導出非可換代数幾何学

数学において、導来非可換代数幾何学^[1]は、非可換代数幾何学の導来版であり、カテゴリカルなツールを用いた導来圏および関連する三角形圏の構成の幾何学的研究である。いくつかの基本的な例としては、滑らかな多様体 上の連接層の有界導来圏（その導来圏と呼ばれる）や、代数多様体上の完全複体の導来圏（ と表記）が挙げられる。例えば、滑らかな射影多様体上の連接層の導来圏は、多くの場合（ が十分な（反）正準層を持つ場合）、基礎となる多様体の不変量として使用できる。残念ながら、導来圏をそれ自体の幾何学的対象として研究することには、標準化された名前がない。 ${\displaystyle D^{b}(X)}$${\displaystyle D_{\operatorname {perf} }(X)}$${\displaystyle D^{b}(X)}$${\displaystyle X}$

の導来圏は、その簡単な圏論的構造により、導来非可換スキームの動機となる例の一つである。のオイラー列は、短完全列である ことを思い出すと、${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-2)\to {\mathcal {O}}(-1)^{\oplus 2}\to {\mathcal {O}}\to 0}$

右辺の2項を複素数として考えると、特徴的な三角形が得られる。

${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)^{\oplus 2}{\overset {\phi }{\rightarrow }}{\mathcal {O}}\to \operatorname {円錐} (\phi ){\overset {+1}{\rightarrow }}.}$

この層はカテゴリカルなツールのみを使用して構築したため、平坦な層でオイラー列をテンソル化してこれを再度繰り返し、円錐構築を再度適用できます。層の双対を取ると、三角形構造のみを使用して、 のすべての直線束を構築できます。派生カテゴリをそのオブジェクトと三角形構造から研究する正しい方法は、例外コレクションを使用することであることがわかります。 ${\displaystyle \operatorname {円錐} (\phi )\cong {\mathcal {O}}(-2)[+1]}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-2)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)}$${\displaystyle \operatorname {Coh} (\mathbb {P} ^{1})}$

この構成を符号化するための技術的ツールは、半直交分解と例外集合である。^[2]三角形のカテゴリの半直交分解は、次の2つの性質が成り立つような 完全な三角形のサブカテゴリの集合である。${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1},\ldots ,{\mathcal {T}}_{n}}$

（１）私たちが持っているオブジェクトについて${\displaystyle T_{i}\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {T}}_{i})}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (T_{i},T_{j})=0}$${\displaystyle i>j}$

（２）サブカテゴリはを生成する。つまり、あらゆるオブジェクトはのシーケンスに分解できる。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle T\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {T}})}$${\displaystyle T_{i}\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {T}})}$

${\displaystyle 0=T_{n}\to T_{n-1}\to \cdots \to T_{1}\to T_{0}=T}$

となる。これは、コカーネルが特定のサブカテゴリに存在するような アーベルカテゴリ内のオブジェクトのフィルタリングに類似していることに注意してください。${\displaystyle \operatorname {Cone} (T_{i}\to T_{i-1})\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {T}}_{i})}$

これをもう少し特殊化して、例外的なオブジェクトの集合を考えてみましょう。例外的なオブジェクトの集合は、独自のサブカテゴリを生成します。三角形のカテゴリ内のオブジェクトは、次のプロパティが満たされる場合、 例外的と呼ばれます。${\displaystyle E}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (E,E[+\ell ])={\begin{cases}k&{\text{if }}\ell =0\\0&{\text{if }}\ell \neq 0\end{cases}}}$

ここで は射のベクトル空間の基礎体である。例外的なオブジェクトの集合は、任意のおよび任意の に対して、長さ の例外的な集合である場合、 ${\displaystyle k}$${\displaystyle E_{1},\ldots ,E_{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle i>j}$${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (E_{i},E_{j}[+\ell ])=0}$

は強い例外集合であり、さらに任意のおよび任意の に対して、 ${\displaystyle \ell \neq 0}$ ${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (E_{i},E_{j}[+\ell ])=0}$

次に、三角形のカテゴリを半直交分解に分解します。

${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {T}}',E_{1},\ldots ,E_{r}\rangle }$

ここで、 はとなる 内のオブジェクトのサブカテゴリです。さらに の場合、強い例外コレクションは完全 と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}'=\langle E_{1},\ldots ,E_{r}\rangle ^{\perp }}$${\displaystyle E\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {T}})}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (E,E_{i}[+\ell ])=0}$${\displaystyle {\mathcal {T}}'=0}$

