と見なすことができます。赤道上の軌道上で、恒星に対して回転的に静止している「アイススケーター」が腕を伸ばします。ブラックホールに向かって伸ばされた腕は、回転方向にトルクがかかります。ブラックホールから離れて伸ばされた腕は、反回転方向にトルクがかかります。したがって、彼女はブラックホールに対して逆回転の意味で回転速度が上がります。これは、日常の経験で起こることの逆です。彼女が腕を伸ばしたときにすでに特定の速度で回転している場合、慣性効果とフレームドラッグ効果がバランスし、彼女の回転は変化しません。等価原理により、重力の影響は局所的には慣性の影響と区別がつかないため、腕を伸ばしても何も起こらないこの回転速度が、非回転の局所的基準となります。このフレームは恒星に対しては回転し、ブラックホールに対しては逆回転します。役に立つ比喩は、ブラックホールが太陽歯車、アイススケーターが遊星歯車、外宇宙がリングギアである遊星歯車システムです。これはマッハの原理を通して解釈することもできます。

カー計量には重要な面がいくつかある（1）。内表面はシュワルツシルト計量で観測されるものと同様の事象の地平線に対応し、これは計量の純粋な放射状成分grrが無限大になるところで発生する。_二次方程式を解く⁠1/グー_​⁠ = 0 の場合、解は次のようになります。

${\displaystyle r_{\rm {H}}^{\pm }={\frac {r_{\text{s}}\pm {\sqrt {r_{\text{s}}^{2}-4a^{2}}}}{2}}}$

これを自然単位系（ ⁠ ⁠${\displaystyle G=M=c=1}$を与える）で表すと、次のように簡略化されます。

${\displaystyle r_{\rm {H}}^{\pm }=1\pm {\sqrt {1-a^{2}}}}$

シュワルツシルト計量では事象の地平線は計量の純粋に時間的な要素g _ttが正から負に符号を変える場所でもありますが、カー計量ではそれは異なる距離で起こります。再び二次方程式g _tt = 0を解くと、解が得られます。

${\displaystyle r_{\rm {E}}^{\pm }={\frac {r_{\text{s}}\pm {\sqrt {r_{\text{s}}^{2}-4a^{2}\cos ^{2}\theta }}}{2}}}$

または自然単位では:

${\displaystyle r_{\rm {E}}^{\pm }=1\pm {\sqrt {1-a^{2}\cos ^{2}\theta }}}$

平方根のcos ² θ項により、この外表面は、回転軸の極で内表面に接する平らな球に似ており、余緯度θ は0 またはπに等しくなります。これら 2 つの表面の間の空間はエルゴ球と呼ばれます。この体積内では、純粋に時間的な要素g _ttは負であり、純粋に空間的な計量要素のように機能します。したがって、このエルゴ球内の粒子は、時間のような特性を保持するには、内部質量と共に回転する必要があります。移動する粒子は、時空を通過する経路である世界線に沿って正の固有時間を経験します。ただし、粒子が内部質量⁠ ⁠の周りを少なくとも ⁠ ⁠ の角速度で 共回転していない限り、  g _ttが負であるエルゴ球内ではこれは不可能です。したがって、エルゴ球内では、中心質量の回転と反対方向に粒子が移動することはできません。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \Omega }$

シュワルツシルト計量の事象の地平線と同様に、r _Hにおける見かけの特異点は座標の選択によるものです（つまり、座標特異点です）。実際、適切な座標の選択により、時空はそこをスムーズに通過することができます。一方、r _{Eにおけるエルゴ球の外側の境界は、非}ゼロ項${\displaystyle dt\ d\phi }$のため、カー座標でもそれ自体では特異ではありません。

一般的にブラックホールは事象の地平線と呼ばれる表面に囲まれており、非回転ブラックホールのシュワルツシルト半径に位置し、脱出速度は光速に等しくなります。この表面内では、観測者/粒子は一定半径を維持できません。内側に落ちるように強制されるため、これは静的限界と呼ばれることもあります。

