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弦理論において、K理論分類とは、 K理論（抽象代数学および代数トポロジー）を超弦に適用し、許容されるラモンド・ラモンド場の強度と安定なDブレーンの電荷を分類するという、想定される理論を指す。
凝縮系物理学において、 K理論は特にトポロジカル絶縁体、超伝導体、安定フェルミ面のトポロジカル分類において重要な応用を見出している（Kitaev（2009）、Horava（2005））。
Dブレーン電荷に適用されるこの予想は、Minasian & Moore (1997)によって最初に提案されました。Witten (1998)は、タイプIIB弦理論は、タキオン凝縮後のD9ブレーンと反D9ブレーンのスタックとして任意のDブレーン構成を実現するAshoke Senの成果から自然に生じることを実証し、この予想を普及させました。
このようなブレーンのスタックは、非ねじれのNeveu–Schwarz (NS) 3形式の背景では矛盾しており、Kapustin (2000)が指摘したように、K理論の分類をこのようなケースに拡張することを複雑にしています。Bouwknegt & Varghese (2000)はこの問題に対する解決策として、Dブレーンは一般に、 Rosenberg (1989)が以前に定義したねじれたK理論によって分類されることを提案しました。
K理論によるDブレーンの分類は、数多くの応用例がある。例えば、Hanany & Kol (2000) は、オリエンティフォールド1平面には8種類あると主張するためにこれを用いた。Uranga (2001)は、K理論による分類を適用して、フラックスコンパクト化の新しい整合性条件を導出した。K理論は、Bouwknegt、Evslin & Varghese (2004)によってT双対多様体のトポロジーの公式を予想するためにも用いられた。最近では、K理論は、一般化された複素多様体上のコンパクト化におけるスピノルを分類するために予想されている。
これらの成功にもかかわらず、RRフラックスはK理論によって完全に分類されているわけではない。 ディアコネスキュ、ムーア、ウィッテン（2003）は、K理論の分類はIIB弦理論のS双対性とは相容れないと主張した。
さらに、コンパクトな 10 次元時空上でフラックスを分類しようとすると、RR フラックスの自己双対性により問題が生じます。この双対性は、計量に依存するホッジ スターを使用しており、これは連続値であり、特に一般的には無理数です。したがって、K 理論でチャーン 指標として解釈される RR フラックスのすべてが有理数になるわけではありません。しかし、チャーン 指標は常に有理数であるため、K 理論の分類を置き換える必要があります。フラックスの半分を選択して量子化するか、ディアコネスキュ、ムーア、ウィッテン、そして後にヴァルゲーゼとサティ (2004)の幾何学的量子化に触発された言語で偏極化する必要があります。あるいは、マルダセナ、ムーア、セイバーグ (2001)が行ったように、 9 次元時間スライスの K 理論を使用することもできます。
タイプII弦理論の古典極限、すなわちタイプII超重力理論においては、ラモンド・ラモンド場強度は微分形式で表される。量子論においては、Dブレーンの分配関数が明確に定義されていることから、時空がコンパクトな場合、あるいは空間スライスがコンパクトで、空間方向に沿った（磁気）成分のみを考慮する場合、RR場強度はディラック量子化条件を満たすことになる。このことから、20世紀の物理学者は、積分係数を用いたコホモロジーによってRR場強度を分類するに至った。
しかし、一部の著者は、整数係数を持つ時空のコホモロジーは大きすぎると主張している。例えば、Neveu–Schwarz Hフラックスや非スピンサイクルが存在する場合、一部のRRフラックスはDブレーンの存在を規定する。前者の場合、これは超重力運動方程式の結果であり、RRフラックスとNS 3形式の積はDブレーンの電荷密度であると述べている。したがって、ブレーンフリー構成で存在できる位相的に異なるRR場強度の集合は、整数係数を持つコホモロジーの部分集合にすぎない。