ベイリンソンは完全な強い例外コレクションの最初の例を示した。導来カテゴリでは、直線束は完全な強い例外コレクションを形成する。^[2]彼は定理を2つの部分で証明する。最初にこれらのオブジェクトが例外コレクションであることを示す、次に の対角線が、その合成が例外オブジェクトの引き戻しのテンソルである分解を持つことを示す。 ${\displaystyle D^{b}(\mathbb {P} ^{n})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-n),{\mathcal {O}}(-n+1),\ldots ,{\mathcal {O}}(-1),{\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\Delta }}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n}}$

技術的な補題

例外的な束のコレクションは、解像度が存在する場合は完全です ${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots ,E_{r}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle 0\to p_{1}^{*}E_{1}\otimes p_{2}^{*}F_{1}\to \cdots \to p_{1}^{*}E_{n}\otimes p_{2}^{*}F_{n}\to {\mathcal {O}}_{\Delta }\to 0}$

において、上の任意の連接層が存在します。 ${\displaystyle D^{b}(X\times X)}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle X}$

この補題を再定式化する別の方法は、コズル複体に関連する${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{n}{\mathcal {O}}(-D_{i})\xrightarrow {\phi } {\mathcal {O}}}$

ここで はの超平面因子である。これにより、正確な複素数が得られる。${\displaystyle D_{i}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}\left(-\sum _{i=1}^{n}D_{i}\right)\to \cdots \to \bigoplus _{i\neq j}{\mathcal {O}}(-D_{i}-D_{j})\to \bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}(-D_{i})\to {\mathcal {O}}\to 0}$

これは、層 を使って構築する方法を提供します。層 は、 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-n-1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-n),\ldots ,{\mathcal {O}}(-1),{\mathcal {O}}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}\left(-\sum _{i=0}^{n}D_{i}\right)\cong {\mathcal {O}}(-n-1)}$

これは、上記の複素数の残りの項と との導出同値性を与える。Koszul複体の場合、上記の複素数は正確な複素数である。${\displaystyle {\mathcal {O}}(-n-1)}$${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-3)\to {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2)\to {\mathcal {O}}(-1)\oplus {\mathcal {O}}(-1)\to {\mathcal {O}}\to 0}$

の擬似同型性は複素数${\displaystyle {\mathcal {O}}(-3)}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2)\to {\mathcal {O}}(-1)\oplus {\mathcal {O}}(-1)\to {\mathcal {O}}\to 0}$

が十分な（反）標準層を持つ滑らかな射影多様体であり、導来カテゴリーの同値が存在する場合、基礎となる多様体の同型が存在する。^[3]${\displaystyle X}$${\displaystyle F:D^{b}(X)\to D^{b}(Y)}$

証明は、 上の2つの誘導されたセール関数を分析し、それらの間の同型を見つけることから始まります。特に、上の双対層のように動作するオブジェクトがあることを示します。これら2つの関数間の同型は、導出カテゴリの基礎となる点の集合の同型を与えます。次に、任意の に対して の同型 を確認し、標準環の同型を与えます 。${\displaystyle D^{b}(Y)}$${\displaystyle \omega _{Y}=F(\omega _{X})}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle F(\omega _{X}^{\otimes k})\cong \omega _{Y}^{\otimes k}}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle A(X)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }H^{0}(X,\omega _{X}^{\otimes k})\cong \bigoplus _{k=0}^{\infty }H^{0}(Y,\omega _{Y}^{\otimes k})}$

が(反) 十分であることが示されれば、これらの環の射影は同型を与える。詳細はすべて Dolgachev のノートに含まれています。 ${\displaystyle \omega _{Y}}$${\displaystyle X\to Y}$

この定理はがカラビ・ヤウ である場合には成り立たない。なぜなら 、または がカラビ・ヤウである多様体の積だからである。アーベル多様体は再構成定理が決して成り立たない例のクラスである。がアーベル多様体で がその双対である場合、核、ポアンカレ束^[4]を持つフーリエ・向井変換は同値を与える 。${\displaystyle X}$${\displaystyle \omega _{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle FM_{\mathcal {P}}:D^{b}(X)\to D^{b}({\hat {X}})}$

導来圏の理論。アーベル多様体は一般にその双対と同型ではないので、同型な基礎多様体を持たない導来同等の導来圏が存在する。^[5]テンソル三角幾何学の代替理論があり、三角カテゴリーだけでなくモノイド構造、つまりテンソル積も考慮する。この幾何学は、カテゴリーのスペクトルを使用した完全な再構成定理を持つ。^[6]