回転するブラックホールは事象の地平線で同じ静的限界を持つが、事象の地平線の外側に「エルゴ面」と呼ばれる追加の表面があり、次のように表される。

${\displaystyle (r-M)^{2}=M^{2}-J^{2}\cos ^{2}\theta }$

ボイヤー・リンクイスト座標では、これは「周囲の空間の回転速度」が光速とともに引きずられる球体として直感的に特徴付けられます。この球体内では引きずり速度は光速よりも速く、あらゆる観測者/粒子は共回転を強いられます。

事象の地平線の外側だが表面の内側で回転速度が光速である領域は、エルゴ球（ギリシャ語のergonは仕事を意味する）と呼ばれる。エルゴ球内に落下する粒子は、より速く回転することを余儀なくされ、それによってエネルギーを得る。それらは事象の地平線の外側にあるため、ブラックホールから脱出する可能性がある。最終的なプロセスは、回転するブラックホールが自身の全エネルギーを犠牲にしてエネルギー粒子を放出するというものである。回転するブラックホールからスピンエネルギーを抽出する可能性は、1969年に数学者ロジャー・ペンローズによって初めて提案され、ペンローズ過程と呼ばれている。天体物理学において回転するブラックホールは、大量のエネルギーの潜在的な供給源であり、ガンマ線バーストなどのエネルギー現象を説明するために使用される。

カー幾何学は多くの注目すべき特徴を示す。最大解析的拡張には、それぞれがエルゴ球面、定常極限面、事象の地平線、コーシーの地平線、閉じた時間的曲線、およびリング状の曲率特異点に関連付けられた、漸近的に平坦な外部領域のシーケンスが含まれる。測地線方程式は、閉じた形式で正確に解くことができる。2 つのキリング ベクトル場(時間変換と軸対称性に対応)に加えて、カー幾何学は注目すべきキリング テンソルを許容する。一対の主要なヌル合同 (1 つは入ってくる、もう 1 つは出ていく) が存在する。ワイル テンソルは代数的に特殊で、実際、ペトロフ型Dである。大域構造は既知である。位相的には、カー時空のホモトピー型は、各整数点に円が接続された線として単純に特徴付けることができる。

内部カー幾何学は内部領域の摂動に対して不安定であることに注意する。この不安定性は、カー計量が軸対称であっても、重力崩壊によって生成されたブラックホールはそうではない可能性があることを意味する。^[13]この不安定性はまた、上記のカー幾何学の特徴の多くがそのようなブラックホールの内部には存在しない可能性があることも意味する。^{[27] [28]}

光がブラックホールを周回できる表面は光子球と呼ばれます。カー解には、内側の光子球と外側の光子球の間に無限の数の光子球があります。 ⁠ ⁠ を${\displaystyle a=0}$伴う非回転のシュワルツシルト解では、内側の光子球と外側の光子球が縮退し、単一の半径には光子球が 1 つだけ存在します。ブラックホールの回転が大きいほど、内側の光子球と外側の光子球は互いに離れます。ブラックホールの回転と反対方向に移動する光線は、外側の光子球でブラックホールを円周します。ブラックホールの回転と同じ方向に移動する光線は、内側の光子球で円周します。ブラックホールの回転軸に垂直な角運動量を持つ軌道測地線は、これら 2 つの極端な値の間の光子球上を周回します。時空は回転しているため、このような軌道は歳差運動を示します。これは、 ⁠ ⁠変数の 1 周期が完了した後に、⁠ ⁠${\displaystyle \phi }$変数にシフトが生じるためです。 ${\displaystyle \theta }$