この部分集合は、これらのクラスの一部が大きなゲージ変換によって関連付けられているため、依然として大きすぎます。QEDでは、ウィルソンループに2πの整数倍を加える大きなゲージ変換が存在します。タイプII超重力理論のp形式ポテンシャルもこれらの大きなゲージ変換を受けますが、超重力作用にチャーン・サイモンズ項が存在するため、これらの大きなゲージ変換はp形式ポテンシャルだけでなく、(p+3)形式の場強度も同時に変換します。したがって、前述の積分コホモロジーの部分集合から非等価な場強度の空間を得るには、これらの大きなゲージ変換で商を取る必要があります。
アティヤ・ヒルツェブルフのスペクトル系列は、NS 3形式場の強度によって与えられるねじれを持つねじれたK理論を、整数係数を持つコホモロジーの部分集合の商として構築する。有理係数を扱うことに対応する古典極限では、これはまさに超重力理論で上述した部分集合の商である。量子補正はねじれクラスから生じ、フリード・ウィッテン異常によるmod 2のねじれ補正を含む。
このように、ねじれたK理論は、Dブレーンが存在しない場合に存在しうるRR場強度のサブセットを、大きなゲージ変換によって分割して分類する。ダニエル・フリードは、微分K理論を用いて、この分類をRRポテンシャルにも拡張しようと試みた。
K理論は、非コンパクト時空におけるDブレーンを分類します。直感的には、ブレーンによって生成されたフラックスが行き場を失うことを気にしなくてよい時空において分類されます。10次元時空のK理論は、Dブレーンをその時空のサブセットとして分類しますが、時空が時間と固定された9次元多様体の積である場合、K理論は各9次元空間スライス上の保存されたDブレーン電荷も分類します。RR場強度のK理論分類を得るためにRRポテンシャルを忘れる必要がありましたが、DブレーンのK理論分類を得るためにもRR場強度を忘れる必要があります。
Petr Hořava氏が強調しているように、K理論によるDブレーンの分類は、BPS状態の分類とは独立しており、ある意味ではBPS状態の分類よりも強力である。K理論は、超対称性に基づく分類では見逃されていた安定なDブレーンを分類しているように見える。
例えば、ねじれ電荷を持つDブレーン、つまりN巡回群の順序で電荷を持つDブレーンそれらは互いに引き合うため、決して BPS にはなり得ません。実際、そのような N 個のブレーンは崩壊する可能性がありますが、ボゴモルニー境界を満たすブレーンの重ね合わせは決して崩壊しません。しかし、そのようなブレーンの電荷は N を法として保存され、これは K 理論の分類では捉えられますが、BPS の分類では捉えられません。このようなねじれブレーンは、例えば、超対称 U(N)ゲージ理論におけるダグラス・シェンカー弦のモデル化に用いられてきました。
アショケ・センは、位相的に非自明なNS 3形式フラックスが存在しない場合、空間充填D9ブレーンと反D9ブレーンのスタックからタキオン凝縮を介してすべてのIIBブレーン構成が得られると推測した。結果として得られるブレーンの位相は、空間充填ブレーンのスタック上のゲージバンドルの位相に符号化されている。D9と反D9のスタックのゲージバンドルの位相は、D9上のゲージバンドルと反D9上の別のバンドルに分解できる。タキオン凝縮は、このようなバンドルのペアを、同じバンドルがペア内の各成分と直接和される別のペアに変換する。したがって、タキオン凝縮不変量、すなわちタキオン凝縮プロセスによって保存される電荷は、バンドルのペアではなく、ペアの両側で同じバンドルを直接和したペアの同値類である。これはまさに位相的K理論の通常の構成である。したがって、D9と反D9のスタック上のゲージバンドルは位相的K理論によって分類される。センの予想が正しければ、タイプIIBのすべてのDブレーン構成はK理論によって分類される。 ペトル・ホラヴァはこの予想をD8ブレーンを用いてタイプIIAに拡張した。
K理論の分類におけるタキオン凝縮像では、DブレーンはNS 3形式フラックスのない10次元時空の部分集合として分類されるのに対し、マルダセナ、ムーア、セイバーグの分類では、有限質量を持つ安定なDブレーンは、9次元空間スライスの時空の部分集合として分類される。
中心的な考察は、Dブレーンは整数ホモロジーによって分類されないという点である。これは、特定のサイクルを包むDpブレーンがフリード・ウィッテン異常に陥り、その異常は、影響を受けたDpブレーン上で終わるD(p-2)ブレーン、場合によってはD(p-4)ブレーンの挿入によって相殺されるためである。これらの挿入されたブレーンは無限に続く場合があり、その場合、複合オブジェクトの質量は無限大となる。あるいは、反Dpブレーン上で終わる場合もあり、その場合、Dpブレーンの総電荷はゼロとなる。いずれの場合も、異常なDpブレーンをスペクトルから除去し、元の整数コホモロジーのサブセットのみを残したい場合がある。