K3 曲面は、カラビ・ヤウ特性のために再構成が失敗する別の例の 1 つです。2 つの K3 曲面が導来同値であるかどうかを判断する基準があります。K3 曲面の導来カテゴリが別の K3 と導来同値であるためには、ホッジ等長変換、つまりホッジ構造の同型性が必要です。^[3]さらに、この定理はモチーフの世界にも反映されており、チャウ モチーフが同型であるためには、ホッジ構造の同長変換が必要です。^[7]${\displaystyle D^{b}(X)}$${\displaystyle D^{b}(Y)}$${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )\to H^{2}(Y,\mathbb {Z} )}$

この定理の証明のよい応用例の一つは、十分な（反）標準層を持つ滑らかな射影多様体の導来圏の自己同値の同一視である。これは次のように与えられる。

${\displaystyle \operatorname {Auteq} (D^{b}(X))\cong (\operatorname {Pic} (X)\rtimes \operatorname {Aut} (X))\times \mathbb {Z} }$

ここで自己同値は自己同型 によって与えられ、線束 によってテンソル化され、最後にシフト によって合成されます。は分極写像 を介してに作用することに注意してください。^[8]${\displaystyle F}$${\displaystyle f:X\to X}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\in \operatorname {Pic} (X)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$${\displaystyle g\mapsto g^{*}(L)\otimes L^{-1}}$

有界導来カテゴリは、 SGA6で、およびとの交差理論を構築するために広く使用されました。これらのオブジェクトは、のChow環、そのchowモチーフと密接に関連しているため、Orlovは次の質問をしました。完全に忠実な関手 ${\displaystyle D^{b}(X)}$${\displaystyle K(X)}$${\displaystyle Gr_{\gamma }K(X)\otimes \mathbb {Q} }$${\displaystyle X}$

${\displaystyle F:D^{b}(X)\to D^{b}(Y)}$

食事の動機に関する誘導マップはありますか？

${\displaystyle f:M(X)\to M(Y)}$

はの和項である。^[9] K3曲面の場合、導出された同値なK3曲面はホッジ構造の等長写像を持ち、モチーフの同型性を与えるため、同様の結果が確認されている。 ${\displaystyle M(X)}$${\displaystyle M(Y)}$

滑らかな多様体上では、導来圏と厚い^{[10] [11]}完全複体の完全な三角化との間には同値関係がある。有限のクルル次元（ELF条件と呼ばれる）^[12]の分離されたノイザンスキームではそうではなく、オルロフは特異点の導来圏をそれらの差としてカテゴリーの商を使用して定義する。ELFスキームの場合、特異点の導来圏は次のように定義される。 ${\displaystyle D^{b}(X)}$${\displaystyle D_{\operatorname {perf} }(X)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle D_{sg}(X):=D^{b}(X)/D_{\text{perf}}(X)}$^[13]

三角形のカテゴリのローカリゼーションの適切な定義。

圏の局所化は合成に関して閉じた圏における 射のクラスに対して定義されるが、そのようなクラスは三角形化されたサブ圏から構成することができる。完全な三角形化されたサブ圏が与えられたとき、射のクラスは、区別された三角形に収まる。${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle {\mathcal {N}}\subset {\mathcal {T}}}$${\displaystyle \Sigma ({\mathcal {N}})}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle X{\xrightarrow {s}}Y\to N\to X[+1]}$

と である。これは、区別された三角形の八面体公理を用いて乗法システムを形成することが確認できる。 ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {T}}}$${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$

${\displaystyle X{\xrightarrow {s}}Y{\xrightarrow {s'}}Z}$

目立つ三角形

${\displaystyle X{\xrightarrow {s}}Y\to N\to X[+1]}$

${\displaystyle Y{\xrightarrow {s'}}Z\to N'\to Y[+1]}$

ここで、区別できる三角形が存在する。 ${\displaystyle N,N'\in {\mathcal {N}}}$

${\displaystyle X\to Z\to M\to X[+1]}$

${\displaystyle N\to M\to N'\to N[+1]}$ここで、sinceは拡張の下で閉じています。この新しいカテゴリには次のプロパティがあります。${\displaystyle M\in {\mathcal {N}}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