カー時空における試験粒子の運動方程式は、 4つの運動定数によって支配される。^[29] 1つ目は試験粒子の不変質量であり、関係式で定義される。 ここで 、⁠ ⁠は粒子の4元運動量である。さらに、カー時空の時間並進対称性と回転対称性、エネルギー⁠ ⁠ 、およびブラックホール⁠ ⁠のスピンに平行な軌道角運動量の成分によって与えられる2つの運動定数がある。^{[21] [30]}そして ${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle -\mu ^{2}=p^{\alpha }g_{\alpha \beta }p^{\beta },}$$${\displaystyle p^{\alpha }}$${\displaystyle E}$${\displaystyle L_{z}}$ $${\displaystyle E=-p_{t},}$$$${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }}$$

ハミルトン・ヤコビ理論を用いて、ブランドン・カーターは運動の4番目の定数⁠ ⁠${\displaystyle Q}$が存在することを示しました。 ^[29]これは現在カーター定数と呼ばれています。これは粒子の全角運動量に関係し、次のように表されます。 $${\displaystyle Q=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}\left(\mu ^{2}-E^{2}\right)+\left({\frac {L_{z}}{\sin \theta }}\right)^{2}\right).}$$

自由度に対して 4 つの (独立した) 運動定数があるため、カー時空におけるテスト粒子の運動方程式は積分可能です。

これらの運動定数を用いると、試験粒子の軌道方程式は（⁠ ⁠${\displaystyle G=M=c=1}$の自然単位を用いて） 次のように 表すことができる。 ^[29] $${\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma {\frac {dr}{d\lambda }}&=\pm {\sqrt {R(r)}}\\\Sigma {\frac {d\theta }{d\lambda }}&=\pm {\sqrt {\Theta (\theta )}}\\\Sigma {\frac {d\phi }{d\lambda }}&=-\left(aE-{\frac {L_{z}}{\sin ^{2}\theta }}\right)+{\frac {a}{\Delta }}P(r)\\\Sigma {\frac {dt}{d\lambda }}&=-a\left(aE\sin ^{2}\theta -L_{z}\right)+{\frac {r^{2}+a^{2}}{\Delta }}P(r)\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle \Theta (\theta )=Q-\cos ^{2}\theta \left(a^{2}\left(\mu ^{2}-E^{2}\right)+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)}$
• ${\displaystyle P(r)=E\left(r^{2}+a^{2}\right)-aL_{z}}$
• ${\displaystyle R(r)=P(r)^{2}-\Delta \left(\mu ^{2}r^{2}+(L_{z}-aE)^{2}+Q\right)}$

ここで⁠ ⁠ は${\displaystyle \lambda }$⁠ ⁠となるアフィンパラメータです。特に、 ⁠ ⁠ のとき、アフィンパラメータ⁠ ⁠は⁠ ⁠を通じて固有時間⁠ ⁠ ⁠と関連付けられます。 ${\displaystyle {\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}=p^{\alpha }}$${\displaystyle \mu >0}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \lambda =\tau /\mu }$

フレームドラッグ効果のため、ゼロ角運動量観測者（ZAMO）は、ブックキーパーの座標時間⁠ ⁠に対して定義される角速度⁠ ⁠${\displaystyle \Omega }$とともに共回転している。^[31]テスト粒子の局所速度⁠ ⁠ は、⁠ ⁠とともに共回転するプローブに対して測定される。固定された⁠ ⁠の ZAMOと、質量から遠く離れた静止した観測者と の間の重力による時間の遅れは 、直交カー・シルト座標では、光子の方程式は^[32]であり 、⁠ ⁠ はカーターの定数に類似しており、⁠ ⁠は有用な量である。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle r}$$${\displaystyle {\frac {t}{\tau }}={\sqrt {\frac {\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\Delta \sin ^{2}\theta }{\Delta \ \Sigma }}}.}$$ $${\displaystyle {\ddot {x}}+i{\ddot {y}}=4iMa{\frac {r}{\Sigma ^{2}}}W\left[{\dot {x}}+i{\dot {y}}-{\frac {x+iy}{r}}{\dot {r}}\right]-M(x+iy)\left({\frac {4r^{2}}{\Sigma }}-1\right){\frac {C-a^{2}W^{2}}{r\Sigma ^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\ddot {z}}=-Mz\left({\frac {4r^{2}}{\Sigma }}-1\right){\frac {C}{r\Sigma ^{2}}}}$$${\displaystyle C}$${\displaystyle W}$$${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+\left(aE\sin {\theta }-{\frac {L_{z}}{\sin {\theta }}}\right)^{2}}$$ $${\displaystyle W={\dot {t}}-a\sin ^{2}{\theta }{\dot {\phi }}}$$