挿入されたブレーンは不安定である。これを理解するには、それらが異常ブレーンから時間的に（過去へ）伸びていると想像してみよう。これは、挿入されたブレーンが、形成され、前述のサイクルを包み込み、その後消滅する Dp ブレーンを介して崩壊するプロセスに対応する。MMS [ 1 ]はこのプロセスをインスタントンと呼んでいるが、実際にはインスタントンである必要はない。
したがって、保存される電荷は、非異常部分集合を不安定挿入で割った値となる。これはまさに、アティヤ＝ヒルツェブルフによる、ねじれK理論のスペクトル系列構成に一致する。
ディアコネスキュ、ムーア、ウィッテンは、ねじれたK理論の分類は、 IIB型弦理論のS双対性共変性と両立しないことを指摘している。例えば、アティヤ・ヒルツェブルフスペクトル系列（AHSS）におけるラモンド・ラモンド3形式場強度G3の制約を考えてみよう。
ここで、d 3 =Sq 3 +H は AHSS における最初の非自明な微分であり、Sq 3は 3 番目のスティーンロッド平方であり、最後の等式は任意の n 形式 x に作用する n 番目のスティーンロッド平方が x であるという事実から導かれる。x。
上記の式は、G 3と Hを交換する S 双対性の下では不変ではありません。代わりに、ディアコネスキュ、ムーア、ウィッテンは、次の S 双対性共変拡張を提案しました。
ここで、P はトポロジーのみに依存し、特にフラックスには依存しない未知の特性クラスである。Diaconescu 、Freed 、 Moore (2007)は、 Diaconescu、Moore、Witten によって開拓されたM 理論へのE 8ゲージ理論アプローチを使用して、P の制約を発見した。
したがって、IIB の D ブレーンは結局、ねじれた K 理論によって分類されるのではなく、基本弦とNS5 ブレーンの両方を必然的に分類する未知の S 双対性共変オブジェクトによって分類される。
しかし、ねじれた K 理論を計算するための MMS 処方は、Freed-Witten アノマリーが S 双対性を尊重しているため、容易に S 共変化できます。したがって、MMS 構成の S 共変化された形式は、この奇妙な共変オブジェクトが何であるかの幾何学的記述を知らなくても、集合として S 共変化されたねじれた K 理論を構築するために適用できます。このプログラムは、Evslin & Varadarajan (2003)やEvslin (2003a)などの多くの論文で実行されており、 Evslin (2003b)によってフラックスの分類にも適用されました。Bouwknegt ら (2006)はこのアプローチを使用して、Diaconescu、Moore、および Witten の 3 フラックスに対する予想制約を証明し、D3 ブレーン電荷に等しい追加項があることを示しました。エヴスリン（2006）は、セイバーグ双対性のクレバノフ・ストラッスラーカスケードが、各セイバーグ双対性に対応する一連のS双対MMSインスタントンから構成されていることを示している。この群は、普遍性クラスのすると、超対称ゲージ理論は、元のねじれK理論ではなく、S双対のねじれK理論と一致することが示される。
一部の著者は、この難問に対して根本的に異なる解決策を提案している。例えば、Kriz & Sati (2005)は、ねじれた K 理論の代わりに、II 弦理論の構成は楕円コホモロジーによって分類されるべきだと提案している。
この分野の著名な研究者には、エドワード・ウィッテン、ピーター・ボウクネグト、アンヘル・ウランガ、エマヌエル・ディアコネスキュ、グレゴリー・ムーア、アントン・カプスティン、ジョナサン・ローゼンバーグ、ルーベン・ミナシアン、アミハイ・ハナニー、ヒシャム・サティ、ネイサン・セイバーグ、フアン・マルダセナ、アレクセイ・キタエフ、ダニエル・フリード、イゴール・クリズなどがいる。
アショケ・センの予想による10次元におけるDブレーンのK理論分類への優れた入門書は、エドワード・ウィッテンによる原著論文「DブレーンとK理論」である。また、オルセンとサボによる包括的なレビュー（1999年）もある。
ネヴー・シュワルツ流束が存在する9次元タイムスライス上の保存Dブレーン電荷のねじれたK理論分類への非常に分かりやすい入門書は、Maldacena、Moore & Seiberg (2001)である。