• これは標準的な三角形分割であり、 の三角形はの三角形の像と同型である場合に区別されます。${\displaystyle {\mathcal {T}}/{\mathcal {N}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$
• このカテゴリには、次の普遍的性質があります:となる任意の正確な関数の場合、それは商関数 を介して一意に因数分解されるため、となる射が存在します。${\displaystyle {\mathcal {T}}/{\mathcal {N}}}$${\displaystyle F:{\mathcal {T}}\to {\mathcal {T}}'}$${\displaystyle F(N)\cong 0}$${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$${\displaystyle Q:{\mathcal {T}}\to {\mathcal {T}}/{\mathcal {N}}}$${\displaystyle {\tilde {F}}:{\mathcal {T}}/{\mathcal {N}}\to {\mathcal {T}}'}$${\displaystyle {\tilde {F}}\circ Q\simeq F}$

• が正則なスキームである場合、連接層の有界複体は完全である。したがって、特異点カテゴリは自明である。${\displaystyle X}$
• から離れたところでサポートを持つ任意の連接層は完全です。したがって、 の非自明な連接層は上でサポートを持ちます。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \operatorname {Sing} (X)}$${\displaystyle D_{sg}(X)}$${\displaystyle \operatorname {Sing} (X)}$
• 特に、 内のオブジェクトは、何らかの首尾一貫した層 に対してと同型です。${\displaystyle D_{sg}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}[+k]}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

KontsevichはLandau-Ginzburg模型のモデルを提案し、それは次の定義にまとめられました: ^[14] Landau -Ginzburg模型は平坦な射を伴う滑らかな多様体です。可換代数の行列因数分解を使用してLandau-Ginzburg模型のDブレーンを解析するために使用できる3つの関連カテゴリがあります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle W:X\to \mathbb {A} ^{1}}$

この定義では、任意の点に関連付けることができる3つのカテゴリ、-gradedカテゴリ、正確なカテゴリ、および三角形のカテゴリがあり、それぞれにオブジェクトがあります。 ${\displaystyle w_{0}\in \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle DG_{w_{0}}(W)}$${\displaystyle \operatorname {Pair} _{w_{0}}(W)}$${\displaystyle DB_{w_{0}}(W)}$

${\displaystyle {\overline {P}}=(p_{1}:P_{1}\to P_{0},p_{0}:P_{0}\to P_{1})}$ここで はによる乗算です。${\displaystyle p_{0}\circ p_{1},p_{1}\circ p_{0}}$${\displaystyle W-w_{0}}$

シフト関数sendも存在する${\displaystyle [+1]}$${\displaystyle {\overline {P}}}$

${\displaystyle {\overline {P}}[+1]=(-p_{0}:P_{0}\to P_{1},-p_{1}:P_{1}\to P_{0})}$。

これらのカテゴリの違いは、射の定義である。最も一般的なカテゴリは、その射が-次数複素数 であるカテゴリである。${\displaystyle DG_{w_{0}}(W)}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} ({\overline {P}},{\overline {Q}})=\bigoplus _{i,j}\operatorname {Hom} (P_{i},Q_{j})}$

ここで、等級は次のように与えられ、次数同次要素に作用する微分は次のように与えられる。 ${\displaystyle (i-j){\bmod {2}}}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle Df=q\circ f-(-1)^{d}f\circ p}$

の射は の次数射である。最後に、 はの射をヌルホモトピーを法として持つ。さらに、は の次数付き円錐構成により三角形構造を持つことができる。写像を持つ 写像コードがあるとする。${\displaystyle \operatorname {Pair} _{w_{0}}(W)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle DG_{w_{0}}(W)}$${\displaystyle DB_{w_{0}}(W)}$${\displaystyle \operatorname {Pair} _{w_{0}}(W)}$${\displaystyle DB_{w_{0}}(W)}$${\displaystyle \operatorname {Pair} _{w_{0}}(W)}$${\displaystyle {\overline {f}}:{\overline {P}}\to {\overline {Q}}}$${\displaystyle C(f)}$

${\displaystyle c_{1}:Q_{1}\oplus P_{0}\to Q_{0}\oplus P_{1}}$どこ${\displaystyle c_{1}={\begin{bmatrix}q_{0}&f_{1}\\0&-p_{1}\end{bmatrix}}}$

そして

${\displaystyle c_{0}:Q_{0}\oplus P_{1}\to Q_{1}\oplus P_{0}}$どこ${\displaystyle {\displaystyle c_{0}={\begin{bmatrix}q_{1}&f_{0}\\0&-p_{0}\end{bmatrix}}}}$