⁠ ⁠${\displaystyle a=0}$を設定すると、シュワルツシルト測地線が復元されます。

カー計量の等長変換群は、特異点の 2 次元軌跡を自身にとる10 次元ポアンカレ群のサブグループです。時間変換(1 次元) と回転軸の周りの回転 (1 次元) を保持します。したがって、2 次元です。ポアンカレ群と同様に、恒等変換の要素、時間と経度を反転する要素、赤道面を反射する要素、および両方を行う要素の 4 つの接続された要素があります。

物理学では、対称性は、ノイマンの定理に従って、運動の保存定数と通常関連付けられます。上に示したように、測地線方程式には 4 つの保存量があります。そのうちの 1 つは測地線の定義から生じ、残りの 2 つはカー幾何学の時間変換と回転対称性から生じます。4 番目の保存量は、標準的な意味での対称性から生じるものではなく、一般に隠れた対称性と呼ばれます。

事象の地平線の位置は、⁠ ⁠ の大きい根によって決まります。⁠ ⁠ (つまり${\displaystyle \Delta =0}$⁠ ⁠ ) のとき、${\displaystyle r_{\text{s}}/2<a}$この方程式に${\displaystyle GM^{2}<Jc}$は（実数値の）解はなく、事象の地平線は存在しません。宇宙の他の部分からそれを隠す事象の地平線がないので、ブラックホールはブラックホールではなくなり、代わりに裸の特異点になります。^[33]

カー解は⁠ ⁠${\displaystyle \Delta =0}$の根で特異であるように見えますが、これらは実際には座標特異点であり、新しい座標を適切に選択することで、カー解はこれらの根に対応する⁠ ⁠${\displaystyle r}$の値を介して滑らかに拡張できます。これらの根のうち大きい方が事象の地平線の位置を決定し、小さい方がコーシー地平線の位置を決定します。（未来に向いた、時間のような）曲線は外部から始まり、事象の地平線を通過することができます。事象の地平線を通過すると、⁠ ⁠${\displaystyle r}$座標は時間座標のように振る舞うため、曲線がコーシー地平線を通過するまで減少する必要があります。^[34]

回転するブラックホールの周りの時空構造を記述するカー計量は、内側の事象の地平線を超えて拡張することができる。ボイヤー・リンドキスト座標系では、この内側の地平線は次の位置にある。 ${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$

${\displaystyle r_{-}=M-{\sqrt {M^{2}-a^{2}}}.}$

この内側の地平線を越​​えると、放射座標は減少し続け、負の値になることもあります。 ${\displaystyle r}$

では、リング特異点という特異な特徴が生じます。シュワルツシルト計量（回転しないブラックホール）の点特異点とは異なり、カー特異点は単一の点ではなく、赤道面（）にあるリングです。このリング特異点は、時空の新しい領域への入り口として機能します。 ${\displaystyle r=0}$${\displaystyle \theta =\pi /2}$

赤道面 ( ) を避けると、座標を負の値まで滑らかに続けることができます。 の領域は、完全に新しい漸近的に平坦な宇宙として解釈され、しばしば「反宇宙」と呼ばれます。 この反宇宙には、いくつかの驚くべき特性があります。 ${\displaystyle \theta \neq \pi /2}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r<0}$

負の ADM 質量:反宇宙は負のArnowitt-Deser-Misner (ADM) 質量を持ちます。これは、無限遠で測定された時空の総質量エネルギーと考えることができます。負の質量は一般相対性理論では非常に珍しい概念であり、その物理的な解釈は依然として議論されています。

反宇宙内では、さらに奇妙な現象が発生します。リング特異点の周りの方位角方向に関連するメトリック成分は、符号が変わる可能性があります。具体的には、次のように表されます。 ${\displaystyle g_{\phi \phi }}$${\displaystyle g_{\phi \phi }}$

${\displaystyle g_{\phi \phi }={\frac {-(r^{2}+a^{2})^{2}+\Delta a^{2}\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\sin ^{2}\theta .}$

が負になると、座標は時間的になり、座標と の線形結合は空間的になります。これにより、閉じた時間的曲線 (CTC) が存在するようになります。CTC は、因果律に反してオブジェクトが自身の過去に戻ることができる時空を通る経路です。 ${\displaystyle g_{\phi \phi }}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle t}$${\displaystyle \phi }$

符号の変化とCTCが最初に現れる境界はコーシー地平線と呼ばれます。これは条件によって定義され、 ${\displaystyle g_{\phi \phi }}$${\displaystyle g_{\phi \phi }=0}$

${\displaystyle (r^{2}+a^{2})^{2}=a^{2}\Delta \sin ^{2}\theta }$

コーシー地平線は、その境界を超えると因果関係という一般的な概念が崩れる境界として機能します。CTC の存在は、時空のこれらの極限領域における物理法則の予測可能性と一貫性に関する根本的な疑問を提起します。

拡張カー計量の反宇宙領域は、魅力的で複雑な理論的構成である。それは、負の質量、逆の時間方向、そして閉じた時間的曲線を通るタイムトラベルの可能性を伴うシナリオを提示する。^{[27] [28]}反宇宙の物理的実在性は未だ不明であるが、その研究は時空、重力の性質、そして現在の宇宙の理解の限界について貴重な洞察を提供する。

カー解の外部領域は安定しており、回転するブラックホールはすべて最終的にカー計量に近づくと予想されるが、解の内部領域は、鉛筆の先端がバランスをとっているのと同じように不安定であるように見える。^{[35] [13]これは}宇宙検閲の考え方に関連している。

カー幾何学は、アインシュタイン場の方程式に対する定常 軸対称 真空解の特別な例です。アインシュタイン場の方程式に対するすべての定常軸対称真空解の族は、エルンスト真空です。

カー解は、ブラックホールをモデル化するさまざまな非真空解とも関連しています。たとえば、カー・ニューマンの電気真空は電荷を帯びた（回転する）ブラックホールをモデル化し、カー・ヴァイディアのヌルダストは落下する電磁放射を伴う（回転する）ブラックホールをモデル化します。

カー計量の特殊なケースは、${\displaystyle a=0}$シュワルツシルト計量を生み出します。これは、シュワルツシルト座標で、静的かつ球対称な非回転ブラックホールをモデル化します。(この場合、質量以外のすべてのゲロッホモーメントは消滅します。)

カー幾何学の内部、あるいはその一部は、衝突平面波モデルの一例であるチャンドラセカール・フェラーリ CPW 真空に対して局所的に等長です。この CPW ソリューションのグローバル構造はカー幾何学とはまったく異なるため、これは特に興味深いことです。原理的には、実験者は 2 つの適切な重力平面波の衝突を調整することで、カー内部 (の外側部分) の幾何学を研究できる可能性があります。

漸近的に平坦なエルンスト真空は、相対論的多重極モーメントの無限列を与えることによって特徴付けられ、その最初の2つは、場の源の質量と角運動量として解釈できる。ハンセン、ソーン、ジェロクによる相対論的多重極モーメントの代替定式化があり、それらは互いに一致することが判明している。カー幾何学の相対論的多重極モーメントはハンセンによって計算され、次のようになることが判明している。