このとき、の図式は、 からの円錐に同型である場合に、特別な三角形と呼ばれます。 ${\displaystyle {\overline {P}}\to {\overline {Q}}\to {\overline {R}}\to {\overline {P}}[+1]}$${\displaystyle DB_{w_{0}}(W)}$${\displaystyle \operatorname {Pair} _{w_{0}}(W)}$

の構成を用いて、超ポテンシャルを積カテゴリとして 持つB型のDブレーンのカテゴリを定義できる。${\displaystyle DB_{w_{0}}(W)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle DB(W)=\prod _{w\in \mathbb {A} _{1}}DB_{w_{0}}(W).}$

これは、特異点カテゴリと次のように関連している。のみに孤立した特異点を持つ超ポテンシャルが与えられたとき、 と表記する。すると、カテゴリの正確な同値が存在する。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X_{0}=W^{-1}(0)}$

${\displaystyle DB_{w_{0}}(W)\cong D_{sg}(X_{0})}$

ペア を送る余核関手から誘導される関手によって与えられます。特に、は正則なので、ベルティーニの定理は がカテゴリの有限積のみであること を示しています。${\displaystyle \operatorname {Cok} }$${\displaystyle {\overline {P}}\mapsto \operatorname {Coker} (p_{1})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle DB(W)}$

2 つの関連多様体の導来カテゴリには、それらの特異点カテゴリの同値性を与えるフーリエ-向変換があります。この同値性は、クネラー周期性と呼ばれます。これは、次のように構築できます。有限の Krull 次元の分離された正則 Noetherian スキームからの平坦射が与えられると、関連付けられたスキームと射があり、 は-因子の座標です。ファイバー、、および誘導射を考えます。そしてファイバー です。すると、 -バンドルを形成する注入と射影があります。フーリエ-向変換 ${\displaystyle \Phi _{Z}}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle Y=X\times \mathbb {A} ^{2}}$${\displaystyle g:Y\to \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle g=f+xy}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$${\displaystyle X_{0}=f^{-1}(0)}$${\displaystyle Y_{0}=g^{-1}(0)}$${\displaystyle x:Y_{0}\to \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle Z=x^{-1}(0)}$${\displaystyle i:Z\to Y_{0}}$${\displaystyle q:Z\to X_{0}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle \Phi _{Z}(\cdot )=\mathbf {R} i_{*}q^{*}(\cdot )}$

カテゴリーの同値性を誘導する

${\displaystyle D_{sg}(X_{0})\to D_{sg}(Y_{0})}$

はクネラー周期性と呼ばれる。この周期性には、が多項式 に置き換えられた別の形式もある。^{[15] [16]}これらの周期性定理は、特異点カテゴリの解析を削減できるため、主要な計算手法となっている。 ${\displaystyle xy}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$

となるランダウ・ギンツブルグ模型をとれば、 の唯一のファイバー特異ファイバーは原点である。すると、ランダウ・ギンツブルグ模型のDブレーンカテゴリは特異点カテゴリ と同値になる。代数上では分解不可能なオブジェクトが存在する。 ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{2k+1},W)}$${\displaystyle W=z_{0}^{n}+z_{1}^{2}+\cdots +z_{2k}^{2}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle D_{\text{sing}}(\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [z]/(z^{n})))}$${\displaystyle A=\mathbb {C} [z]/(z^{n})}$

${\displaystyle V_{i}=\operatorname {Coker} (A{\xrightarrow {z^{i}}}A)=A/z^{i}}$

その射は完全に理解できる。任意のペアに対して、 ${\displaystyle i,j}$${\displaystyle \alpha _{j}^{i}:V_{i}\to V_{j}}$

• これらは自然な投影である${\displaystyle i\geq j}$
• これらは${\displaystyle i<j}$${\displaystyle z^{j-i}}$

ここで、他のすべての射はこれらの射の合成と線形結合である。Knörrerの元の論文にある特異点の表を使用して明示的に計算できる他の多くのケースがあります。^[16]

• 派生カテゴリ
• 三角形のカテゴリ
• 完璧な複合体
• 半直交分解
• フーリエ-向井変換
• ブリッジランド安定条件
• ホモロジーミラー対称性
• 導出カテゴリのノート - http://www.math.lsa.umich.edu/~idolga/derived9.pdf

• ベイリンソンの定理の非可換版
• トーリック多様体の派生カテゴリ
• トーリック多様体の導来範疇 II