${\displaystyle M_{n}=M[ia]^{n}}$

したがって、シュワルツシルト真空（⁠ ⁠${\displaystyle a=0}$ ）の特殊なケースは、一般相対性理論の「単極子点源」を与える。^[a]

ワイル多重極モーメントは、標準的なユークリッドスカラー多重極モーメントを使用して、すべての定常軸対称真空解のエルンスト族に対するワイル-パパペトルー図に現れる特定の計量関数（形式的にはニュートンの重力ポテンシャルに対応する）を扱うことから生じる。これらは、上記のハンセンによって計算されたモーメントとは異なる。ある意味では、ワイルモーメントは孤立したソースの「質量分布」を（間接的に）特徴付けるだけであり、偶数次の相対論的モーメントにのみ依存することがわかる。赤道面を挟んで対称な解の場合、奇数次のワイルモーメントは消滅する。カー真空解の場合、最初のいくつかのワイルモーメントは次のように与えられる。

${\displaystyle a_{0}=M,\qquad a_{1}=0,\qquad a_{2}=M\left({\frac {M^{2}}{3}}-a^{2}\right)}$

特に、シュワルツシルト真空はゼロ以外の2次ワイルモーメントを持つことがわかります。これは、「ワイルモノポール」が、有限の長さの均一密度の細い棒のニュートンポテンシャルから生じるシュワルツシルト真空解ではなく、チャジー・カーゾン真空解であるという事実に対応しています。

弱場一般相対論では、孤立したソースを別のタイプの多重極子を使用して扱うのが便利です。これは、ワイルモーメントを質量多重極子モーメントと運動量多重極子モーメントに一般化し、それぞれソースの質量と運動量の分布を特徴付けます。これらは多重インデックス量であり、適切に対称化された部分と反対称化された部分は、かなり複雑な方法で完全な非線形理論の相対論的モーメントの実数部と虚数部に関連付けることができます。

ペレスとモレスキは、エルンスト真空の標準的なNP四元体を⁠ ⁠${\displaystyle r}$ (ワイル・パパペトルー図の放射状座標) のべき乗で展開することにより、「モノポール解」の別の概念を与えました。この定式化によれば、

• 角運動量がゼロの孤立した質量モノポール源はシュワルツシルト真空族（1つのパラメータ）であり、
• 半径方向の角運動量を持つ孤立した質量単極子源はタウブ-NUT真空族（2つのパラメータ、完全に漸近的に平坦ではない）である。
• 軸方向の角運動量を持つ孤立した質量単極子源は、カー真空族（2 つのパラメータ）です。

この意味で、カー真空は、一般相対論における最も単純な定常軸対称漸近平坦真空解です。

カー幾何学は回転するブラックホールのモデルとしてよく使われるが、もしその解が（ある制限の下で）あるコンパクトな領域の外側でのみ有効であるとすれば、原理的には、中性子星や地球などブラックホール以外の回転する大質量物体の周りの重力場をモデル化するための外部解として使えるはずである。これは、シュワルツシルト真空外部をシュワルツシルト流体内部、さらにはより一般的な静的球対称完全流体解に一致させることができる非回転ケースでは非常にうまく機能する。しかし、カー外部、さらには漸近的に平坦な真空外部解に一致させることができる回転する完全流体内部を見つける問題は非常に難しいことが証明されている。特に、かつてはカー外部に一致する候補と考えられていたワールキスト流体は、現在ではそのような一致を許さないことが分かっている。現時点では、ゆっくり回転する流体球をモデル化する近似解のみが知られている（これらは、質量と角運動量がゼロではないが、高次多重極モーメントがゼロである扁平球の相対論的類似物である）。しかし、回転する薄いディスクをモデル化する正確なダスト解であるノイゲバウアー・マイネルディスクの外部は、極限の場合にカー幾何学に近づく。カー時空の一部を特定することによって得られる物理的な薄いディスク解も知られている。^[36]${\displaystyle GM^{2}=cJ}$

• シュワルツシルト計量
• カー・ニューマン計量
• カー・ニューマン・ド・シッターメトリック
• ライスナー・ノルドストローム計量
• ハートル・ソーン計量
• スピンフリップ
• 回転するブラックホール

• Wiltshire, David L.; Visser, Matt; Scott, Susan M.編 (2009)。『カー時空：一般相対性理論における回転するブラックホール』ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-88512-6。
• ステファニ、ハンス; クレイマー、ディートリッヒ; マッカラム、マルコム; ホーエンセラーズ、コーネリアス; ヘルト、エドゥアルド (2003)。『アインシュタインの場の方程式の厳密解』ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-46136-8。
• マイネル, ラインハルト;アンソルグ、マーカス。クラインヴァハター、アンドレアス。ノイゲバウアー、ゲルノート。デビッド・ペトロフ (2008)。相対論的平衡図形。ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-86383-4。
• オニール、バレット (1995)。『カーブラックホールの幾何学』。マサチューセッツ州ウェルズリー：AKピーターズ。ISBN 978-1-56881-019-5。
• ディンヴェルノ、レイ（1992年）。『アインシュタインの相対性理論入門』オックスフォード：クラレンドン・プレス。ISBN 978-0-19-859686-8。 上級学部レベルの読みやすい入門書については、第 19 章を参照してください。
• Chandrasekhar, S. (1992).ブラックホールの数学的理論. オックスフォード: クラレンドン プレス. ISBN 978-0-19-850370-5。 大学院上級レベルの徹底的な研究については、第 6 章から第 10 章を参照してください。
• グリフィス、JB (1991)。一般相対論における衝突平面波。オックスフォード：オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-853209-5。 Chandrasekhar/Ferrari CPW モデルについては第 13 章を参照してください。
• アドラー、ロナルド、バザン、モーリス、シファー、メナヘム (1975)。一般相対性理論入門(第 2 版)。ニューヨーク: マグロウヒル。ISBN 978-0-07-000423-8。 第7章を参照してください。
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• Sotiriou, Thomas P.; Apostolatos, Theocharis A. (2004). 「軸対称電子真空時空の多重極モーメントに関する訂正とコメント」.クラス. 量子重力. 21 (24): 5727–5733. arXiv : gr-qc/0407064 . Bibcode :2004CQGra..21.5727S. doi :10.1088/0264-9381/21/24/003. S2CID  16858122.エルンスト真空の相対論的多重極モーメントを与えます (さらに、荷電一般化の電磁気的および重力的相対論的多重極モーメントを与えます)。
• Carter, B. (1971). 「軸対称ブラックホールの自由度は2つだけ」. Physical Review Letters . 26 (6): 331–333. Bibcode :1971PhRvL..26..331C. doi :10.1103/PhysRevLett.26.331.
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• Kerr, RP; Schild, A. (2009). 「再出版: アインシュタイン場方程式の真空解の新しいクラス」.一般相対性理論と重力. 41 (10): 2485–2499. Bibcode :2009GReGr..41.2485K. doi :10.1007/s10714-009-0857-z. S2CID  361088.
• Krasiński, Andrzej; Verdaguer, Enric ; Kerr, Roy Patrick (2009). 「編集者注: RP Kerr および A. Schild、アインシュタイン場方程式の真空解の新しいクラス」。一般相対性理論と重力。41 (10): 2469–2484。Bibcode :2009GReGr..41.2469K。doi : 10.1007 /s10714-009-0856-0。「このノートは、[カー解の導出の]すべての詳細を検証したい読者のためのガイドとなることを目的としています...」